高考数学压轴专题人教版备战高考《平面解析几何》基础测试题含答案解析

【高中数学】数学《平面解析几何》复习资料
一、选择题
1．设P 为椭圆C ：22
x y 173
+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，
使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )
A ．22(x 2)y 28-+=
B ．22(x 2)y 7++=
C ．22(x 2)y 28++=
D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】
推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PF
PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】
P Q 为椭圆C ：22
x y 173
+
=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，
12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，
11
PF PQ FQ ∴+==，
Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．已知椭圆2
2
:12
y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，
则m 的取值范围是( )
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭
C ．⎛ ⎝⎭
D ．⎛ ⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得
002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.
又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211
12y x +=，2
2
2212
y x +=，
两式相减可得
1212
1212
2y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.
因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭
. 故选：C 【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.
3．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的
圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A ．2
B
C ．2D
【答案】D 【解析】 【分析】
设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出
,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】
设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，
由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为
4
π
，可得
,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22
22122c c a b -=，即()22222
122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()
22
2
1221e e e -=-，整理得42420e e -+=， 解得222e =+，因此，双曲线C 的离心率为22+. 故选：D. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
4．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
7
7
B ．
52
C ．
72
D 7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
5．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ） A ．
23
B ．
12
C ．
23
D 2 【答案】B 【解析】 【分析】
由2(3)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22464360k k ∆=-->，得21
3
k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从
而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，
由2(3)4y k x y x
=+⎧⎨=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22464360k k ∆=-->， 所以2
1
3
k <
，129x x =①. 因为1112p FA x x =+
=+，2212
p
FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，
得12k =
. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
22
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆
的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ，
∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0）
则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，
∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．
8．过双曲线()22
22100x y a b a b
-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B
，两点，OAB ∆的面积为
133bc
，则双曲线的离心率为（ ） A ．
132
B ．
133
C ．
222
D ．
223
【答案】D 【解析】 【分析】
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±，由三角形的面积公式，可得,a b 的关系，由离
心率公式计算可得所求值． 【详解】
右焦点设为F ，其坐标为(),0c
令x c =，代入双曲线方程可得2b
y a
=±=±
OAB V 的面积为21223b c a ⋅⋅= 3
b a ⇒=
可得3
c e a ==== 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．
9．已知双曲线2
2x a
－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2
p
x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1
2
y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；
则c =
故选A ．
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任
意一点，若圆()()2
2
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可． 【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即
bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若
3AF FB =uu u r uu r
，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）
A ．
3
B
C D ．【答案】B 【解析】 【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得
30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：1)y x =-与抛物线联立得到
1210
3x x +=
，根据焦点弦性质得到163
AB =，结合已知即可得到
sin 60AH AF ==o AOF S V 即可.
【详解】 如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r
，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==. 所以2AM k =. 在RT ABM V 中，1
2
AM AB =，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .
(1,0)F ，直线AF 为3(1)y x =-.
2
23(1)310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12
103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=
+=，3
44
AF AB ==. 在RT AFH V 中，sin 6023AH AF ==o
所以1
12332
AOF S =⨯⨯=V 故选：B 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
12．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
【答案】B 【解析】
【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
12225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭
⎭
()115522333
⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m m
n +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立. 12m n
∴+的最小值为3. 故选：D .
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
14．已知双曲线22
19x y m
-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．34
y x =? B ．43y x =± C
．y x = D
．y x = 【答案】B
【解析】
根据题意,双曲线的方程为22
19x y m
-=，则其焦点在x 轴上， 直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0，
则双曲线的焦点坐标为()5,0，
则有925m +=，
解可得，16m =， 则双曲线的方程为：22
1916
x y -=， 其渐近线方程为：43
y x =±
， 故选B.
15．倾斜角为45︒的直线与双曲线22
214x y b
-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）
A
．2
B
．2 C
1 D
1
【答案】B
【分析】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且
245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰
2Rt QOF △中，可得22b QF a
=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，
则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a
-=，
41c c -==，，
故22c =.
方法二：等腰2Rt QOF △中，22b QF a
=， ∴2
b c a
=. 又222b a c =-，
∴2240c c --=，
得1c =.
∴22c =.
故选：B .
【点睛】
本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.
16．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=
，若22e =，则1e 的值是（ ）
A B ．4 C ．
7 D 【答案】D
【解析】
【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果.
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则221212PF PF a a =-， 由余弦定理得：2222212121212242cos
3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145
e ∴=，
1e ∴= 故选：D .
【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32 【答案】B
【解析】
【分析】 先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点. 由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r ，
∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r .
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( )
A ．()1,2
B ．()1,2
C ．()2,+∞
D ．()2,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 设过双曲线的右焦点F 与渐近线b y x a
=垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 .
【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交， ∴直线AF 与渐近线b y x a =-
必定有交点B ， 因此，直线b y x a
=-的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =的斜率为b a
， ∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a a b -<-， 即22,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >
双曲线离心率e 的取值范围为
)
2,+∞，故选C. 【点睛】 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
19．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ）
A ．4x =-
B ．3x =-
C ．2x =-
D ．1x =-
【答案】C
【解析】 由题得双曲线的方程为222213x y a a
-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=. 所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合. 由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a
⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33
a x ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C. 点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.
20．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为6
故选：C
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.。