广东省揭阳市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理

广东省揭阳市第三中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设集合M ={1,2,3}，N ={x |1log 2>x ），则N M ⋂=( ) A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,3} D ．{1,2,3}
2、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
A 、()()f x f x -是奇函数；
B 、()()f x f x -是奇函数；
C 、()()f x f x +-是偶函数；
D 、()()f x f x --是偶函数 3、下列各式错误．．
的是（ ）. A. 0.8
0.73
3> B. 0..50..5log 0.4log 0.6>
C. 0.1
0.10.750.75-< D. lg1.6lg1.4>
4、设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是（ ）
A ．]2,(-∞
B ．),1[+∞-
C ．),1(+∞-
D ．[－1，2]
5、 若)(x f 是奇函数，且0x 是函数x
e x
f y -=)(的一个零点，则0x -一定是下列哪个函 数的零点( )
A ．1)(--=x
e x
f y +1 B ．1)(+=-x
e x
f y C ．1)(+=x e x f y D ．1)(-=x e x f y
6、 函数2
651()()3
x x f x -+=的单调递减区间为（ ）.
A. (,)-∞+∞
B. [3,3]-
C. (,3]-∞
D. [3,)+∞
7、 如图的曲线是幂函数n
x y =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，
1
2
±
四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）. A ．112,,,222-- B. 112,,2,22-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--
8、函数2ln 4)(x x x f -=的大致图象是( )
4
2
5
c 4
c 3c 2
c 1
第1页 共4页
9、 下列有关命题的说法中错误的是．．．．
（ ） （A ）若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 （B ）“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件
（C ）“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”
（D ）若命题p ：“∃实数x 使20x ≥”，则命题p ⌝为“对于x R ∀∈都有2
0x <”
10、函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝2
1＋x
在同一直角坐标系下的图象大致是( )
11、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a ， x <0a x
， x ≥0
(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范是( )
A ．(0,1)
B ．[13，1)
C ．(0，1
3
]
D ．(0，2
3
]
12、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13、
函数y =的定义域为 . （用区间表示）
14、已知幂函数()y f x =
的图像过点12⎛ ⎝⎭
，则()2
2log f 的值为 . 15、设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g =__________．
16、我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口
数为y 亿，则y 与x 的关系式为____________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）
已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==
（1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上是单调函数，求实数a 的取值范围． 18、（本题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos ;B
（2）若90B =
，且a 求ABC ∆的面积. 19、（本题满分12分）
已知{a n }是公差d≠0的等差数列，a 2，a 6，a 22成等比数列，a 4+a 6=26；数列{b n }是公比q 为正数
的等比数列，且b 3=a 2，b 5=a 6． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ． 20、（本题满分12分）
有编号为1210,,
,D D D 的10个零件，测量其直径（单位：mm ），得到下面数据：
其中直径在区间（148，152]内的零件为一等品．
第3页 共4页
编号 1D
2D
3D
4D
5D
6D
7D
8D
9D
10D
直径
151
148
149
151
149
152
147
146
153
148
（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率；
（2）从一等品零件中，随机抽取2个. 用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
21、（本题满分12分）已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且．
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)](2
[)(2
3
x f m
x x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值？ 22、（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cosθ． （Ⅰ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．
揭阳三中2021―2021度第一学期高三级第1次月考 数学(理科) 答案
一、选择题（每小题5分） ACCBC DABCD BC
12.[答案] C [解析] ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，对任意x 、y ∈R 成立，
∴x ＝y ＝0时，有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0，又f (1)＝2，
∴y ＝1时，有f (x ＋1)－f (x )＝f (1)＋2x ＝2x ＋2，
∴f (0)－f (－1)＝0，f (－1)－f (－2)＝－2，f (－2)－f (－3)＝－4， 三式相加得：f (0)－f (－3)＝－6，∴f (－3)＝6. 二、填空题（每小题5分） 13、[1,)+∞； 14、12； 15、1
2
； 16、*13 1.01,x y x N =⨯∈。

三、解答题
17.（本题满分12分）
（1）由已知，设2
()(1)1f x a x =-+，由(0)3f =，得2a =，故2
()243f x x x =-+． ………………6分
（2）要使函数是单调函数，则
21
2111
1
111
202
a a a a a a a a a <+⎧⎨
≥+≤⎩<⎧⎪
≤≤<⎨≥≤⎪⎩或即0或或 ………………12分 18．（本题满分12分）
（I ）由题设及正弦定理可得2
b =2ac. 又a=b ，可得cosB=2
222a c b ac +-=14
……6分
（II ）由（I ）知2
b =2ac. 因为B=o
90，由勾股定理得222
a c =
b +.
故22
a c =2ac +，的
所以△ABC 的面积为1. ………………12分
19.（本题满分12分）
（Ⅰ）∵{a n }是公差d≠0的等差数列，且a 4+a 6=26，∴a 5=13，又∵a 2，a 6，a 22成等比数列， ∴（13+d ）2=（13﹣3d ）（13+17d ），解得：d=3或d=0（舍），∴a n =a 5+（n ﹣5）d=3n ﹣2；
又∵b 3=a 2，b 5=a 6，∴q 2
===
=4，∴q=2或q=﹣2（舍），
又∵b 3=a 2=4，∴b n =b 3•q
n ﹣3
=4•2
n ﹣3
=2
n ﹣1
；………………6分
（Ⅱ）由（I ）可知，a n •b n =（3n ﹣2）•2n ﹣1
，
∴T n =1•20
+4•21
+7•22
+…+（3n ﹣5）•2n ﹣2
+（3n ﹣2）•2
n ﹣1
2T n =1•21
+4•22
+…+（3n ﹣5）•2
n ﹣1
+（3n ﹣2）•2n
错位相减得：﹣T n =1+3（21
+22
+…+2
n ﹣1
）﹣（3n ﹣2）•2n
=1+3•
﹣（3n ﹣2）•2
n
=﹣5﹣（3n ﹣5）•2n
∴T n =5+（3n ﹣5）•2n
．………………12分
20. (本题满分12分)
解：（1）由所给数据可知，10个零件中一等品零件共有5个. -----------------1分 设“从上述10个零件中，随机抽取2个，2个零件均为一等品”为事件A ，
则25210()2
9
P A C C ==.-------------------------------------------------------4分
（2）∵ξ的可能取值为：0,1,2,3---------------------------------------------5分 且251(0)52P C ξ==
=,251(1)52P C ξ=== ,252(2)5
4P C ξ===, 251(3)52P C ξ===--9分 ∴ξ的分布列为
ξ
0 1 2 3
()P ξ
15
15
25
15
∴ξ数学期望055512355
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.-----------------------------12分
21. (本题满分12分) 解：（Ι）由
x
x a x f )
1()(-=
'知： 当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；
当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(；………………6分 （Ⅱ）由
12
)2(=-
='a
f 得2-=a
∴32ln 2)(-+-=x x x f ，
()2
2f 'x x =-
. ………………………8分
3232()'()(2)222m m g x x x f x x x x
⎡⎤
=++=++-⎢⎥⎣⎦
∴
2
'()3(4)2g x x m x =++-, ∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，
∴0)(='x g 有两个不等实根且至少有一个在区间)3,(t 内…………9分 又∵函数)(x g '是开口向上的二次函数，且
02)0(<-='g ，
∴⎩
⎨⎧>'<'0)3(0)(g t g …………10分
由4320)(--<
<'t t
m t g 得，∵432
)(--=t t t H 在]2,1[上单调递减，
所以
9)2()(min -==H t H ；∴9-<m ，由02)4(327)3(>-++='m g ，解得3
37
-
>m ； 综上得：9337-<<-
m 所以当m 在)9,3
37
(--内取值时，对于任意]2,1[∈t ，函数)](2
[)(23x f m
x x x g '++=，在区间)3,(t 上总存在极值 . …………12分
22. (本题满分10分)
（Ⅰ）∵直线l 的参数方程（t 为参数），∴消去参数t ，得直线l 的普通方程为
=0，∴直线l 的极坐标方程为
=0．…………5分
（Ⅱ）∵曲线C 的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0 联立
，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3
∴直线l 与曲线C 交点的直角坐标为（1，﹣），（3，
） ∴直线l 与曲线C 交点的极坐标为（2，），（2
，
）．
………………10分。