高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵抛物线 的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知：
.
∴P点的坐标为 .
，解得： .
则渐近线方程为 .
故选：C.
1．（2019·天津高考模拟（理））己知点A是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点，若点A到抛物线 的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）
所以直线 的倾斜角为 ，
则 ，由抛物线的定义得 ，
所以 为等边三角形，又 ，
所以|AF|=4,
所以 到 的距离等于 ，
故选：A.
题型二 标准方程
1.（2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟（理））已知双曲线 的离心率 ，点 是抛物线 上的一动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（）
所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。
故选A.
2．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且 为钝角（其中 为坐标原点），则直线 斜率的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设直线 ，代入 ，得 ，
因为直线 与椭圆交于不同的 ， 两点，
所以 ，解得 且 .
又 ，得 ，
所以 ， ，即椭圆方程为 .
（2）由 得 ，
由 ，
得 .
由 ，
设 的中点 为 ，
得 ，即 ，
∴ .
∴ 的中垂线方程为 .
即 ，故 的中垂线恒过点 .
2．（2019·安徽省泗县第一中学高考模拟（文））已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆上一点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求证：直线 恒过 轴上一定点.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，所以 ,
由 ， 得
解得 ，所以
不妨设 ,则 ,
因此 ，
，
或 ，
因为点 在 轴上方，所以
因此 ，选B.
3．（2017·全国高考模拟（理））已知定点 及抛物线 ： ,过点 作直线 与 交于 ， 两点,设抛物线 的焦点为 ,则 面积的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
因为 ，设 ，代入抛物线方程得 ， ， ，故选B.
4．（2019·安徽高考模拟（理））椭圆 的左右焦点分别是 、 ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得： ，且 ，又
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】已知双曲线 的渐近线方程为 ，且 ，所以 ，得 .
，所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
2．（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示：
由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则
又 四边形 为平行四边形
又 ，解得：
点 到直线 距离： ，解得： ，即
本题正确选项：
3．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 ，且两曲线的一个交点为 .若 ，则双曲线的渐近线方程为（）
则直线 恒过点 .若直线斜率为0也符合条件，
故直线恒过定点 .
题型六 定值
1.（2019·江西师大附中高考模拟（文））已知离心率为 的椭Байду номын сангаас 过点 ， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，点 在椭圆 上且不与四个顶点重合．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于 ，直线 与 轴交于 ，试探究 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为 的焦点，若 ，则点 到抛物线的准线的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，设抛物线 的准线方程为 ，直线 恒过定点 ，
如图过 分别作 于 ， 于 ，连接 ，
由 ，则 ，点 为 的中点，
因为点 是 的中点，则 ，
2．（2019·天津高考模拟（文））已知椭圆 的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O： 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（I）由题设： ，
解得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）.设
∴ =1．
故选：C
题型五 定点
1．（2019·内蒙古高考模拟（理））已知椭圆 ： 离心率为 ，直线 被椭圆截得的弦长为 .
（1）求椭圆方程；
（2）设直线 交椭圆 于 ， 两点，且线段 的中点 在直线 上，求证：线段 的中垂线恒过定点.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由直线 被椭圆截得的弦长为 ，得椭圆过点 ，即 ，
故选C
题型三 直线与曲线的位置关系
1．（2019·山东高考模拟（文））已知 是关于 的方程 的两个不等实根，则经过两点 的直线与椭圆 公共点的个数是（）
A. B. C. D.不确定
【答案】A
【解析】因为 是关于 的方程 的两个不等实根
所以 ，
且 ，
直线 的斜率
直线 的方程为
即
整理得
故直线 恒过 点，而该点在椭圆内部，
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设弦的两端点 ， ， ， ，斜率为 ，
则 ， ，
两式相减得 ，
即 ，
弦所在的直线方程 ，即 ．
故选：C
3．（2018·海南高考模拟（文））直线 交双曲线 的右支于 两点，设 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率存在，分别为 ，则 （）
A.-1B. C.1D.
【答案】C
由勾股定理得： ，解得：
本题正确选项：
5．（2017·湖北高考模拟（文））已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为（）
A． B．3C．6D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴 ，双曲线实轴 ，由题意可知： ，
由①②得 ，
∴椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）因为 为圆 的直径，所以点 ： 为线段 的中点，
设 ， ，则， ，又 ，
所以 ，则 ，故 ，则直线 的方程为 ，即 ，代入椭圆 的方程并整理得 ，则 ，
故直线 的斜率 .
设 ，由 ，得 ，
设 ， ，则有 ， .
又 ， ，
所以 = ，
因为 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x．
设直线l的方程为y=kx+b，
∵直线l与双曲线有2个交点A，B，故而k≠±1．
联立方程组 ，消去y得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣a=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），
则x1+x2= ，∴x0= = ，y0=kx0+b= ．
∴直线OC的斜率为 = = ．
圆锥曲线与方程
题型一定义运用
1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为1， 是直线 上的两点，且 ， 的周长是6，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，则 ，故抛物线 的焦点坐标是 ，由抛物线的定义得，点 到准线 的距离等于 ，即为 ，故点 到直线 的距离为 .设点 在直线 上的射影为 ，则 .当点 在 的同一侧（不与点 重合）时， ，不符合题意；当点 在 的异侧（不与点 重合）时，不妨设 ，则 ，故由 ，解得 或 ，不符合题意，舍去，综上 在两点中一定有一点与点 重合，所以 ，故选A.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ①，可得 ，
设 ，渐近线为 ，
可得 到渐近线的距离为 ，
由勾股定理可得 ，
因为 的面积为 ，所以 ②，
又 ③，由①②③解得 ，
所以双曲线的方程为 ,故选C.
3．（2019·山东高考模拟（文））若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得 ，
因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以 .
故选：D
4．（2019·河南高考模拟（理））“ ”是“方程 表示椭圆”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】】方程 表示椭圆，即 且
所以“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线 的离心率 ，所以 ，
设 为抛物线 焦点，则 ，抛物线 准线方程为 ，
因此 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和等于 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即双曲线的方程为 ，选B.
2．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，若 的面积为 ，其中 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）
（I）求椭圆C方程；
（II）圆D： 与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F1R的斜率大于1，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）∵椭圆 过点 ，∴ ，①
∵椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点，∴ ，
∵ ，∴ ，②
题型四 弦长
1.（2019·湖南高考模拟（理））已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 两点，则 的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 可知 ，直线AB为 ，
联立 ，消元得 ，
设
则 ，
根据弦长公式得 ，故选C.
2．（2019·陕西高考模拟（文））双曲线 的一条弦被点 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）
1.当AB x轴时，
2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
由已知 ，得
把 代入椭圆方程消去y，
整理得 ,
有
,
,
,
当且仅当 ，即 时等号成立.
当 时，
综上所述 ，从而△AOB面积的最大值为
题型八 离心率与渐近线
1.（2019·陕西西北工业大学附属中学高考模拟（理））已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（）
【答案】（1） ；（2） 是定值，定值为：
【解析】（1）由题意得： ，解得：
椭圆 的标准方程为：
（2） 点 不与四个顶点重合 直线 的斜率存在且不为
设 ，且 ，
直线 的方程为：
直线 的方程为：
在椭圆上
，为定值
题型七 最值
1.（2017·山东高考模拟（文））已知椭圆C： 过点 ，左右焦点为 ，且椭圆C关于直线 对称的图形过坐标原点。
又 ， ，
两式相减，可得： ， ，
.，
，当且仅当 时等立，
的最小值为6，
故选:C．
6．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 作圆 的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率为（）
设 ， ，则 ， ，
，
因为 为钝角，所以 ，
解得 ， .
综上所述： .
故选：B
3．（2019·安徽高考模拟（理））已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、B两点，则l斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为 ，当直线 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线 斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率 ；当直线 斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率 .故选B.
所以 ，所以点 的横坐标为1，所以点 的坐标为 ，
同理可得点 ，所以点 到抛物线准线的距离为 ，故选A.
3．（2019·河南高考模拟（理））已知抛物线 的焦点为 ， 为准线，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ，垂足为 ，若直线 的斜率为 ，则点 到 的距离为（）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】因为直线 的斜率为 ，
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设 ，则
由双曲线方程可得渐近线方程为：
若 为抛物线与 交点，则 ，可得
即：
由对称性可知， 为抛物线与 交点时，结论一致
本题正确选项：
2．（2019·天津高考模拟（理））已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是两曲线在 轴上方的一个交点，若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（）
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】（1）由已知 ，又 ，则 .
椭圆方程为 ，将 代入方程得 ， ，
故椭圆的方程为 ；
（2）不妨设直线 的方程 ，
联立 消去 得 .
设 ， ，则有 ， ①
又以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，∴ ，
由 ， 得 ，
将 ， 代入上式得
，
将①代入上式求得 或 （舍），
【答案】C
【解析】∵抛物线 的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知：
.
∴P点的坐标为 .
，解得： .
则渐近线方程为 .
故选：C.
1．（2019·天津高考模拟（理））己知点A是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点，若点A到抛物线 的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）
所以直线 的倾斜角为 ，
则 ，由抛物线的定义得 ，
所以 为等边三角形，又 ，
所以|AF|=4,
所以 到 的距离等于 ，
故选：A.
题型二 标准方程
1.（2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟（理））已知双曲线 的离心率 ，点 是抛物线 上的一动点， 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和的最小值为 ，则该双曲线的方程为（）
所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。
故选A.
2．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且 为钝角（其中 为坐标原点），则直线 斜率的取值范围是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设直线 ，代入 ，得 ，
因为直线 与椭圆交于不同的 ， 两点，
所以 ，解得 且 .
又 ，得 ，
所以 ， ，即椭圆方程为 .
（2）由 得 ，
由 ，
得 .
由 ，
设 的中点 为 ，
得 ，即 ，
∴ .
∴ 的中垂线方程为 .
即 ，故 的中垂线恒过点 .
2．（2019·安徽省泗县第一中学高考模拟（文））已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆上一点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求证：直线 恒过 轴上一定点.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，所以 ,
由 ， 得
解得 ，所以
不妨设 ,则 ,
因此 ，
，
或 ，
因为点 在 轴上方，所以
因此 ，选B.
3．（2017·全国高考模拟（理））已知定点 及抛物线 ： ,过点 作直线 与 交于 ， 两点,设抛物线 的焦点为 ,则 面积的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
因为 ，设 ，代入抛物线方程得 ， ， ，故选B.
4．（2019·安徽高考模拟（理））椭圆 的左右焦点分别是 、 ，以 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得： ，且 ，又
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】已知双曲线 的渐近线方程为 ，且 ，所以 ，得 .
，所以双曲线 的离心率为 .
故选：B
2．（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示：
由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则
又 四边形 为平行四边形
又 ，解得：
点 到直线 距离： ，解得： ，即
本题正确选项：
3．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））已知双曲线 与抛物线 有一个公共的焦点 ，且两曲线的一个交点为 .若 ，则双曲线的渐近线方程为（）
则直线 恒过点 .若直线斜率为0也符合条件，
故直线恒过定点 .
题型六 定值
1.（2019·江西师大附中高考模拟（文））已知离心率为 的椭Байду номын сангаас 过点 ， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，点 在椭圆 上且不与四个顶点重合．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于 ，直线 与 轴交于 ，试探究 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为 的焦点，若 ，则点 到抛物线的准线的距离为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，设抛物线 的准线方程为 ，直线 恒过定点 ，
如图过 分别作 于 ， 于 ，连接 ，
由 ，则 ，点 为 的中点，
因为点 是 的中点，则 ，
2．（2019·天津高考模拟（文））已知椭圆 的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设与圆O： 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（I）由题设： ，
解得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）.设
∴ =1．
故选：C
题型五 定点
1．（2019·内蒙古高考模拟（理））已知椭圆 ： 离心率为 ，直线 被椭圆截得的弦长为 .
（1）求椭圆方程；
（2）设直线 交椭圆 于 ， 两点，且线段 的中点 在直线 上，求证：线段 的中垂线恒过定点.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由直线 被椭圆截得的弦长为 ，得椭圆过点 ，即 ，
故选C
题型三 直线与曲线的位置关系
1．（2019·山东高考模拟（文））已知 是关于 的方程 的两个不等实根，则经过两点 的直线与椭圆 公共点的个数是（）
A. B. C. D.不确定
【答案】A
【解析】因为 是关于 的方程 的两个不等实根
所以 ，
且 ，
直线 的斜率
直线 的方程为
即
整理得
故直线 恒过 点，而该点在椭圆内部，
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设弦的两端点 ， ， ， ，斜率为 ，
则 ， ，
两式相减得 ，
即 ，
弦所在的直线方程 ，即 ．
故选：C
3．（2018·海南高考模拟（文））直线 交双曲线 的右支于 两点，设 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率存在，分别为 ，则 （）
A.-1B. C.1D.
【答案】C
由勾股定理得： ，解得：
本题正确选项：
5．（2017·湖北高考模拟（文））已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为（）
A． B．3C．6D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴 ，双曲线实轴 ，由题意可知： ，
由①②得 ，
∴椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）因为 为圆 的直径，所以点 ： 为线段 的中点，
设 ， ，则， ，又 ，
所以 ，则 ，故 ，则直线 的方程为 ，即 ，代入椭圆 的方程并整理得 ，则 ，
故直线 的斜率 .
设 ，由 ，得 ，
设 ， ，则有 ， .
又 ， ，
所以 = ，
因为 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x．
设直线l的方程为y=kx+b，
∵直线l与双曲线有2个交点A，B，故而k≠±1．
联立方程组 ，消去y得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣a=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），
则x1+x2= ，∴x0= = ，y0=kx0+b= ．
∴直线OC的斜率为 = = ．
圆锥曲线与方程
题型一定义运用
1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为1， 是直线 上的两点，且 ， 的周长是6，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，则 ，故抛物线 的焦点坐标是 ，由抛物线的定义得，点 到准线 的距离等于 ，即为 ，故点 到直线 的距离为 .设点 在直线 上的射影为 ，则 .当点 在 的同一侧（不与点 重合）时， ，不符合题意；当点 在 的异侧（不与点 重合）时，不妨设 ，则 ，故由 ，解得 或 ，不符合题意，舍去，综上 在两点中一定有一点与点 重合，所以 ，故选A.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ①，可得 ，
设 ，渐近线为 ，
可得 到渐近线的距离为 ，
由勾股定理可得 ，
因为 的面积为 ，所以 ②，
又 ③，由①②③解得 ，
所以双曲线的方程为 ,故选C.
3．（2019·山东高考模拟（文））若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得 ，
因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以 .
故选：D
4．（2019·河南高考模拟（理））“ ”是“方程 表示椭圆”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】】方程 表示椭圆，即 且
所以“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线 的离心率 ，所以 ，
设 为抛物线 焦点，则 ，抛物线 准线方程为 ，
因此 到双曲线 的上焦点 的距离与到直线 的距离之和等于 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即双曲线的方程为 ，选B.
2．（2019·天津南开中学高考模拟）已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，若 的面积为 ，其中 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）
（I）求椭圆C方程；
（II）圆D： 与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F1R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F1R的斜率大于1，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）∵椭圆 过点 ，∴ ，①
∵椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点，∴ ，
∵ ，∴ ，②
题型四 弦长
1.（2019·湖南高考模拟（理））已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 两点，则 的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 可知 ，直线AB为 ，
联立 ，消元得 ，
设
则 ，
根据弦长公式得 ，故选C.
2．（2019·陕西高考模拟（文））双曲线 的一条弦被点 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）
1.当AB x轴时，
2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
由已知 ，得
把 代入椭圆方程消去y，
整理得 ,
有
,
,
,
当且仅当 ，即 时等号成立.
当 时，
综上所述 ，从而△AOB面积的最大值为
题型八 离心率与渐近线
1.（2019·陕西西北工业大学附属中学高考模拟（理））已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率为（）
【答案】（1） ；（2） 是定值，定值为：
【解析】（1）由题意得： ，解得：
椭圆 的标准方程为：
（2） 点 不与四个顶点重合 直线 的斜率存在且不为
设 ，且 ，
直线 的方程为：
直线 的方程为：
在椭圆上
，为定值
题型七 最值
1.（2017·山东高考模拟（文））已知椭圆C： 过点 ，左右焦点为 ，且椭圆C关于直线 对称的图形过坐标原点。
又 ， ，
两式相减，可得： ， ，
.，
，当且仅当 时等立，
的最小值为6，
故选:C．
6．（2019·河南高考模拟（理））已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 作圆 的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率为（）
设 ， ，则 ， ，
，
因为 为钝角，所以 ，
解得 ， .
综上所述： .
故选：B
3．（2019·安徽高考模拟（理））已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交双曲线左支于 、B两点，则l斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为 ，当直线 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线 斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率 ；当直线 斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率 .故选B.
所以 ，所以点 的横坐标为1，所以点 的坐标为 ，
同理可得点 ，所以点 到抛物线准线的距离为 ，故选A.
3．（2019·河南高考模拟（理））已知抛物线 的焦点为 ， 为准线，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ，垂足为 ，若直线 的斜率为 ，则点 到 的距离为（）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】因为直线 的斜率为 ，
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设 ，则
由双曲线方程可得渐近线方程为：
若 为抛物线与 交点，则 ，可得
即：
由对称性可知， 为抛物线与 交点时，结论一致
本题正确选项：
2．（2019·天津高考模拟（理））已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是两曲线在 轴上方的一个交点，若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（）
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】（1）由已知 ，又 ，则 .
椭圆方程为 ，将 代入方程得 ， ，
故椭圆的方程为 ；
（2）不妨设直线 的方程 ，
联立 消去 得 .
设 ， ，则有 ， ①
又以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，∴ ，
由 ， 得 ，
将 ， 代入上式得
，
将①代入上式求得 或 （舍），