四川省2020学年高二数学上学期期末教学质量监测试题理

高二数学上学期期末教学质量监测试题 理
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线2
4y x =的准线方程为（ ） （A ）1x =-
（B ）1y =- （C ）1x =
（D ）1y =
2．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ） （A ）3件都是正品 （B ）3件都是次品 （C ）至少有1件次品
（D ）至少有1件正品
3．如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列描述中不正确．．．
的是（ ）
（A ）与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长 （B ）2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省
（C ）2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 （D ）去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元
4．已知随机变量X 服从正态分布2
(2,)N σ，且(4
)0.8P X <=，则(02)P X <<=（ ）
（A ）0.6 （B ）0.4 （C ）0.3 （D ）0.2 5．执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，则输入的x 值是（ ）
（A ）1± （B ）1-
（C
）1 （D ）1
6．椭圆22
1169
x y +=的以点(2,1)M -为中点的弦所在的直线斜率为（ ）
（A ）932-
（B ）98
- （C ）98 （D ）932
7．一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为
53，连续取出两个小球都是白球的概率为5
2
，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（ ）
（A ）
53 （B ）32 （C ）52 （D ）5
1 8．若2
101()()x a x x
-+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ）
（A ）12- （B ）2- （C ）1
2
（D ）2
9．从0,1,2,3,4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ）
（A ）27个 （B ）30个 （C ）36个 （D ）60个
10．已知双曲线22
1x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，
则以1F ，2F 为焦点且经过P 的椭圆的离心率为（ ） （A
（B
（C
）2
（D ）12
11．下列说法正确的个数是（ ）
①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据
(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71x y -= ，则若该
大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；
②关于x 的方程2
10(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1
()2
OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；
④已知F 是椭圆22
143
x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP ，
则直线OP （O 333
)
(
,)82
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
12．已知双曲线22
:145
x y C -=右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近
线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当1
2
AP PB =时，||||OA OB ⋅为（ ） （A ）
818 （B ）9 （C ）274 （D ）92
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
2．本部分共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生 进行调查，则抽取的高中生人数为 ．
14．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为 ．
15．在区间[0,2]上随机取两个数,a b ，则事件“函数()1f x bx a =+-在[0,1]内有零点” 的概率为_______．
16．已知A ，B 分别为椭圆2
214
x y +=的右顶点和上顶点，平行于AB 的直线l 与x 轴、
y 轴分别交于C 、D 两点,直线CE 、DF 均与椭圆相切,则CE 和DF 的斜率之积
等于 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）焦点在y 轴上，虚轴长为8，离心率为53
e =
； （Ⅱ）经过点)2,3(-C ,且与双曲线116
82
2=-y x 有共同的渐近线．
18．（本小题满分12分） （
Ⅰ
）
已
知
5
5443322105)13(x a x a x a x a x a a x +++++=-，求
22024135()()a a a a a a ++-++的值.
（Ⅱ）若n
x )21(+展开式前三项的二项式系数和等于37，求n
x )21(+的展开式中二项式系数最大的项的系数.
19．（本小题满分12分）2018年9月16日下午5时左右，今年第22号台风“山竹”在广东江门川岛镇附近正面登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，某记者调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，(2000,4000]，
(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并作出如下频率分布直方图（图1）.
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计该小区居民由于台风造成的经济损失的众数和平均值. （Ⅱ）“一方有难，八方支援”，台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，记者调查的100户居民捐款情况如下表格，在图2表格空白处填写正确数字，并说明是否有99%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
2
图1图
/元
（Ⅲ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及期望)(ξE .
参考公式：)
)()()(()(2
2
d c d b c a b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=
20．（本小题满分12分）已知抛物线2
1:2C x py =(0)p >，椭圆22
22:1
16x y C b
+=（0<b <4），O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，A 是椭圆的右顶点，AOF ∆的面积为4．
（Ⅰ）求抛物线
的方程；
（Ⅱ）过F 点作直线交于
、
两点，求OCD ∆面积的最小值．
21．（本小题满分12分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销量y （单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6年宣传费i x 和年销量)6,5,4,3,2,1(=i y i 的数据做了初步统计，得到如下数据：
式
)0,(>⋅=b a x a y b 即a x b y ln ln ln +=，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.
（Ⅱ）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为500)2040()(+++-=x e x x R （万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入108万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由.（其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =
）
附：对于一组数据()()()1122,,,,
,
,n n u v u v u v ，其回归直线v u βα=⋅+中的斜率和截距的
最小二乘估计分别为1
2
2
1
,n
i i i n
i
i u v nuv
v u u
nu βαβ==-=
=-⋅-∑∑．
22．（本小题满分12分）在圆221:(48C x y ++=内有一点P ,Q 为圆1C 上一动点，线段PQ 的垂直平分线与1C Q 的连线交于点C ． （Ⅰ）求点C 的轨迹方程．
（Ⅱ）若动直线l 与点C 的轨迹交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恒过坐标原点O .问是否存在一个定圆与动直线l 总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1~5）ADCCB （6~10）CBDBA （11~12）CA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．40 14．10 15．38 16．14
±
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）设所求双曲线的标准方程为22
221(0,0)y x a b a b
-=>> ………………………1分
则35,82==
=a c e b ,从而5
4,3
c b a ==，代入222b a c +=，得92=a ，故方程为116
92
2=-x y ………5分 （Ⅱ）由题意可设所求双曲线方程为)0(16
82
2≠=-λλy x ，将点)2,3(-C 的坐标代入，
得
λ=-16
2
83， 解得41=λ，所以所求双曲线的标准方程为14
22
2=-y x ………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）令1=x 得5
54321052)13(=+++++=-a a a a a a ………………………2分 令1-=x 得10
54321052)13(-=-+-+-=--a a a a a a ………………………4分
15
543210543210233124202))(()()(-=-+-+-+++++=++-++∴a a a a a a a a a a a a a a a a a a ……6分
（Ⅱ）由题意372
)
1(12
10=-++=++n n n C C C n n n ，即0722=-+n n ，解得8=n 或9-=n （舍） …9分
所以n
x )21(+的展开式中第五项的二项式系数4
8C 最大，由展开式的通项公式知第五项为
444851120)2(x x C T ==，故所求的系数为1120 ………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知该小区居民由于台风造成的经济损失的众数=3000（元）…………1分
平均值=10000.330000.550000.1670000.0290000.022920⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）…………3分
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有0.810080⨯=人，经济损失超过4000元的有100-80=20人， ………………………5分 则表格数据如下
2
2
100(60101020) 4.76280207030
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．………………………7分
由于4.762 6.635<，( 6.635)0.010P k ≥=
所以没有99%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．………………………8分
（Ⅲ）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.2，将频率视为概率.
由题意知ξ的取值可能有10,1,2,3,~(3,)5
B ξ， ………………………10分
ξ的分布列
()30.20.6E np ξ∴==⨯= ………………………12分
20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）已知(0,)2
p
F ，因为椭圆长半轴长的平方为16，所以右顶点为(4,0)A ， 又AOF ∆的面积为
14422
p
⋅⋅=，解得4p =，………………………2分 所以抛物线方程为2
8x y = ………………………4分
（Ⅱ）由题知直线CD 斜率一定存在，设为k ，则设直线的方程为2y kx =+，联立抛物线方程得：28160x kx --=，………………………5分
由根与系数的关系12128,16x x k x x +=⋅=-……………………6分
||CD =……………………7分
()2||81CD k ==+………………………8分，
点O 到直线CD
的距离为d =
……………………9分
所以OCD S ∆
=2
18(1)82k ⋅+=≥………………………11分 所以，OCD S ∆最小值为8．………………………………………………12分 21．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)记事件A 表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年中有2年的
年销量低于20吨，故15
14
)(2
61
41224=⋅+=C C C C A P ……………………3分 （Ⅱ）对)0,0(>>⋅=b a x a y b
两边取对数得x b a y ln ln ln +=，令l n ,l n i i i i u x v y ==
得u b a v ⋅+=ln ，由题中数据得：1.466.24==
u ，05.36
3
.18==v ……………………4分
3.75)ln (ln )(6
1
61
=⋅=∑∑==i
i i
i
i i y x v u ，4.101)(ln 26
1
6
1
2==∑∑==i i i i
x u
所以
2
1
)1.4(64.10105.31.463.75)()
()(26
1
2
26
1
=
⨯-⨯⨯-=
--=
∑∑==i i
i i i u n u
v u n v u b ，由
11.42
1
05.3ln =⨯-=-=u b v a ，得e a =，
故所求回归方程为x e y =.…………………………………8分
（Ⅲ）设该公司的年利润为)(x f ，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知
500
)10(2300402)20200(500)2040()(2+--=++-=++-+++-=x x x x x e x e x x f ，
当10=x 即100=x 时，利润)(x f 取得最大值500（万元），故2019年该公司计划投入108万元宣传费的决策不合理. …………………………………………12分
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）圆221:(48C x y ++=
的圆心为1(C -
，半径为r =
点C 在线段PQ 的垂直平分线上 ∴||||CP CQ =
又
点
C
在线段
1C Q
的上
∴1111||||||||||||C Q CQ CC CP CC C P =+=+==∴由椭圆的定义可知点C
的轨迹是以1(C -
，P
为焦点，长轴长为椭圆，
∴2c a b ===，故点C 的轨迹方程为221124
x y += (4)
分
（Ⅱ）假设存在这样的圆.设，
.
由已知，
以
为直径的圆恒过原
点
，即O M O N ⊥
，所以
12120x x y y +=.……………………5分
当直线l 垂直于x 轴时，
，
，所以
，又22
1124
x y +=，解得
22113x y ==，
不妨设M
，N
或(M
，(N
，即直线的方程
为x =
x =O 到直线l
的距离为d =……………………7分
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，解221124
y kx m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩消去y 得方程：
11 222(13)63120k x kmx m +++-=因为直线与椭圆C 交于M ， N 两点，所以方程的判别式
222(6)4(13)(312)0km k m ∆=-+->即224(13)m k <+，且122
613km x x k -+=+， 212231213m x x k
-=+. 由12120x x y y +=，得
， 所以22222(312)6(1)()01313m km k km m k k
--+++=++整理得223(1)m k =+（满足0∆>）. 所以原点O 到直线l
的距离d ==综上所述，原点O 到直线l
的距离为定值，即存在定圆223x y +=总与直线l 相
切. ………………12分。