《函数的极值与最大(小)值》疑难破解课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+
> ,
故实数的取值范围是(, +∞).
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题2】
(1)若函数() = + + + 在 = 处取得极值10,求, 的值;
(2)已知函数() = − ( + ) + ( + )( ∈ , 为常数)在区间
《函数的极值与最大(小)值》
疑难破解
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
情境探究:
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同,”说的是庐山的高低起伏,错落有致.
在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最
高点.
问题:
1.函数的极大(小)值是不是函数在定义域中的最大(小)值呢?
2.函数的极大(小)值是不是唯一的?
−∞, −
−
− , −
−
−, +∞
′()
+
0
−
0
+
()
↗
极大值
↘
极小值
↗
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
时,求函数的极值.
解析:
∴函数()在 = − 处取得极大值,且极大值为( − ) = ( − )− ;
③方程′() = 的实数根之间的大小.进而列表得到函数的极值.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的
导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数′();②由极值点的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
因为函数()在(, +∞)内有两个极值点,所以′() = − ( + ) + +
的图象在(, +∞)内与轴有两个不同的交点,如图所示.
= [−( + )] − ( + ) > ,
所以 ′() = − ( + ) + + > ,解得 > .
函数()在 = −处取得极小值,且极小值为(−) = −.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题2】
(1)若函数() = + + + 在 = 处取得极值10,求, 的值;
(2)已知函数() = − ( + ) + ( + )( ∈ , 为常数)在区间
1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极
值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与轴的交
点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
2.利用导数解决函数问题中,函数的零点问题是比较复杂的综合问题,常常在高考
压轴题中出现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用,分类讨论、数形结合等思
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解析:则函数()的极大值为
= − ,极小值为() = − − .
由()的图象与轴有三个不同的交点,得ቐ
=
−Hale Waihona Puke > ,() = − − < ,
解得− < < .∴实数的取值范围为 −, .
得令′() = ,得 = −或 = − .由 ≠ 知,− ≠ − .
分以下两种情况讨论:
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
时,求函数的极值.
解析:若 > ,则− < − .
当变化时,′(), ()的变化情况如表所示.
−∞, −
−
−, −
−
− , +∞
′()
+
0
−
0
+
()
↗
极大值
↘
极小值
↗
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
想方法进行有效处理,解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
思路点拨:
根据题意得到′(),将函数 = ()的图象与 = ′() + + 的图象有三个
所以 = −, = 不符合题意,舍去.
而当 = , = −时,经检验符合题意,故, 的值分别为, −.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
解析: (2)由() = − ( + ) + ( + )
得′() = − ( + ) + + .
③当 < 时,()在 , − 上单调递减,在 − , +∞ 上单调递增，
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
【例题1】已知函数() = − − ,求函数()在[,+∞)上的最小值.
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
2.有关含有参数的函数的最大(小)值问题,一般有两类:
一类是求含有参数的函数的最大(小)值,对于此类问题,由于参数的取值范围不同
会导致函数的单调性变化,从而导致最大(小)值变化,所以解决此类问题常常需要
分类讨论,在分类讨论解决函数的单调性的基础上,比较极值与端点值的大小求解.
(, +∞)内有两个极值点,求实数的取值范围.
易错警示:解决利用极值求函数中的参数问题时,注意′ = 是 为极
值点的必要不充分条件,(1)中由′() = 及() = 求出, 的值后,注
意检验极值的存在条件,防止漏掉检验导致解题错误.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
1.求解函数在固定区间上的最大(小)值问题的步骤:
(1)求函数的定义域;
(2)求′(),解方程′() = ;
(3)列出关于, (), ′()的变化表;
(4)求极值、端点处的函数值,确定最大(小)值.
注意:不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.
3.函数的极大值是否一定大于函数的极小值?
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
1.求可导函数()的极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求函数的导函数′();
(3)由′() = ,求出全部的根;
(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据
参数的范围分类划分区间),把, ′(), ()在每个区间内的变化情况列在一个表
今′() = ,得 = − 或 = .
①当 > 时,()在[, )上单调递减,在(, +∞)上单调递增,
所以() = () = − ;
②当 = 时,′() = ⩾ , ()在[, +∞)上单调递增,所以() = () = ;
时,求函数的极值.
解析:∴函数()在 = −处取得极大值,且极大值为(−) = −;
函数()在 = − 处取得极小值,且极小值为( − ) = ( − )− .
若 < ,则− > − .当变化时,′(), ()的变化情况如表所示.
得 = 或 = .当变化时,′(), ()的变化情况如下表:
−∞,
,
4
(, +∞)
′()
+
0
−
0
+
()
↗
极大值
↘
极小值
↗
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
【例题1】已知函数() = − − ,求函数()在[,+∞)上的最小值.
思路点拨:求′() →对a进行分类讨论→利用导数求函数的最值.
解析:由题意得,′() = − − = ( + )( −a).
函数 = ()的图象与 = ′() + + 的图象有三个不同的交点等价于
− + + = + + + 有三个不相等的实根,
即 − + − = 有三个不相等的实根,
令() = − + − ,则()的图象与轴有三个不同的交点.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解析:易得′() = − + = ( − )( − ),今′() = ,
() = ,
= ,
= −,
+ + = ,
依题意得ቊ
整理得ቊ
解得ቊ
得ቊ
′() = ,
= −
= .
+ = −,
当 = −, = 时,′() = − + = ( − ) ⩾ ,
故()在上单调递增,不可能在 = 处取得极值,
(, +∞)内有两个极值点,求实数的取值范围.
思路点拨:
(1)求′() →建立关于, 的方程组→解方程组→求出, 的值并检验;
(2)由′()的图象在(, +∞)内与轴有两个不同的交点,列不等式组→解关于
的不等式组→得到的取值范围.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
解析:(1)由() = + + + 得′() = + +
格内;
(5)得结论:若导数在根 附近左正右负,则函数在 处取得极大值;若左负右正,
则取得极小值.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
2.有关含参数的函数的极值问题
(1)求含参数的函数的极值,要根据′() = 的不同类型对参数进行分类讨论.
通常要考虑以下几个方面：
①方程′() = 有无实数根;②方程′() = 的实数根是否在定义域内;
不同的交点转化为方程() = ′() + + 有三个不相等的实根,进一步转化
为函数() = () − ′() − − 的图象与轴有三个不同的交点,利用导数
求()的极值,通过判断极值的符号得到的取值范围.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
时,求函数的极值.
思路点拨:
求′() →解方程′() = →由两根的大小分类讨论,列表以得解.
解析:由题意得,′() = ൣ + ( + ) − +] .
另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值
问题的逆向运用,求解此类问题的步骤如下:
(1)求导数′(),并求极值;(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定
函数的最值,若参数的变化影响着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的关系式,求解即可.
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解析:由() = − + + ,可得′() = − + ,
则 = ′() + + = − + + + = + + + .
> ,
故实数的取值范围是(, +∞).
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题2】
(1)若函数() = + + + 在 = 处取得极值10,求, 的值;
(2)已知函数() = − ( + ) + ( + )( ∈ , 为常数)在区间
《函数的极值与最大(小)值》
疑难破解
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
情境探究:
“横看成岭侧成峰,远近高低各不同,”说的是庐山的高低起伏,错落有致.
在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最
高点.
问题:
1.函数的极大(小)值是不是函数在定义域中的最大(小)值呢?
2.函数的极大(小)值是不是唯一的?
−∞, −
−
− , −
−
−, +∞
′()
+
0
−
0
+
()
↗
极大值
↘
极小值
↗
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
时,求函数的极值.
解析:
∴函数()在 = − 处取得极大值,且极大值为( − ) = ( − )− ;
③方程′() = 的实数根之间的大小.进而列表得到函数的极值.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的
导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导函数′();②由极值点的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
因为函数()在(, +∞)内有两个极值点,所以′() = − ( + ) + +
的图象在(, +∞)内与轴有两个不同的交点,如图所示.
= [−( + )] − ( + ) > ,
所以 ′() = − ( + ) + + > ,解得 > .
函数()在 = −处取得极小值,且极小值为(−) = −.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题2】
(1)若函数() = + + + 在 = 处取得极值10,求, 的值;
(2)已知函数() = − ( + ) + ( + )( ∈ , 为常数)在区间
1.利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极
值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与轴的交
点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
2.利用导数解决函数问题中,函数的零点问题是比较复杂的综合问题,常常在高考
压轴题中出现.解决此类问题可通过极值的正用和逆用,分类讨论、数形结合等思
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解析:则函数()的极大值为
= − ,极小值为() = − − .
由()的图象与轴有三个不同的交点,得ቐ
=
−Hale Waihona Puke > ,() = − − < ,
解得− < < .∴实数的取值范围为 −, .
得令′() = ,得 = −或 = − .由 ≠ 知,− ≠ − .
分以下两种情况讨论:
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
时,求函数的极值.
解析:若 > ,则− < − .
当变化时,′(), ()的变化情况如表所示.
−∞, −
−
−, −
−
− , +∞
′()
+
0
−
0
+
()
↗
极大值
↘
极小值
↗
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
想方法进行有效处理,解题的关键是掌握求单调区间和极值的方法.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
思路点拨:
根据题意得到′(),将函数 = ()的图象与 = ′() + + 的图象有三个
所以 = −, = 不符合题意,舍去.
而当 = , = −时,经检验符合题意,故, 的值分别为, −.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
解析: (2)由() = − ( + ) + ( + )
得′() = − ( + ) + + .
③当 < 时,()在 , − 上单调递减,在 − , +∞ 上单调递增，
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
【例题1】已知函数() = − − ,求函数()在[,+∞)上的最小值.
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
2.有关含有参数的函数的最大(小)值问题,一般有两类:
一类是求含有参数的函数的最大(小)值,对于此类问题,由于参数的取值范围不同
会导致函数的单调性变化,从而导致最大(小)值变化,所以解决此类问题常常需要
分类讨论,在分类讨论解决函数的单调性的基础上,比较极值与端点值的大小求解.
(, +∞)内有两个极值点,求实数的取值范围.
易错警示:解决利用极值求函数中的参数问题时,注意′ = 是 为极
值点的必要不充分条件,(1)中由′() = 及() = 求出, 的值后,注
意检验极值的存在条件,防止漏掉检验导致解题错误.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
1.求解函数在固定区间上的最大(小)值问题的步骤:
(1)求函数的定义域;
(2)求′(),解方程′() = ;
(3)列出关于, (), ′()的变化表;
(4)求极值、端点处的函数值,确定最大(小)值.
注意:不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.
3.函数的极大值是否一定大于函数的极小值?
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
1.求可导函数()的极值的步骤
(1)确定函数的定义域;
(2)求函数的导函数′();
(3)由′() = ,求出全部的根;
(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据
参数的范围分类划分区间),把, ′(), ()在每个区间内的变化情况列在一个表
今′() = ,得 = − 或 = .
①当 > 时,()在[, )上单调递减,在(, +∞)上单调递增,
所以() = () = − ;
②当 = 时,′() = ⩾ , ()在[, +∞)上单调递增,所以() = () = ;
时,求函数的极值.
解析:∴函数()在 = −处取得极大值,且极大值为(−) = −;
函数()在 = − 处取得极小值,且极小值为( − ) = ( − )− .
若 < ,则− > − .当变化时,′(), ()的变化情况如表所示.
得 = 或 = .当变化时,′(), ()的变化情况如下表:
−∞,
,
4
(, +∞)
′()
+
0
−
0
+
()
↗
极大值
↘
极小值
↗
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
疑难3 利用导数研究函数的最大(小)值问题
【例题1】已知函数() = − − ,求函数()在[,+∞)上的最小值.
思路点拨:求′() →对a进行分类讨论→利用导数求函数的最值.
解析:由题意得,′() = − − = ( + )( −a).
函数 = ()的图象与 = ′() + + 的图象有三个不同的交点等价于
− + + = + + + 有三个不相等的实根,
即 − + − = 有三个不相等的实根,
令() = − + − ,则()的图象与轴有三个不同的交点.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解析:易得′() = − + = ( − )( − ),今′() = ,
() = ,
= ,
= −,
+ + = ,
依题意得ቊ
整理得ቊ
解得ቊ
得ቊ
′() = ,
= −
= .
+ = −,
当 = −, = 时,′() = − + = ( − ) ⩾ ,
故()在上单调递增,不可能在 = 处取得极值,
(, +∞)内有两个极值点,求实数的取值范围.
思路点拨:
(1)求′() →建立关于, 的方程组→解方程组→求出, 的值并检验;
(2)由′()的图象在(, +∞)内与轴有两个不同的交点,列不等式组→解关于
的不等式组→得到的取值范围.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
解析:(1)由() = + + + 得′() = + +
格内;
(5)得结论:若导数在根 附近左正右负,则函数在 处取得极大值;若左负右正,
则取得极小值.
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
2.有关含参数的函数的极值问题
(1)求含参数的函数的极值,要根据′() = 的不同类型对参数进行分类讨论.
通常要考虑以下几个方面：
①方程′() = 有无实数根;②方程′() = 的实数根是否在定义域内;
不同的交点转化为方程() = ′() + + 有三个不相等的实根,进一步转化
为函数() = () − ′() − − 的图象与轴有三个不同的交点,利用导数
求()的极值,通过判断极值的符号得到的取值范围.
疑难2 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
疑难1 利用导数解决函数的极值问题
【例题1】已知函数() = + − + ( ∈ ),当 ∈ 且 ≠
时,求函数的极值.
思路点拨:
求′() →解方程′() = →由两根的大小分类讨论,列表以得解.
解析:由题意得,′() = ൣ + ( + ) − +] .
另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值
问题的逆向运用,求解此类问题的步骤如下:
(1)求导数′(),并求极值;(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定
函数的最值,若参数的变化影响着函数的单调性,则要对参数进行分类讨论;
(3)利用最值列出关于参数的关系式,求解即可.
【例题】已知函数() = − + + ,若函数 = ()的图象与 =
′() +
+ 的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解析:由() = − + + ,可得′() = − + ,
则 = ′() + + = − + + + = + + + .