2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题线段、面积问题(课后练习)

2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题线段、面积问题考情分析
年份题号题型分值抛物线变
化情况
设问形式解题关键点
201824
解
答
题10
平移(1)求抛物线与坐标轴交
点坐标及交点为顶点的
三角形面积
(2)求满足面积等量关系
的函数表达式
(1)抛物线与坐标轴的交点
问题，三角形面积计算
(2)抛物线图象的平移性质
20232410关于中心
对称
(1)求与坐标轴交点坐标
(2)求抛物线表达式
(3)求不是菱形的平行四
边形的面积
(1)抛物线与坐标轴的交点
问题
(2)抛物线图象关于中心对
称性质
(3)平行四边形的性质：平行
四边形的对角线互相平分
例(2022陕西逆袭卷)已知抛物线C1：y＝ax2＋3
4
x＋c的顶点为D(1，27
8
)，抛物线C2与抛物线
C1关于y轴对称，且抛物线C2与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求AC的长；
(2)点P是位于AC下方的抛物线C2上一点，过点P的直线l∥AC，是否存在点P，使得直线l 被抛物线C2截得的线段长为AC长的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线C3是抛物线C1关于原点O对称的抛物线，求抛物线C3的表达式
(4)在(3)中已知抛物线C3，且抛物线上有一点Q，使得S△ABC=S△ABO，求点Q的坐标.
抛物线的翻折、中心对称
表达式变式形式变化后的a值变化后的顶点坐标变化变化后的表达式
y=a(x－h)2＋k(a≠0)
关于x轴对称－a(h，－k)y=－a(x－h)2－k 关于y轴对称a(－h，k)y=a(x＋h)2＋k 关于原点O
中心对称
－a(－h，－k)y=－a(x＋h)2－k 绕顶点旋转180°－a(h，k)y=－a(x－h)2＋k
线段问题
1.与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)
2.与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左)
3.斜线段时，可过线段端点分别作x轴，y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解.
面积问题
方法直接公式法分割法补全法
图示
S△ABC＝1
2AB‧h S△ABC＝1
2
AB‧h S△ABC＝1
2
ah
S△ABC＝S四边形BDEC－S△ADB
－S
△AEC
S△ABC＝1
2
|x B－x A|‧y C S△ABC＝1
2
|y A－y B|‧|xc
－x B|
S△ABC＝1
2
|xc－x B|‧|y A
－y D|
S△ABC＝1
2
(|y E－y C|+|y D－
y B|)‧|x E－x D|－|x A－
x D|‧|y D－y B|－|x E－
x A|‧|y E－y C|
练习(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，－3)，顶点B在x轴上，且对称轴为直线x＝2.
练习题图
(1)求抛物线L的表达式；
(2)将该抛物线平移，平移后的抛物线L′的顶点为B′，且与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，若以A、B、B′、C为顶点的四边形是面积为6的平行四边形，求抛物线L′的表达式．
练习1(2022陕西题组小卷)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OA＝OC＝2OB.
练习题图
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使A、C两点到直线MB的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习2(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、B两点，且经过点(2，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点G.
练习题图
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点D、E在对称轴上(D在E的上方)，点F在第一象限，是否存在使得四边形AEBD(AB为对角线)与四边形ABFD(AB为边)都是菱形的情形？若存在，请分别求出此时四边形AEBD与四边形ABFD的面积，若不存在，请说明理由．
答案典例精讲
例解：(1)∵抛物线C1：y＝ax2＋3
4x＋c的顶点为D(1，27
8
)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
－3
4
2a
＝1
＋3
4＋c＝27
8
＝－3
8
＝3
，
∴抛物线C1的表达式为y＝－3
8
x2＋3
4
x＋3，
∵抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，
∴抛物线C2的表达式为y＝－3
8
x2－3
4
x＋3.
∵抛物线C2与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，
令y＝0，则－3
8
x2－3
4
x＋3＝0，
解得x＝－4或x＝2，
∵点A在点B的左侧，
∴A(－4，0)，B(2，0)．
令x＝0，则y＝3，
∴C(0，3)，
∴AC＝OA2＋OC2＝5；
(2)存在，
如解图，设直线AC的表达式为y＝kx＋b，
将A(－4，0)，C(0，3)分别代入y＝kx＋b
4k＋b＝0
＝3
＝3
4
＝3
，
∴直线AC的表达式为y＝3
4
x＋3.
∵l∥AC，
∴设直线l的表达式为y＝3
4
x＋t.
设点P (p ，－38p 2－34p ＋3)，则－38p 2－34p ＋3＝3
4p ＋t ，
∴t ＝－38p 2－3
2
p ＋3，
∴直线l 的表达式为y ＝34x －38p 2－3
2
p ＋3，
＝－38x 2－3
4x ＋3＝34x －38p 2－32p ＋3
1＝p 1＝－38p 2－34p ＋3
2＝－p －42＝－38p 2－94p ，∴直线l 与抛物线的两个交点为(p ，－38p 2－34p ＋3)和(－p －4，－38p 2－94p )．
∵直线l 被抛物线C 2截得的线段长为AC 长的3倍，∴
（p ＋p ＋4）2＋（3
2
p ＋3）2＝15，
解得p ＝4或p ＝－8，
当p ＝4时，y ＝－38p 2－3
4p ＋3＝－6，
当p ＝－8时，y ＝－38p 2－
3
4
p ＋3＝－15，
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(4，－6)或(－8，－15)．
例题解题
(3)抛物线C 1的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3=2327
(1)88x --+
∵抛物线C 3是抛物线C 1关于原点对称的抛物线∴抛物线C 3表达式为23
27(1)8
8
y x =+-
.(4)∵抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，抛物线C 3与抛物线C 1关于原点O 对称∴抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称∵点C 坐标为(0，3)∴点Q 坐标为(0，－3)
将y ＝－3代入抛物线2327
(1)88
y x =+-中，解得x 1=0，x 2=－2
∴使得S △ABC =S △ABQ ，点Q 坐标为(0，－3)，(－2，－3).
课堂练兵
练习解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，且顶点B 在x 轴上，
∴B (2，0)，∴可以设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2，把A (0，－3)代入y ＝a (x －2)2，解得a ＝－34
.∴抛物线的表达式为y ＝－
34(x －2)2＝－3
4
x 2＋3x －3；(2)当点C 在点B 的左侧时，
∵四边形ABB ′C 是平行四边形，∴AB ＝B ′C ，AB ∥CB ′，∴点B ′的纵坐标与点A 的纵坐标绝对值相等，∵A (0，－3)，∴点B ′的纵坐标为3，∵平行四边形ABB ′C 的面积为6，∴S △BCB ′＝
1
2
×BC ×3＝3，∴BC ＝2，∵B (2，0)，∴C (0，0)，B ′(2，3)，
∴抛物线L 向上平移3个单位得到抛物线L ′，此时抛物线L ′的表达式为y ＝－
34
x 2
＋3x ，同理可得，当点C 在点B 的右侧时，C (4，0)，B ′(6，3)，抛物线L 向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到抛物线L ′，此时抛物线L ′的表达式为y ＝－34
x 2
＋9x －24.∴抛物线L ′的表达式为y ＝－
34x 2＋3x 或y ＝－3
4
x 2＋9x －24.课后小练
练习1解：(1)令x ＝0，则y ＝4，∴点C 的坐标为(0，4)，
∵OA ＝OC ＝2OB ，∴OA ＝4，OB ＝2，
∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－4，0)，点B 的坐标为(2，0)，将点A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋4，
可得0＝16－4＋4
0＝4＋2＋4，解得＝－12
＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－12x2－x＋4；
(2)存在；理由如下：
∵OA＝OC，∴线段AC的垂直平分线交x轴于点O，
∴要使点A，C到直线MB的距离相等，分两种情况讨论：
①当直线BM与直线AC平行时，
设直线AC的表达式为y＝kx＋m，
将点A，C的坐标代入可得0＝－4＋
4＝，解得＝1＝4，
∴直线AC的表达式为y＝x＋4，
如解图，设直线M1B的表达式为y＝x＋n，
∵直线M1B经过点B，即0＝2＋n，∴n＝－2，
∴直线M1B的表达式为y＝x－2，
联立抛物线与直线M1B的表达式，
可得＝－122－＋4
＝－2，解得1＝－61＝－8或2＝22＝0(舍去)，
∴点M1的坐标为(－6，－8)；(6分)
②如解图，设AC的中点为点D，连接BD交抛物线于点M2，过点A作AE⊥BM2于点E，CF⊥BM2于点F.
易得△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，
∵A(－4，0)，C(0，4)，∴D(－2，2)，
设直线BD的表达式为y＝px＋q，
将B、D的坐标代入可得2＋＝0
－2＋＝2
，解得＝－12＝1，
∴直线BD的表达式为y＝－12x＋1，
联立＝－122－＋4
＝－12＋1，解得1＝－31＝52或2＝22＝0(舍去)，
∴点M2的坐标为(－3，5)，
综上所述，点M的坐标为(－6，－8)或(－3，52).
练习题解图
练习2解：(1)把(－1，0)，(2，3)代入抛物线中得，
－1－＋＝0
，解得＝2＝3，
－4＋2＋＝3
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，
2＝－22×（－1）＝1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
(2)存在，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∴AB＝4，
如解图，当四边形ABFD为菱形时，AD＝AB＝4，
设D(1，m)，在Rt△ADG中，AD2＝AG2＋DG2＝22＋m2＝4＋m2＝16，解得m1＝23，m2＝－23(舍去)，∴D(1，23)，
＝AB·DG＝4×23＝83.
∴S
菱形ABFD
当四边形AEBD为菱形时，D、E两点关于x轴对称，
＝12AB·DE＝12×4×43＝83.∴E(1，－23)，即DE＝43，∴S
菱形AEBD
练习题解图。