2018版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第五章第1节习题课

习题课曲线运动
合运动与分运动的关系合运动的性质
[ 要点归纳 ]
等效性
1.合运动与分运动的关系等时性
独立性
在解决此类问题时，要深刻理解“等效性” ；利用“等时性”把两个分运动与合
运动联系起来；坚信两个分运动的“独立性” ，放心大胆地在两个方向上分别研
究。

2.合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的
合初速度 v0和合加速度 a，然后进行判断。

(1)判断是否做匀变速运动：若 a 恒定，物体做匀变速运动；若 a 变化，物体做
变加速运动。

(2)判断轨迹曲直：若 a 与 v0共线，则做直线运动；若 a 与 v0不共线，则做曲线
运动。

[ 精典示例 ]
[例 1]质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度v x和v y随时间变化的图线如图 1(a)、 (b)所示，求：
图1
(1)物体所受的合力；
(2)物体的初速度；
(3)t＝8 s 时物体的速度；
(4)t＝4 s 内物体的位移。

解析 (1)物体在 x 方向： a x＝；
y 方向： a y＝
v y
＝ 0.5 m/s2 t
根据牛顿第二定律： F 合＝ma y＝ 1 N，方向沿 y 轴正方向。

(2)由题图可知 v x0＝3 m/s， v y0＝0，
则物体的初速度v0＝3 m/s，方向沿 x 轴正方向。

(3)由题图知， t＝8 s 时，v x＝ 3 m/s，v y＝4 m/s，物体的合速度为 v＝
22
＝5 v x＋ v y
4
m/s， tan θ＝3，θ＝53°，即速度方向与 x 轴正方向的夹角为53°。

12
(4)t＝4 s 内， x＝ v x t＝ 12 m，y＝2a y t ＝4 m。

物体的位移 l ＝x2＋ y2≈12.6 m
y 1
tan α＝x＝3。

答案(1)1 N，沿 y 轴正方向
(2)3 m/s，沿 x 轴正方向
(3)5 m/s，方向与 x 轴正方向的夹角为53°
1
(4)12.6 m，方向与 x 轴正方向的夹角的正切值为3
互成角度的两个直线运动的合运动的性质
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。

(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动合成时，由于其加速度与合速度不
在同一条直线上，故合运动是匀变速曲线运动。

(3)两个都是从静止开始的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动。

(4)两个匀加速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一
定是匀变速运动。

[针对训练 1] 如图 2 所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个
红蜡块能在水中以速度v 匀速上浮。

红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则蜡块的轨迹可能是()
图 2
A. 直线 P
B.曲线 Q
C.曲线 R
D.无法确定
解析红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，
所受合力水平向右，合力与合速度不共线，红蜡块的轨迹应为曲线， A 错误；由于做曲线运动的物体所受合力应指向弯曲的一侧，故 B 正确， C、D 错误。

答案B
小船渡河问题
[ 要点归纳 ]
1.小船参与的两个分运动
(1)船相对水的运动 (即船在静水中的运动 )，它的方向与船头的指向相同。

(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行。

2.两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。

因此若要渡河时
d
间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。

由图 3 可知， t 短＝v船，此时船渡河的
d v 位移 x＝sin 船
θ，位移方向满足 tan θ＝v水。

图3
(2)渡河位移最短问题情况一： v 水＜ v 船
最短的位移为河宽 d，此时渡河所用时间t＝
d
v船 sin θ，船头与上游河岸夹角θ满
足
v 船 cos θ＝v 水，如图 4 所示。

图 4
情况二：v 水＞ v 船
如图 5 所示，以 v 水矢量的末端为圆心，以 v 船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。

由图
可知 sin α＝v
船，最短航程为 x＝d＝v水。

此时船头指向应与上游河岸成θ′v水sin α
v船
d
v船
角，且 cos θ′＝。

图5
[ 精典示例 ]
[例 2]小船在200 m 宽的河中横渡，水流速度是 2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。

求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？
解析(1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间t min＝
d 200
v船＝4s＝ 50 s。

(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使 v 合的方向垂直于河对岸，故船头应
偏向上游，与河岸成α角，有
v水1
cos α＝v船＝2，解得α＝ 60°。

答案(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。

(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。

对小船渡河问题，要注意以下三点：
(1)研究小船渡河时间时→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分
运动求解。

(2)分析小船速度时→可画出小船的速度分解图进行分析。

(3)研究小船渡河位移时→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。

[针对训练 2] 如图 6 所示，一艘小船要从 O 点渡过一条两岸平行、宽度为 d＝ 100 m 的河流，已知河水流速为 v1＝4 m/s，小船在静水中的速度为 v2＝2 m/s，B 点
距正对岸的 A 点 x0＝173 m。

下面关于该船渡河的判断，其中正确的是()
图6
A. 小船过河的最短航程为100 m
B.小船过河的最短时间为25 s
C.小船可以在对岸A、B 两点间任意一点靠岸
D.小船过河的最短航程为200 m
解析因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，
则小船不可能到达正对岸。

如图所示，当合速度的方向与相对水的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最大，渡河航程最小；根据几何关系，则有：
d v2
s＝v14
×100 m＝200 m，故 A 、C 错误， D正确；
s ＝，因此最短的航程是d＝
v1v22
d100
当船在静水中的方向与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝
v2＝2s＝50
s，故 B 错误。

答案D
“绳联物体”的速度分解问题
[ 要点归纳 ]
“绳联物体”指物体拉绳(杆 ) 或绳 (杆 )拉物体的问题( 下面为了方便，统一说“绳” )，注意以下两点：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直
绳方向。

(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等。

[ 精典示例 ]
[例 3]如图7所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，拉汽车乙的绳子与水平方向夹角为α，求 v1∶ v2。

图 7
解析将乙车实际运动的速度分解为沿绳方向和垂直于绳子方向，如图。

在沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度。

所以v2cos α＝ v1。

则 v1∶v2＝ cos α∶1。

答案cos α∶1
[针对训练 3] A、B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物
体 A 以 v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图8 所示。

物体 B 的运动速度 v B为(绳始终有拉力 )()
图 8
v1sin αv1cos α
A.
sin β B. sin β
v1sin αv1cos α
C.
cos β D. cos β
解析设物体 B 的运动速度为v B，此速度为物体 B 合运动的速度。

根据它的实际运动效果，两分运动分别为沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v 绳B；垂直
v B＝v绳B
绳方向的圆周运动，速度分解如图甲所示，则有①；物体 A 的合运
cos β
动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是沿绳伸长方向的分运动，
设其速度为 v 绳A；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图乙所示，则v 绳A ＝ v1cos α ②；由于对应同一根绳，其长度不变，故v 绳B＝v 绳A③；根据①
②③解得 v B＝v1 cos α
，选项 D 正确。

cos β
答案D
1.(合运动与分运动的关系 )关于运动的合成与分解，以下说法正确的是()
A.合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B.物体的两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C.合运动和分运动具有等时性
D.若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
解析运动的合成与分解遵循平行四边形定则而不能简单地相加减， A 项错；由物体做直线运动和曲线运动的条件可知，B、D 项错；合运动与分运动具有等时性， C 项正确。

答案C
2.(合运动性质的判断 )(多选 )一物体在 xOy 平面内从坐标原点开始运动，沿和
y 轴方向运动的速度随时间 t 变化的图象分别如图 9 甲、乙所示，则物体
x 轴
0～t0时间内 ()
图9
A.做匀变速运动
B.做非匀变速运动
C.运动的轨迹可能如图丙所示
D.运动的轨迹可能如图丁所示
解析0～t0时间内物体在x 轴方向做匀速直线运动，在y 轴方向上做匀减速直线运动，所受合力沿 y 轴负方向且大小保持不变，物体做向 y 轴负方向弯曲的匀
变速曲线运动，故选项 A 、C 正确。

答案AC
3.(绳联物体的速度分解问题 )如图 10 所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为 v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则船的运动性质及此时刻小
船水平速度 v x为 ()
图10
v0
A. 船做变加速运动， v x＝cosα
B.船做变加速运动， v x＝v0cos α
v0
C.船做匀速直线运动， v x＝cosα
D.船做匀速直线运动， v x＝ v0 cos α
解析如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度v x可以产生两个效果：一是使绳子OP 段缩短；二是使OP 段绳与竖直方向的夹角减小。

所以船的速度 v x应有沿 OP 绳指向 O 的分速度 v0和垂直 OP 的分速度 v1，由运动的
分解可求得v x＝
v0
，α角逐渐变大，可得v x是逐渐变大的，所以小船做的是cos α
变加速运动。

答案A
4.(小船渡河问题 )如图 11 所示，河宽 d＝ 120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。

小船从 A 点出发，在过河时，船身保持平行移动。

若出发时
船头指向对岸上游的 B 点，经过 10 min，小船恰好到达正对岸的 C 点；若出发时船头指向正对岸的 C 点，经过 8 min，小船到达 C 点下游的 D 点。

求：
图11
(1)小船在静水中的速度 v 1 的大小；
(2)河水的流速 v 2 的大小；
(3)在第二次过河中小船被冲向下游的距离 s CD 。

解析
(1)小船从 A 点出发，若船头指向正对岸的
C 点，则此时过河时间最短，
d 120
故有 v 1＝
t min ＝
60×8
m/s ＝0.25 m/s 。

(2)设 AB 与河岸上游成 α角，由题意可知，此时恰好到达正对岸的 C 点，故 v 1
沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速 v 2 的大小，即 v 2＝ v 1cos α，此时
过河时间为 t ＝
d ，所以 sin α＝ d
＝0.8，cos α＝ 0.6，
v 1sin α v 1t
故 v 2＝v 1cos α＝0.15 m/s 。

(3)在第二次过河中小船被冲向下游的距离为 s CD ＝v 2t min ＝72 m 。

答案
(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
基础过关
1.关于合运动、分运动的说法正确的是 (
)
A. 合运动的位移为分运动位移的矢量和
B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D.合运动的时间一定比分运动的时间长
解析
位移是矢量，其运算满足平行四边形定则， A 正确；合运动的位移可大于
分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，
B 错误；同理可知
C 错误；合运动
和分运动具有等时性， D 错误。

答案 A
2.(多选 )关于运动的合成，下列说法中正确的是()
A.两个直线运动的合运动，一定是直线运动
B.两个直线运动的合运动，可能是曲线运动
C.两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动
D.两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动
解析两个匀速直线运动的合成，就是其速度的合成，其合速度是确定的，等于两个分速度的矢量和，加速度为零，即合力为零，故合运动一定是匀速直线运动，
C 对；两个分运动的合加速度方向与合速度的方向不一定在同一直线上，既有可能做曲线运动，也有可能做直线运动，故 A 、
D 错， B 对。

答案BC
3.(多选 )两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和 v2，加速度分别为a1和 a2，则它们的合运动轨迹()
A. 如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线
B.如果 v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C.如果 a1＝a2，那么轨迹一定是直线
a1v
1
D.如果＝，那么轨迹一定是直线
解析判断合运动是直线还是曲线，看合初速度与合加速度是否共线，故选项 A 、D 正确。

答案AD
4.有一个质量为 2 kg 的质点在xOy 平面内运动，在x 方向的速度图象和y 方向的位移图象如图 1 甲、乙所示，下列说法正确的是()
甲乙
图1
A. 质点所受的合力大小为 3 N
B.质点的初速度大小为 3 m/s
C.质点做匀变速直线运动
D.质点初速度的方向与合力方向垂直
解析由题图可知， a x＝2， y＝，y＝－，故质点所受的合力
F ＝
1.5 m/s a 0 v 4 m/s
ma x＝ 3 N，方向沿＋ x 方向，质点的初速度大小为v0＝32＋（－ 4）2m/s＝ 5 m/s，方向不与合力方向垂直，质点做曲线运动，故只有 A 正确。

答案 A
5.(多选 )如图 2 所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体 B 的吊钩，在小车 A 与物体 B 以相同的水平速度沿吊臂方向做匀速直
线运动的同时，吊钩将物体 B 向上吊起， A、 B 之间的距离以 d＝H－ 2t2(SI)(SI 表示国际单位制，式中 H为吊臂离地面的高度 )规律变化，则物体做 ()
图2
A. 速度大小不变的曲线运动
B.速度大小增加的曲线运动
C.加速度大小、方向均不变的曲线运动
D.加速度大小、方向均变化的曲线运动
解析 B 物体在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上由d＝ H－ 2t2得出做匀
加速直线运动。

B 物体的实际运动是这两个分运动的合运动。

对速度和加速度进
行合成可知，加速度恒定且与合速度不共线。

所以选项B、C 正确。

答案BC
6.(多选 )如图3 所示，做匀速直线运动的小车 A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起
一重物B，设重物和小车速度的大小分别为v B、v A，则 ()
图3
A. v A＞v B
B.v A＜v B
C.绳的拉力等于 B 的重力
D.绳的拉力大于 B 的重力
解析小车 A 向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分
解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知
v B＝ v A cos θ，则 v B＜ v A，小车向左运动的过程中θ角减小，
v B增大， B 向上做加速运动，故绳的拉力大于 B 的重力。

故选项 A 、 D 正确。

答案AD
7.(多选 )下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v 的箭头所示，虚线为小船从河岸 M 驶向对岸 N 的实际航线。

则其中可能正确的是()
解析船头垂直于河岸，根据平行四边形定则知，合速度的方向偏向下游，故A 正确， C 错误；当船头偏向上游时，若船在静水中速度与水流速度的合速度垂直
河岸，故 B 正确；当船头偏向下游时，船的轨迹一定偏向下游，故 D 错误。

答案AB
能力提升
8.如图 4 所示，重物
M 沿竖直杆下滑， 并通过绳带动小车沿斜面升高。

当滑轮右
侧的绳与竖直方向成 θ角，且重物下滑的速率
为
v 时，小车的速度为
( )
图 4
v
A. vsin θ
B.
cos θ
v
C.vcos θ
D.
sin θ 解析 重物以速度 v 沿竖直杆下滑，将重物的速度分解为沿绳子
方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的分速度等于绳速，如图所
示。

绳子速率 v 绳＝vcos θ，而绳子速率等于小车的速率， 则有小
车的速率 v 车＝v 绳＝vcos θ。

故选 C 。

答案
C
9.(多选 )河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图 5 甲所示，船在静水中
的速度与时间的关系如图乙所示，若要以最短时间渡河，则
(
)
图 5
A. 船渡河的最短时间是 60 s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度是 5 m/s
解析
由题中甲图可知河宽 300 m ，船头始终与河岸垂直时， 船渡河的时间最短，
d
300
则 t ＝ v 船＝ 3 s ＝100 s ，A 错， B 对；由于船沿河向下漂流的速度大小始终在
变，故船的实际速度的大小、 方向也在时刻发生变化， 船在河水中航行的轨迹是
曲线， C 错；船沿河向下漂流的最大速度为 4 m/s ，所以船在河水中的最大速度
v ＝
32＋42m/s ＝5 m/s ， D 对。

答案
BD
10.已知某船在静水中的速率为 v 1＝4 m/s ，现让船渡过某条河，假设这条河的两
岸是理想的平行线，河宽为 d ＝100 m ，河水的流动速度为 v 2＝3 m/s ，方向与河
岸平行。

试分析：
(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的
位置怎样？船发生的位移是多大？
(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多
少？
解析
(1)若以渡河时间最短的方式渡河，则船头始终指向正对岸，但船实际的
航向斜向下游，如图甲所示。

甲
d
100
渡河的最短时间
t min ＝ ＝
s ＝ 25 s
船的位移为 ＝
2
2 min
2
2 ×25 m ＝125 m
l 1
2
t ＝ 4 ＋3
v ＋ v
船渡过河时已在正对岸的下游 A 处，其顺水漂流的位移为 x ＝v 2t min ＝ 3× 25 m ＝
75 m
(2)由于 v 1>v 2，故船的合速度与河岸垂直时，船的航行距离最短。

设此时船速 v 1
的方向 (船头的指向 )斜向上游，且与河岸成 θ角，如图乙所示。

乙
v 2 3 则 cos θ＝ ＝
v 1 4
船的实际速度为
v ＝
2 －v 2
2
2
m/s ＝ 7 m/s
合 v
＝
4 －3
1
2
故渡河时间 t ′＝ d ＝
100
s ＝100
7 s 。

v 合
7
7
答案
见解析
11.在一光滑的水平面上建立 xOy 平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿 x 方向和 y 方向的 x －t 图象和 v y － t 图象如图 6 甲、乙所示，求：
甲
乙
图 6
(1)运动后 4 s 内质点的最大速度；
(2)4 s 末质点离坐标原点的距离。

解析 (1)由题图可知，质点沿 x 轴正方向做匀速直线运动，速度大小为 v x ＝ x
＝
t 1
2 m/s 。

在运动 4 s 内，沿 y 轴方向运动的最大速度为 4 m/s 。

则运动后 4 s 内质点
运动的最大速度
2
2
v m ＝ v x ＋v y ＝ 2 5 m/s 。

(2)0～ 2 s 内质点沿 y 轴正方向做匀加速直线运动， 2～4 s 内先沿 y 轴正方向做匀 减速直线运动，再沿 y 轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小
a
v 6 2 2 v 2 ＝ t ＝
2 m/s ＝
3 m/s 。

则质点沿 y 轴正方向做匀减速运动的时间 t 2＝ a ＝ 3 s 。

1 2 1 4
则运动后 4 s 内沿 y 轴方向的位移 y ＝ 2× 2× (2＋3) m － 2× 4× 3 m ＝0。

因此 4 s 末质点离坐标原点的距离等于沿 x 轴方向的位移，由题图甲可知， 4 s
末质点离坐标原点的距离s＝x＝8 m。

答案(1)2 5 m/s(2)8 m
12.如图 7 所示，在光滑水平面上有坐标系xOy，质量为 1 kg 的质点开始时静止
在 xOy 平面上的原点O 处，某一时刻起受到沿x 轴正方向的恒力F1的作用， F1的大小为 2 N，若力 F1作用一段时间 t0后撤去，撤去力F1后 5 s 末质点恰好通过该平面上的 A 点， A 点的坐标为 (11 m，15 m)。

(1)为使质点按题设条件通过 A 点，在撤去力 F1的同时对质点施加一个沿y 轴正方向的恒力 F2，此后 F2一直作用在质点上，力F2应为多大？
(2)力 F1作用时间 t0为多长？
(3)在图中画出质点运动轨迹示意图，在坐标系中标出必要的坐标。

图 7
解析(1)撤去 F1，在 F2的作用下，沿 x 轴正方向质点做匀速直线运动，沿y 轴
12F22my
正方向质点做匀加速直线运动。

由y＝2a2t和 a2＝m，可得 F2＝t2，代入数据2
得 F ＝1.2 N。

F12 1 2
(2)在 F1作用下，质点运动的加速度 a1＝m＝2 m/s ，由 x1＝2a1t0，x－x1＝vt＝ a1 t0 t，解得 t0＝1 s，t0＝－ 11 s(舍去 )
(3)质点运动轨迹示意图如图所示。

答案(1)1.2 N (2)1 s (3)见解析图。