北交大激光原理第2章Suggestsforsolvingproblems综述

第2章光和物质的近共振相互作用
一、学习要求与重点难点
学习要求
1．掌握电偶极振子模型，理解模型的近似；
2．掌握电偶极振子模型对介质自发辐射、吸收的解释，以及对介质谱线加宽机制和线型函数的解释；
3．了解电偶极振子模型对介质色散的解释；
4．了解介质谱线加宽机制，理解两种线型函数产生机制的差异；
5．了解典型激光器中工作物质的加宽类型；
6．掌握爱因斯坦唯象理论，理解谱线加宽对爱因斯坦跃迁系数的影响；
7．了解光和物质相互作用的近代理论。

重点
1．电偶极振子模型，及其近似；
2．介质自发辐射、吸收、谱线加宽机制和线型函数的经典理论；
3．典型加宽机制和线型函数；
4．爱因斯坦唯象理论，以及谱线加宽对爱因斯坦跃迁系数的影响；
难点
1．电偶极振子模型的近似假设；
2．电偶极振子模型对介质自发辐射、吸收的解释，以及线型函数的引入；
3．综合加宽；
4．谱线加宽对爱因斯坦跃迁系数的影响；
二、知识点总结
1. 经典理论⎪
⎩⎪
⎨⎧偶极振子相互作用相互作用：光电场与电
物质：电偶极振子光：电磁波
理论的内在逻辑：介质极化 → 电偶极振子模型 → 电偶极振子运动方程 →
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧←→=−−−→−−−−→−⎪⎩⎪⎨⎧均匀加宽线型函数：洛伦兹函数比谱线宽度：与寿命成反虚数部：选择性吸收实数部：反常色散复数物质散射吸收损耗光电场有外光电场解：射无外光电场解：自发辐
非铁磁质极化强度εεn 2. 线宽
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧←←高宽同宽时非均匀加宽高斯函数均匀加宽洛伦兹函数线型函数：归一相对宽度一样
波数宽度波长宽度频率宽度线宽：描述：3dB or FWHM
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧−−−−→−=⎪⎩⎪⎨⎧−−−→−⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧−−−→−⎰∞+∞-线宽由大的定积分变为佛克脱不同类型：线型函数改，线宽相加同类型：线型函数不变
综合加宽：晶格缺陷加宽多普勒效应相近谱线的叠加非均匀加宽：中心频率
晶格振动压力加宽碰撞加宽自然、寿命加宽叠加均匀加宽：相同谱线的类型：线宽相差大者产生机制产生机制'''),(),(),()Voigt (00000dv v v g v v g v v g H D ()()()⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=←⎰∞+∞-00000ννρννρνννρνν,,,:),()(g B n dt dn g B n dt dn d g B n dt dn A v v g v A ji j st i ji j st i ji j st i 宽带光场：激光场：受激跃迁：配跃迁几率按线型函数分影响自发辐射跃迁系数：无
对跃迁的影响：极端情形 激光器中实际情况：
3. 唯象理论⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪
⎩⎪⎨⎧级跃迁光子湮灭，原子向上能光与低能级原子作用：，原子向下能级跃迁光子被克隆、数量倍增光与高能级原子作用：
能级跃迁：光子产生，原子向下无光与高能级原子作用相互作用：物质：二能级原子光：能量子
⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−→−⎪⎩⎪⎨⎧−−−−→−=须采用特殊技术
非自然现象
非热平衡态光放大引起受激辐射小被吸收大
热平衡态：光子几率引起受激辐射被吸收光子等几率爱因斯坦系数关系波耳兹曼分布率21
2121B g B g
三、典型问题的分析思路
1、 线型函数归一及线宽计算问题。

线型函数),(0ννg 的功能是描述光谱线的轮廓或形状，按照其定义：
0)
(),(I I g ννν=
以及自发辐射总功率0I 与光谱线的功率频率分布有关系：
ννd I I )(0⎰+∞
∞
-=
线型函数应满足如下归一化条件：
⎰⎰⎰
∞
∞-∞
∞-∞
∞
-≡=
=1)()
(),(0
00I d I d I I d g ννννννν
所以，针对给出光谱线功率频率分布情形，线型函数的归一常常是解决下一步问题的
基础。

另外，并不是所有光谱线都是高斯或洛仑兹函数轮廓，尤其是一些非均匀加宽的介质，其光谱线可能有各种形状。

不管它们的具体形状如何奇怪，在得出线型函数后，线宽的计算只须严格按照定义：
-+-=∆ννν
解方程
),(),(2
1
000ννννg g = 即可。

2、 线宽的多种表示之间的换算关系。

由于
λ
ωνc
h
h ==η
以频率、波长或波数(1/λ，单位cm -1)差标记线宽之间的换算关系也就确定了：
⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫∆=∆∆=
∆νλνλλc c 1)1(2
注意：这里的λ为真空波长。

另外，实际计算时还要注意线宽的不同表示所取的表示单位
的换算关系。

至于换算是否成功，可以利用线宽在不同表示下的相对半宽度总是相同来做演算：
)
/1()
/1(λλλ
λ
ω
ω
ν
ν
∆=
∆=
∆=
∆
3、 由S,A 计算能级寿命问题。

若跃迁只涉及到1、2两个能级，原子激发能级2E 的平均寿命21τ应与自发辐射几率
21A 成反比：
21
211A =
τ 与外界有无辐射场无关。

但是，一个激发能级通常会有多个跃迁下能级，这样，原子激发能级2E 对每个下能级就会有一个相应的平均寿命i 2τ，原子激发能级2E 的平均寿命2τ应为：
∑
=i
i
22
1
1
ττ
以上讨论是没有考虑无辐射弛豫时的情景。

若有弛豫，激发能级的消激化更快了，原子激发能级2E 相应的平均寿命21τ应为：
21
21211
S A +=
τ
当然，若有多个消激化通道，也须象上面一样先求各自对应的寿命，然后总起来考虑。

4、 由速度计算频率中心漂移的问题，以及由温度、速度分布计算线宽或粒子数分布的问
题。

温度、速度和速度分布与频率联系起来的根本原因是多普勒效应：
c
v c v -+
=110
νν 对于低速粒子或低温气体，可以将v/c 视为小量进行级数展开取一级近似的方式得到考虑多普勒效应时的光波中心频率：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≈c v 10νν
这里发光原子是以v 速度向光接收器逼近，发光原子若是飞离光接收器则速度取-v 。

实际上无论是发光还是吸收光，相对于静止的原子，运动原子的谱线中心频率都会发生的多普勒频移：
000
νννc
v z
±=-' 运动速度越大，原子光谱线相对于其原来的中心频率偏离越远。

气体中原子运动速度按玻尔兹曼分布，因此对原子光谱线中心频率的偏离也据此进行，这样不同速度原子的中心频率稍稍错开，叠加在一起时就形成了高斯线型函数形状：
])(2exp[)2(),(2
02
22/100νννπννν--=KT mc KT m c
g D
因此它的线宽与气体温度有关：
2/12
)2ln 2(
2mc KT D D νν=∆2/10
7
)(1016.7M T ν-⨯≈ 线宽实质上也是气体分子中速度分布的反映。

5、 由线宽讨论相干性问题。

光源发光，是大量独立振子发光，每个振子发出的是在时间上持续一段t ∆或在空间占有长度t C ∆的一系列波列，这两个量也叫做相干时间和相干长度，这是因为若这个光源发出的光束之间光程差不要超过波列长度t C ∆就是相干的。

按照傅立叶频谱分析，光源的相干时间与其线宽成反比：
t ∆≈∆/1ν
线宽越窄，相干时间和相干长度越长，相干性就越好。

6、 由波长、光强，计算辐射跃迁粒子数。

按照爱因斯坦的唯象理论，光可以看成以光速运动的能量子。

为了将它和光强联系起来，可以将光能量子想象成理想气体分子，回忆一下热力学中是如何推导气体压力的，就可以照此办理得到光强I 和光能量子密度n 之间的关系：
νnh I =
这里v 是光频率。

每一个光能量子均来源于一次辐射跃迁，所以光能量子密度n 就是单位体积中的辐射跃迁粒子数。

7、 由透射光强及吸收系数，计算增益系数。

若介质对入射光场无损耗，而是起光放大作用，则
01>dz
dI
z I )(
定义为介质的增益系数：
dz
dI
z I G )(1=
实际激光介质中，损耗是消除不掉的，必须增益、损耗一起考虑。

01>dz
dI
z I )(
实质上是介质实际获得的光放大，它来源于介质增益G ，也被损耗α消减。

所以
dz
dI
z I G )(1=
-α
此微分方程的解为：
z G e I z I )()()(α-=0
四、思考题
1．激光原理中只讨论光和物质的近共振相互作用，是什么含义，为什么？
2．光学材料的正常色散、反常色散，光速各有什么特点？
3．光学材料的反常色散通常发生在什么频率位置？
4．对光谱线的描述，需要哪些参数，各自的微观物理意义是什么？
5．什么是谱线均匀加宽，什么是谱线非均匀加宽，还有没有别的加宽类型？
6．在经典电子谐振子模型的讨论中，都做了哪些近似假设，各自道理何在？
7．吸收和自发辐射线型一致吗？请由经典电偶极振子模型说明理由。

8．经典电偶极振子的振荡阻尼的来源有哪些，在光与物质相互作用中和哪些过程有关系，为什么？
9．从激光原理中得到的相对介电常量表达式来看，相对介电常量主要随什么改变？10．介质折射率等于相对介电常量的开方，激光原理中是如何对其实部、虚部加以讨论的，各有什么物理意义？
11．一个高斯线型谱线与一个洛仑兹线型谱线的线宽相同，试说明在什么频率区域高斯线型谱线强度大于洛仑兹线型的，在什么频率区域正好相反。

12．以频率为变量的线形函数相对于数峰值左右对称。

若以波长为变量，请举例说明线形函数还会左右对称吗？
13．线形函数可由经典电子谐振子模型导出，适用范围有什么限制？能不能由其它理论导出？
14．谱线均匀加宽、非均匀加宽的主要形成机制各有哪些？
15．晶格振动加宽是什么类型的加宽，为什么？
16．“能级寿命只由其自发辐射决定。

”对吗，为什么？
17．氦氖激光器中什么加宽机制起主要作用？
18．YAG激光器中什么加宽机制起主要作用？
19．已知光通过一米激光介质强度增强一倍，能求介质的增益系数吗，为什么？20．谱线加宽对跃迁几率有什么影响，在激光原理范围怎么做合理的近似处理？
五、练习题
1．激光原理中只讨论光和物质的近共振相互作用，是什么含义，为什么？
2．光学材料的正常色散、反常色散，光速各有什么特点？
3．某种k光学玻璃的折射率实验测量值随波长变化规律如下表所示：
λ(nm) 656.3 643.9 589.0 533.8 508.6 486.1 434.0 398.8 n 1.52441 1.52490 1.52704 1.52987 1.53146 1.53303 1.53790 1.54245 试用科西公式对其进行拟和，得出色散曲线。

4．光学材料的反常色散通常发生在什么频率位置？
5．试设计一个检验液体光学介质正、反常色散的教学演示实验。

6．有10μm远红外，500MHz无线电波，500nm绿光三种电磁波，试按光子能量大小进行排列。

7．对光谱线的描述，需要哪些参数，各自的微观物理意义是什么？
8．什么是谱线均匀加宽，什么是谱线非均匀加宽，还有没有别的加宽类型？
9．三种光源，有相同的光谱线中心波长630nm，线宽不同：0.10μm，3000MHz，0.5cm-1，请按线宽的大小将这些谱线排列起来。

10．在激光出现之前，Kr86低压放电灯是很好的单色光源。

忽略自然加宽和碰撞加宽，试估算在77K温度下其605.7nm光谱线的相干长度是多少？并与相对线宽∆λ/λ = 10-8的氦氖激光作比较。

11．在经典电子谐振子模型的讨论中，都做了哪些近似假设，各自道理何在？
12．吸收和自发辐射线型一致吗？请由经典电偶极振子模型说明理由。

13．经典电偶极振子的振荡阻尼的来源有哪些，在光与物质相互作用中和哪些过程有关系，为什么？
14．从激光原理中得到的相对介电常量表达式来看，相对介电常量主要随什么改变？15．介质折射率等于相对介电常量的开方，激光原理中是如何对其实部、虚部加以讨论的，各有什么物理意义？
16．一个高斯线型谱线与一个洛仑兹线型谱线的线宽相同，试说明在什么频率区域高斯线型谱线强度大于洛仑兹线型的，在什么频率区域正好相反。

17．以频率为变量的线形函数相对于数峰值左右对称。

若以波长为变量，请举例说明线形函数还会左右对称吗？
18． 线形函数可由经典电子谐振子模型导出，适用范围有什么限制？能不能由其它理
论导出？ 19． 谱线均匀加宽、非均匀加宽的主要形成机制各有哪些？ 20． 晶格振动加宽是什么类型的加宽，为什么？
21．
静止氖原子的激光辐射波长为630nm ，试问当氖原子分别以0.1C ，0.2C ，0.4C ，
0.8C 速率运动时其激光辐射波长改变了多少？ 22． 试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命21s A /1=τ 23． “能级寿命只由其自发辐射决定。

”对吗，为什么？ 24． 氦氖激光器中什么加宽机制起主要作用？ 25． YAG 激光器中什么加宽机制起主要作用？
26．
CO 2气体激光器工作温度为400K ，试估算其激光波长所对应的多普勒线宽，结果
以nm ， MHz 和cm -1表示。

27．
气体温度400K 的CO 2激光器中压力加宽系数约为48.9kHz/pa ，针对其常见输出
激光波长10.6μm ，试分析由多普勒非均匀加宽向压力均匀加宽过渡所对应的工作气压。

28．
某原子的四个能级按能量从大朝小依次排列为E 4、E 3、E 2和E 1，E 4能级到三个
低能级的自发跃迁速率分别为5⨯107s -1，1⨯107s -1和3⨯107s -1，三个低能级的寿命分别为5⨯10-7s ，6⨯10-9s 和1⨯10-8s -1。

(1) 试求E 4能级的自发辐射寿命。

(2) 在对E 4能级连续稳定激发的情况下，哪两个能级间可实现粒子数密度反转？ 29．
试求线型函数2
0220)(4)2/1(/1),(v v v v g -+=
πττ
的线宽，以及使用与该线型函数
峰值等高的矩形代替时的线宽。

30．
试由经典电偶极振子的运动方程，讨论物质受激吸收和自发辐射的特征，进而说
明物质光谱线加宽机制，以及色散与吸收的关系，和色散种类。

31．
谱线加宽对跃迁速率有什么影响，在激光原理范围怎么做合理的近似处理？
六、部分答案
1． 激光原理中只讨论光和物质的近共振相互作用，是什么含义，为什么？
解题思考：
关键概念：光，物质，相互作用，共振
答：在光场与物质相互作用的过程中，一般会同时存在共振相互作用与非共振相互作用。

共振相互作用特指光场的频率等于原子辐射本身的固有频率玻尔频率；近共振相互作用则指光场的频率近似等于玻尔频率。

在激光器中，实现光受激辐射放大，不存在于光场与物质的共振相互作用过程，也存在于其共振相互作用过程中，而不存在于除此之外的其它过程中。

所以，激光原理中只讨论光和物质的近共振相互作用。

2． 光学材料的正常色散、反常色散，光速各有什么特点？ 解题思考：
关键概念：折射率，色散
关键公式：c n V
=
答：正常色散：长波快跑；反常色散：短波跑的快。

3． 某种k 光学玻璃的折射率实验测量值随波长变化规律如下表所示 λ(nm) 656.3 643.9 589.0 533.8 508.6 486.1
434.0
398.8 n
1.52441
1.52490
1.52704
1.52987
1.53146
1.53303 1.53790
1.54245
试用科西公式对其进行拟和，得出色散曲线。

解题思考：
关键概念：折射率，色散曲线，科西公式
关键公式：4
2
λ
λ
C
B
A n +
+
=
解题关键点：按实验测量点画图拟和 解：
4． 反常色散通常发生在什么频率位置？ 解题思考：
关键概念：反常色散
关键公式：4
2
λ
λ
C
B
A n +
+
=
解题关键点：按实验测量点画图拟和 解：
解：发生在原子辐射的固有频率0ω附近。

5． 设计一个检验液体材料正、反常色散的教学实验，要求各项条目齐全。

解：实验目的：检验液体材料的正、反常色散。

实验仪器：玻璃棱镜一个，充满碘蒸气的气体棱镜一个，电源一个，白炽灯一个。

实验步骤及现象：
（1） 白炽灯通电后照射到棱镜上，在屏上可以看到从上到下由红到紫的光谱分布。

（2） 将棱镜换成充有碘蒸气的棱镜，此时，在屏上可以看到从上到下由紫到红的的光
谱分布。

6． 有10μm 远红外, 500MHz 无线电波, 500nm 绿光三种电磁波，试按光子能量大小将其排
列。

解：
518
26
73101103100.650010510m m
c
m m
λμλνλ---==⨯⨯===⨯=⨯
又因为
312
λλλλ
f f hc
E=
所以 E E E 7． 某电台发射功率为10千瓦，频率为1.6MHz ，试求：每秒钟发射多少光子？若是均匀
发射，在相距5km 处一直径2米圆天线每秒能接收到多少光子？ 解：
331
1346
222
3123
2112231010110
6.6310 1.61021041044410E n h r r n n n R R νππ-⨯⨯==≈⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯2
（5）
8． 如果激光器和微波激射器均输出1W 的连续波束，每秒从上能级向下能级跃迁的粒子
数各为多少？这里，微波激射器输出频率为3000MHz ，激光器输出波长为630nm 和10μm 。

解：
23
1346
1918
2348
2619
3348
11 5.03106.6310300010
1163010 3.1710
6.6310310111010 5.0310
6.6310310E n h E n h E n hc ννλ-----⨯=
=≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯
9． 在激光出现之前，Kr 86低压放电灯是很好的单色光源。

忽略自然加宽和碰撞加宽，试
估算在77K 温度下其605.7nm 谱线的相干长度是多少？与∆λ/λ = 10-8的氦氖激光作比较。

解：c
l c t ν
==
V V 由于86
r K 是气体，忽略自然加宽与碰撞加宽，其主要的加宽机制为多普勒加宽，其线型函数为高斯函数，则
8
7
7809
3107.16107.1610 3.3610605.710νν---⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯V 1122
T 77（）（）M 86
所以77
6.057100.89
7.161077
l --⨯=≈⨯1
2
86（） 而对于
810λ
λ
-=V 的氦氖激光器c
l ν
=
V 2
c
c
ννλλ
λ=
=
V V 由微分可得：
29
8
2
605.71060.5710
c l m c λλλλ--⨯====V V 所以可得 即86
r K 得相干长度远小于氦氖激光器的长度。

10．
什么是谱线均匀加宽，什么是谱线非均匀加宽，还有没有别的加宽类型？
解：引起谱线加宽的物理因素对其介质中的每个粒子都是相同的，这种加宽称为谱线的均匀加宽。

而引起谱线加宽的物理因素对介质中的每个发光粒子的作用于贡献不相同，称为光谱的非均匀加宽。

实际在激光的工作物质中，既存在均匀加宽又存在非均匀加宽，根本就不存在纯粹的光谱的均匀加宽或非均匀加宽的极限情况。

这种情况的加宽称为综合加宽。

11． 波长630nm, 试按线宽的大小将0.10μm, 3000MHz, 0.5cm -1三种谱线列起来。

解：
86
13412
93100.1107.56107.561063010c HZ GHZ λ
νλ--⨯⨯⨯==≈⨯=⨯⨯V V
2
（）
230003MHZ GHZ ν==V
813132
13100.515c cm GHZ
νλ
ννν-==⨯⨯=V V V f V f V （）所以
12．
对光谱线的描述，需要哪些参数，各自的微观物理意义是什么？
解：（1）中心频率，在时，光强有最大值，对应着最大的功率。

（2）光谱线的宽度，光强度的半极值点对应的频率的宽度，它大致度量了自发辐射功率的频率分布范围。

（3）线型函数，它大致确定了谱线的形状或轮廓。

13．
在经典电子谐振子模型的讨论中，都做了哪些近似假设，各自道理何在？
解：（1）由原子核和核外运动的电子所构成的物质原子被简化为经典电子模型。

单电子被与位移成正比的弹性回复力束缚在平衡位置附近作一维振动。

（2）原子中的电子与原子核构成了一电偶极子。

当无外电场存在时，原子内正负电荷中心重合，原子不呈现极性。

在外电场作用下，正负电荷中心不再重合而产生感应电偶极矩，原子被电偶极化。

（3）考虑到在光学和激光领域中所遇到的大多数情况，入射光频电磁场的电场分量对电子振动的作用都远大于磁场分量的作用，在讨论中将忽略磁场的影响。

此外，还假定光电场为振动方向与振子振动方向相同的单色平面线偏振光。

（4）被极化了的物质对入射光场产生反作用，它可以使光场的振幅、频率和相位等发生变化。

14．
吸收和自发辐射线型一致吗，能由经典电子振子模型说明吗？
解：吸收与自发辐射线型一致。

对于自发辐射，由经典的电子振子模型易得到辐射场020t
i t
E E e e γ
ω-=，令阻尼系数21
1
γτ=
（即21τ为平均辐射寿命），得到线型函数02
021
(,)1()2
N N g ννννπνν=
⨯
-+V V ，为洛仑兹函数。

对于吸收，经典的电子振子模型易得到：22
01
2(1)
a ne G m c y πεν=-⨯+V V 也为洛仑兹函数。

所以他们的线型一致。

15．
经典电子振子的振荡阻尼的来源有哪些，在光与物质相互作用中和哪些过程有关
系，为什么？
解：经典电子振子的振荡阻尼的来源有三个：（1）辐射跃迁的纯辐射寿命。

（2）无辐射跃迁（例如热驰豫）。

（3）其他的能量衰减过程。

原因是他们都能影响到电场能量的衰减。

16．
从激光原理中得到的相对介电常量表达式来看，相对介电常量主要随什么改变？
解：相对介电常数'
1εχ=+（χ为介质的线性电极化系数）。

χ而又随外界光场的变化而变化。

所以相对介电常数随外界光场的变化而变化。

17．
介质折射率等于相对介电常量的开方，激光原理中是如何对其实部、虚部加以讨
论的，各有什么物理意义？
解：由光与物质相互作用的经典理论可知：在光场的作用下，介质的宏观感应电极化强度
0E P ωωωγω-2
00
ne （z ，t ）m （z ，t ）=）（1）2（）+i 在线性极化下：P E εχ0（z ，t ）=（z ，t ）（2）
由（1）（2）可知00
1
2i m χχχχεωωωγω=+-2’”00ne =，令（）+i 即可得到电极化系数
的实部2
000002
21ne y m y ωωγχχωωωεγγ
-==--+V V -1’
”
22
（）4（）（）1+ 虚部200002
1
11ne m y χχωωωεγ
γ=-
=--+V ”
22
”4（）（）
1+
其中 20000
2
ne y m ωωχγγεω-==V ”， 而相对介电常数11i εχχχ=+=++’
’
”
即相对介电常数的实部为：0
11y y χ-+V V ”
2（），虚部为：0111y χ-+V ”
2
（）
18．
一个高斯线型谱线与一个洛仑兹线型谱线的线宽相同，试说明在什么频率区域高
斯线型谱线强度大于洛仑兹线型的，在什么频率区域正好相反。

解：
02
0200
21
1()2
2exp ln 2()2N N
N D
ννννπννννννπνπν⨯-+⎡⎤
⎢⎥-⨯-⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦
V V V V c 1
2
D 因为g （，）=
，g （，）=（ln2）（）
20001
(
)ln 21
2
N
ννπνννννπ--=-V 1
2
c D 1
2
（ln2）令g （，）=g （，），得到（ln2）
0νν-=
即
00ννν即在区间（
00νν∞∞高斯函数谱线强度大于洛仑兹型谱线强度在区间（-，+）上恰巧相反。

19．
以频率为变量的线形函数相对于数峰值左右对称。

若以波长为变量，线形函数还
会左右对称吗？请举例说明。

解：若以波长为变量，线型函数左右不会对称。

以洛仑兹函数为例：02
021
(,)1()2
c c c g ννννπνν=
-+V V
变换成以波长为变量：02
21(,)1(
)2c c
c
g c
c
λλπνλ
λν=
-
+V V
又因为
100102
2
1
0102121
(,)(2,)21(
)1()
2
2
c c c
c
c
c g g c
c
c c
λλλλλπνπνλλλλλνν=
≠=--
-
-++V V V V
显然10102λλλλ-与关于对称，10010(,)(2,)c c g g λλλλλ≠-但，即线型函数不再左右对称。

同理，对于高斯函数，也有同样的结论。

20．
线形函数可由经典电子谐振子模型导出，适用范围有什么限制？能不能由其它理
论导出？
解：适用范围：发光原子受激励和发光行为一致，因此只适用于均匀加宽情形。

线形函数可以由其它理论导出，例如气体中考虑多普勒效应和气体分子速度分布律得线形函数高斯函数。

21．
谱线均匀加宽、非均匀加宽的主要形成机制各有哪些？
解：谱线均匀加宽机制一般有：自然加宽、寿命加宽、压力加宽及热声子加宽等。

非均匀加宽机制一般有：多普勒加宽、晶格缺陷加宽等。

22．
晶格振动加宽是什么类型的加宽，为什么？
解：晶格振动加宽属于非均匀加宽。

在晶格的生长于制作过程中，难免存在无规则分布的晶格缺陷，这使得处于缺陷位置的发光离子受到与正常晶格点阵离子不同的晶格场调制并产生原子能级的位移。

由于缺陷的性质不同，离子所受到的调制和能级位移都不同。

使得整个介质不同缺陷处的离子自发辐射的中心频率各异，从而对谱线加宽的影响和贡献不同，所以为非均匀加宽。

23．
静止氖原子的激光辐射波长为630nm ，试问当氖原子分别以0.1C ，0.2C ，0.4C ，
0.8C 速率运动时其激光辐射波长改变了多少？
解：由多普勒频移公式0νν=’
（其中0ν为静止时光波的中心频率，0ν’
为运动
时光波的中心频率，z ν为原子的运动速度）
知：
c
λ=’
0λ=
’
所以可得：000λλλλ=-=V ’
（
980063010 5.9910m νλλλ--=-=⨯≈⨯V ’z 1
（1）当=0.1c 时，（
970063010 1.1510m νλλλ--=-=⨯≈⨯V ’z 1
（2）当=0.2c 时，（
970063010 2.1710m νλλλ--=-=⨯≈⨯V ’z 1
（3）当=0.4c 时，（
970063010 4.2010m νλλλ--=-=⨯≈⨯V ’z 1
（4）当=0.8c 时，（ 24．
试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命21A /1=s τ
证明：自发跃迁辐射定义为单位时间内2n 个高能态原子中发生自发跃迁的原子数与2n 的比
值21212
1
(
)dn A dt n =，其中21dn 表示自发跃迁引起的由2E 向1E 跃迁的原子数。

因为在单位时间内2E 所减少的粒子数为221dn dn
dt dt
=- 所以
2
212dn A n dt
=- 解出 2122020()s
t
A t
n t n e n e
τ-
-==
即 211
s
A τ=
25．
“能级寿命只由其自发辐射决定。

”对吗，为什么？
解：不对。

能级寿命除了与自发辐射有关，还与其他如热驰豫等其他能量衰减过程有关。

26．
氦氖激光器中什么加宽机制起主要作用？
解：强非均匀加宽中多普勒加宽起主要作用。

27．
YAG 激光器中什么加宽机制起主要作用？
解：强均匀加宽，一般表现为热声子发光起主要作用。

28．
CO 2气体激光器工作温度为400K ，试估算它的两个激光波长所对应的多普勒线
宽，结果以nm, MHz 和cm -1表示。

解：
111
77
22200222(ln 2)7.1610()7.1610()D kT T c T mc M M
νννλ--=≈⨯=⨯⨯⨯V
(1)10.6,44,400m M T K λμ===
187
72
6
3104007.1610() 6.111061.110.61044
D HZ MHZ ν--⨯=⨯⨯⨯≈⨯=⨯V
(2)9.6,44,400m M T K λμ===
187
626
3104007.1610()9.42109.61044
D ν--⨯=⨯⨯⨯≈⨯⨯V 2
62
6128(9.610)9.4210 2.89100.00289310D m nm c λλν--⨯==⨯⨯≈⨯=⨯V V 62141
8
1
19.4210() 3.1410 2.0410310D m cm c νλ----⨯==≈⨯=⨯⨯V V
29．
气体温度400K 的CO 2激光器中压力加宽系数约为48.9kHz/pa ，针对其常见输出
激光波长10.6μm ，试分析由多普勒非均匀加宽向压力均匀加宽过渡所对应的工作气压。

30．
一种介质的吸收系数为0.32cm -1，当透射光强为入射光强的0.1，0.2，0.5及0.9
时，该介质的厚度各为多少？
7
1131
8
1
1 6.1110() 2.0410 2.0410310D m cm c νλ----⨯==≈⨯=⨯⨯V V 2
62711
8
(10.610) 6.1110 2.29100.0229310D m nm c λλν--⨯==⨯⨯≈⨯=⨯V V
解：000000
()()()G z
G z I z I I z I z I e e I G --=-ln
由可知：=整理可得： =z
1
ln 0.1
7.200.32cm cm -=-
≈1z 1ln 0.2
5.030.32cm cm -=-≈2z
1
ln 0.5
2.170.32cm cm -=-≈3z 1
ln 0.9
0.330.32cm cm -=-≈4z 31． 长度1m 的某均匀电介质材料的吸收系数为0.1cm -1。

1、 光通过该电介质后强度降低多少？
2、 均匀激励后，光通过该电介质后强度成为入射光强的两倍，增益系数是多少？
解：
00000G Z
G Z
I I I e I e
---=-=V ’0（1）I=I （1-）
00.1100101
111G Z e e e
--⨯==-=-≈V 0I 1-I
01
310ln 2ln 2 6.910100
G Z e G cm cm z ---=⇒==≈⨯0I （z ）（2）I 32．
单位长度的透射光强与入射光强之比0/I I 称作透射比，00/)(I I I -称作吸收比。

试证明：吸收系数α较小时，吸收比等于吸收系数α。

解：
000000
G Z
Z Z I e I I I e e I I ααα----==≈I （z ）=（1-）1- 33． 某原子的四个能级按能量从大朝小依次排列为E 4、E 3、E 2和E 1，E 4能级到三个
低能级的自发跃迁几率分别为5⨯107s -1，1⨯107s -1和3⨯107s -1，三个低能级的寿命分别为5⨯10-7s ，6⨯10-9s 和1⨯10-8s -1。

(3) 试求E 4能级的自发辐射寿命。

(4) 在对E 4能级连续稳定激发的情况下，哪两个能级间可实现粒子数密度反转？ 解：（1）4E 能级的自发辐射跃迁几率：
777714434241510110310910x A A A A S -=++=⨯+⨯+⨯=⨯
则能级的自发辐射寿命871411110910x t s A S
--=
=≈⨯⨯ （2）由题意可知3E 为激光跃迁的亚稳态，又因为2E 能级上的寿命较短，所以两能级间
可实现粒子数密度反转。

34．
已知光通过一米激光介质强度增强一倍，能求介质的增益系数吗，为什么？
解：能。

ln
Gz I e G z
=
0I
I 由（z ）=I 可知： 21100z m cm ===0
I
又因为
，I 1
ln 2100
G cm -=
知 35．
试求线型函数2
0220)
(4)2/1(/1),(v v v v g -+=
πττ
的线宽，以及使用等高矩形代替时的线宽。

解：（1）004τννννττ==max 2
1
令 ，得g （，）=
1
4
0νντmax 1
可得 g （，）=22
002
1
242τνννντπτ
=+max 21令 g （，）=g （，）=12（）
02211
442νννπτπτ
=-⇒=
V 所以 （2）等矩形高度代替时的线宽：
2242g g τ
νννντπννντνντ∞
∞
-∞-∞+-==⎰⎰V 2200
02
1d （，）d （1）（）1（，）
（1）
211244νττπνντ
∞-∞==+-⎰222
01（）d 2（1）（）。