【物理】物理试卷分类汇编物理万有引力定律的应用(及答案)及解析

【物理】物理试卷分类汇编物理万有引力定律的应用(及答案)及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形．2013年6月，“神舟十号”与“天宫一号”成功对接，6月20日3位航天员为全国中学生上了一节生动的物理课．已知“天宫一号”飞行器运行周期T，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，“天宫一号”环绕地球做匀速圆周运动，万有引力常量为G．求：
(1)地球的密度；
(2)地球的第一宇宙速度v；
(3)“天宫一号”距离地球表面的高度．
【答案】(1)
3
4
g
GR ρ
π
=
(2)v gR
= (3)
22
3
2
4
gT R
h R
π
=-
【解析】
（1）在地球表面重力与万有引力相等：
2
Mm
G mg
R
=，
地球密度：3
4
3
M M
R
V
ρ
π
==
解得：
3
4
g
GR
ρ
π
=
（2）第一宇宙速度是近地卫星运行的速度，2v
mg m
R
=
v gR
=
（3）天宫一号的轨道半径r R h
=+，
据万有引力提供圆周运动向心力有：()()
2
22
4
Mm
G m R h
T
R h
π
=+
+
，
解得：
22
3
2
4
gT R
h R
π
=-
2．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为θ＝37°的固定斜面，一质量为m＝2.0 kg的小物块从斜面底端以速度9 m/s沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s时速度恰好为零.已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)该星球表面上的重力加速度g的大小.
(2)该星球的第一宇宙速度.
【答案】（1）g=7.5m/s2（2）3×103m/s
【解析】 【分析】 【详解】
（1）小物块沿斜面向上运动过程00v at =- 解得：26m/s a =
又有：sin cos mg mg ma θμθ+= 解得：2
7.5m/s g =
（2）设星球的第一宇宙速度为v ，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：
2
mv mg R
= 3310m/s v gR ==⨯
3．据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s 绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M 、N 的连线垂直，M 、N 间的距离L =20m ，地磁场的磁感应强度垂直于v ，MN 所在平面的分量B =1.0×10﹣5 T ，将太阳帆板视为导体．
（1）求M 、N 间感应电动势的大小E ；
（2）在太阳帆板上将一只“1.5V 、0.3W”的小灯泡与M 、N 相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
（3）取地球半径R =6.4×103 km ，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s 2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h （计算结果保留一位有效数字）． 【答案】（1）1.54V （2）不能（3）5410m ⨯ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）法拉第电磁感应定律
E=BLv
代入数据得
E =1.54V
（2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流．
（3）在地球表面有
2Mm
G
mg R
= 匀速圆周运动
2
2()Mm v G m R h R h
=++ 解得
2
2gR h R v
=-
代入数据得
h ≈4×105m 【方法技巧】
本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生．本题难度不
大，但第二问很容易出错，要求考生心细，考虑问题全面．
4．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换．
（1）若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转的角速度为ω，地球半径为R ． （2）当电梯仓停在距地面高度h 2=4R 的站点时，求仓内质量m 2=50kg 的人对水平地板的压力大小．取地面附近的重力加速度g=10m/s 2，地球自转的角速度ω=7.3×10-5rad/s ，地球半径R=6.4×103km ． 【答案】（1）
22111
()2
m R h ω+；（2）11.5N
【解析】
试题分析：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，根据轨道半径求出轨道站的线速度，从而得出轨道站内货物相对地心运动的动能．（2）根据向心加速度的大小，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出人对水平地板的压力大小． 解：（1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等， 则轨道站的线速度v=（R+h 1）ω， 货物相对地心的动能．
（2）根据
，
因为a=，，
联立解得N=
=
≈11．5N ．
根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为11．5N ．
5．假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h 的轨道做匀速圆周运动,周期为T ，已知万有引力常量为G ，求: (1)该天体的质量是多少? (2)该天体的密度是多少?
(3)该天体表面的重力加速度是多少? (4)该天体的第一宇宙速度是多少?
【答案】(1)2324()R h GT π+； (2)3233()R h GT R π+；(3)23224()R h R T π+； 23
2
4()T
R h R π+【解析】 【分析】
（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解； （2）根据密度的定义求解天体密度；
（3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解； （4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度． 【详解】
（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:
G 2
()Mm R h +=m 2
2T π⎛⎫ ⎪⎝⎭
(R+h) 解得：M=
23
2
4()R h GT π+ ①
（2）天体的密度：
ρ=M
V
=
23
2
3
4()
4
3
R h
GT
R
π
π
+
=
3
23
3()
R h
GT R
π+．
（3）在天体表面，重力等于万有引力，故:
mg=G
2
Mm
R
②
联立①②解得：g=
23
22
4()
R h
R T
π+
③
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m2v
R
④
联立③④解得：v=gR=
23
2
4()
R h
RT
π+．
【点睛】
本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引力，基础问题．
6．“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在海南文昌航天发射中心成功发射升空，完成了与天宫二号空间实验室交会对接。

已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。

（1）求质量为m的飞船在距地面高度为h的圆轨道运行时的向心力和向心加速度大小。

（2）若飞船停泊于赤道上，考虑地球的自转因素，自转周期为T0，求飞船内质量为m0的小物体所受重力大小G0。

（3）发射同一卫星到地球同步轨道时，航天发射场一般选取低纬度还是高纬度发射基地更为合理？原因是什么？
【答案】(1)(2)(3) 借助接近赤道的低纬度发射基地更为合理，原因是低纬度地区相对于地心可以有较大线速度，有较大的初动能
【解析】
【详解】
（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有
解得
（2）根据万有引力定律及向心力公式，有及
解得
（3）借助接近赤道的低纬度发射基地更为合理，原因是低纬度地区相对于地心可以有较大线速度，有较大的初动能。

7．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。

实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。

请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T ，两颗恒星之间的距离为d ，引力常量为G 。

求此双星系统的总质量。

(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s 的速度传播的2倍，这个关系对于其他天体也是正确的。

③地球质量m e =6.0×1024kg ，引力常量G = 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。

请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】(1) 3224s Gm r T π= (2) 23
2
4d GT
π (3) 9×10-3m 【解析】 【详解】
⑴设太阳质量为m s ，地球质量为m e ，地球绕太阳公转的半径为r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力 根据万有引力定律和牛顿运动定律
2
224s e e m m G m r r T
π=
解得常量
322
4s
Gm r T π=
⑵设双星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2
根据万有引力定律及牛顿运动定律
2
1211224m m G m r d T π= 2
1222224m m G m r d T
π= 且有
12+r r d =
双星总质量
23
122
4=d m m m GT
π+=总 ⑶设地球质量为m e ，地球半径为R 。

质量为m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v 1
由万有引力定律和牛顿第二定律
212e m m v G m R R
=
解得
1v =
逃逸速度
2v =
假如地球变为黑洞
v 2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
R =9×10-3m
8．从在某星球表面一倾角为θ的山坡上以初速度v 0平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上．已知该星球的半径为R ，一切阻力不计，引力常量为G ，求： （1）该星球表面的重力加速度的大小g （2）该星球的质量M ．
【答案】(1) 02tan v t θ (2) 202tan v R Gt
θ
【解析】 【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出． 【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：0x v t =，竖直方向：2
12
y gt =
由几何关系可知：0
2y gt tan x
v θ== 解得：0
2v g tan t
θ=
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：2
Mm
G
mg R = 可得：2202v R tan gR M G Gt
θ
==
【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．
9．如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自转角速度为0ω ，地球质量为M ，B 离地心距离为r ，万有引力常量为G ，O 为地球中心，不考虑A 和B 之间的相互作用．（图中R 、h 不是已知条件）
（1）求卫星A 的运行周期A T （2）求B 做圆周运动的周期B T
（3）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】（1）0
2A T π
ω=（2）3
2B r
T GM
=3）03
t GM r ω∆=
-【解析】 【分析】 【详解】
（1）A 的周期与地球自转周期相同 0
2A T π
ω=
（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:
2
2
2()B
GMm m r r T π=
解得：
2B T = （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆=
解得：
t ∆=
点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．
10．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h ,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R ,地面处的重力加速度为g ,地球自转的周期为T ．
【答案】l =
【解析】 【分析】 【详解】
设卫星周期为1T ,那么:
22
2
14()()Mm m R h G R h T π+=+, ① 又
2Mm
G
mg R
=, ② 由①②得
1T =
设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l ,地球自转周期为T ,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则
1
2T
l R T π⋅=. 所以
12RT l T π==
【点睛】
摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心
力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．。