上海中考数学压轴题精练：因动点产生的直角三角形问题

因动点产生的直角三角形问题
例1 如图1，抛物线213442
y x x =−−与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．
2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
满分解答
（1）由21314(2)(8)424
y x x x x =−−=+−，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142
y x =−+． 由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m −−，213(,4)42
Q m m m −−． 所以MQ ＝221131(4)(4)82424
m m m m m −+−−−=−++． 当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m −
++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．
所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分．
所以四边形CQBM 是平行四边形．
图2
图3
（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展
第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1
(,(2)(8))4
x x x +−． ①如图3，当∠DBQ ＝90°时，12
QG BH GB HD ==．所以1(2)(8)1482x x x −+−=−．解得x ＝6．此时Q (6,－4)．
②如图4，当∠BDQ ＝90°时，2QG DH GD HB
==．所以14(2)(8)42x x x −+−=−．解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．
图3 图4
例2 如图1，抛物线233384
y x x =−−+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．
三个时，求直线l 的解析式．
图1
思路点拨
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．
2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
满分解答
（1）由23333(4)(2)848
y x x x x =−−+=−+−， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．
（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．
过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．
由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34
DG CO BG AO ==．所以3944
DG BG ==，点D 的坐标为9(1,4−．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．
而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274
=．所以D ′的坐标为27(1,4．
图2 图3
（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．
联结GM ，那么GM ⊥l ．
在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4
M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334
y x =−+．根据对称性，直线l 还可以是334
y x =+． 考点伸展
第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式．
在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．
在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．
因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．
例 3 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．
（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．
思路点拨
1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是k y x =．题目中的k 都是一致的．
2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．
满分解答
（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x =
．当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x =−
．
（2）在反比例函数k y x
=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．
当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x
增大而增大．
抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24
k x k +−的对称轴是直线12x =−．图1
所以当k ＜0且12
x <−时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24
k −−，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．
由OQ 2＝OA 2，得222215()()124
k k −+−=+．
解得1k =（如图2），2k =3）．
图2 图3 考点伸展
如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线
k
y
x
=（k＞0）交于A、B
和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．
问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．
图4 图5
例4 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，
垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．
（1）已知直线①122
y x =−+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线
（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，
0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直
线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求
直线l 1与l 2的解析式．
图1
答案
（1）直线①和③是点C 的直角线．
（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么
BC PO CP OA =，即273PO PO =−．解得OP ＝6或OP ＝1．
如图2，当OP ＝6时，l 1：162
y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113
y x =−+．
图2 图3
例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244
m m y x x m m −=−
++−+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．
（1）求点B 的坐标；
（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．
图1
思路点拨
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．
2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长．
3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．
4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．
满分解答
(1)因为抛物线22153244
m m y x x m m −=−
++−+经过原点，所以2320m m −+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =−+．所以点B 的坐标为（2，4）．
(2)①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =−×+×．解得229
t OP ==．②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103
t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝
PE ．此时1032t t −=．解得2t =．
如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t −=．解得107
t =．
图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103
t =．
如图6，当两圆外切时，30t =−．
图4 图5 图6
例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．
（1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；
（3）探究：△ABC 的最大面积？
图1
思路点拨
1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．
2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．
3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．
满分解答
（1）在ᇞABC 中，1=AC ，x AB =，x BC −=3，所以⎩
⎨⎧>−+−>+.31,31x x x x 解得21<<x ． （2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x −+=，即0432=+−x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+−=x x ，解得35=
x ，满足21<<x ．③若BC 为斜边，则221)3(x x +=−，解得34=
x ，满足21<<x ．因此当35=x 或3
4=x 时，△ABC 是直角三角形．（3）在ᇞABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，ᇞABC 的面积为S ，则xh S 21=
．①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =−−+−222)3(1．移项，得2221)3(h x h x −−=−−．两边平方，得22222112)3(h h x x h x −+−−=−−．整理，得4312−=−x h x ．两边平方，得16249)1(222+−=−x x h x ．整理，得
16
248222−+−=x x h x 所以462412222−+−==x x h x S 21)23(22+−−=x （423
x <≤）． 当23=x 时（满足423
x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．
图2 图3
②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =−−−−2221)3(．同理可得，462412222−+−==x x h x S 21)23(22+−−=x （413
x <≤）． 易知此时22<S ．综合①②得，ᇞABC 的最大面积为2
2．考点伸展
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，
例如在图2中，由2222BD BC AD AC −=−列方程2
22)()3(1a x x a −−−=−． 整理，得x x a 43−=．所以21a −222
16248431x x x x x −+−=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−−=．因此462)1(4
12222−+−=−=x x a x S ．
例 7 如图1，直线43
4+−=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．
①求S 与t 的函数关系式；
②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
图1
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．
2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．
3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．
4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．
满分解答
（1）直线43
4+−
=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形． （2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45
NH t =．如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时 211424(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=−×=−+． 定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时
211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=−×=−． 定义域为2＜t ≤5．
图2
图3
②把S ＝4代入22455S t t =−，得224455
t t −=．解得12t =+，22t =−
去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =+．
③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =−，3cos 5B =
，所以535t t −=．解得258
t =．如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258
t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．
如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．
图6 图7
例8 如图1，直线43
4+−=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．
①求S 与t 的函数关系式；
②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
图1
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．
2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．
3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．
4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．
满分解答
（1）直线43
4+−
=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．
点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．
因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45
NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时
211424(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=−×=−+．定义域为0＜t ≤2． 如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时
211424(2)22555
S OM NH t t t t =⋅⋅=−×=−．定义域为2＜t ≤5．
图2
图3 ②把S ＝4代入22455S t t =−，得224455
t t −=．
解得12t =+，22t =（舍去负值）．
因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =+． ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =−，3cos 5B =， 所以535t t −=．解得258
t =．如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．
不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258
t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．
图4 图5
考点伸展
在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．
如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．
图6 图7。