专题1.3.1 函数的单调性与导数-学易试题君之课时同步君高二数学人教版(选修2-2)(解析版)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】
11．已知函数 是 上的可导函数，当 时，有 ，则函数 的零点个数是______________．
【答案】1
【解析】令 ，得 ．设 ，则 ，
∵ 时，有 ，∴ 时，有 ，即当 时， ，此时函数 单调递增， ；当 时， ，此时函数 单调递减， ，结合函数 的图象，可知在区间 上函数 和 的图象有一个交点，即 的零点个数是 ．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是奇函数，则 ，则不等式 为 ，即 ．设 ，则 是偶函数，又 ，所以 是 上的减函数，是 上的增函数， ， ，又 ，所以 ，即 ．故选A．学科@网
8．若函数 在 单调递增，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 对 恒成立，故 ，
即 恒成立，即 对 恒成立，
3．定义域为 的可导函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，因为函数 在区间 上单调递增，所以 在区间 上恒成立，所以 ，而 在区间 上单调递减，所以 ，故实数 的取值范围是 ．故选D．学科@网
【答案】（1）函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2） ．
15．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1） ，
（i）设 ，则当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ii）设 ，由 得 或 ．
5．已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
6．设 ，则
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】因为 ，所以 是奇函数．
又 ，所以 单调递增，故 既是奇函数又是增函数．故选B．
7．已知函数 为定义在实数集 上的奇函数，且当 时， （其中 是 的导函数），若 ， ， ，则
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数 在 内是
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
【答案】A
【解析】因为 恒成立，所以函数 在 内是增函数，故选A．
2．已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
【答案】B
【解析】由 的图象及导数的几何意义可知，当 时， ；当 时， ；当 时， ，故B符合题意．故选B．
构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，
故只需保证 ，解得 ．故选C．二、填空题：请将答Fra bibliotek填在题中横线上．
9．函数 ， 的单调递减区间为______________．
【答案】 （也可写为 ）
【解析】由题意得 ，令 且 ，则 ．
10．已知定义在 上的可导函数 满足 ，若 ，则实数 的取值范围是______________．
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增．
②若 ，则 ，故当 时， ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
③若 ，则 ，故当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解．学科@网
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知 ，证明： ．
【答案】证明见解析．
【解析】令 ，则 ．
∵ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ．
从而 ，命题得证．学科@网
13．已知函数 ，试讨论 的单调性．
【答案】见解析．
14．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上是减函数，求实数a的最小值．
11．已知函数 是 上的可导函数，当 时，有 ，则函数 的零点个数是______________．
【答案】1
【解析】令 ，得 ．设 ，则 ，
∵ 时，有 ，∴ 时，有 ，即当 时， ，此时函数 单调递增， ；当 时， ，此时函数 单调递减， ，结合函数 的图象，可知在区间 上函数 和 的图象有一个交点，即 的零点个数是 ．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是奇函数，则 ，则不等式 为 ，即 ．设 ，则 是偶函数，又 ，所以 是 上的减函数，是 上的增函数， ， ，又 ，所以 ，即 ．故选A．学科@网
8．若函数 在 单调递增，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 对 恒成立，故 ，
即 恒成立，即 对 恒成立，
3．定义域为 的可导函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】C
4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，因为函数 在区间 上单调递增，所以 在区间 上恒成立，所以 ，而 在区间 上单调递减，所以 ，故实数 的取值范围是 ．故选D．学科@网
【答案】（1）函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2） ．
15．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1） ，
（i）设 ，则当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（ii）设 ，由 得 或 ．
5．已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
6．设 ，则
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】因为 ，所以 是奇函数．
又 ，所以 单调递增，故 既是奇函数又是增函数．故选B．
7．已知函数 为定义在实数集 上的奇函数，且当 时， （其中 是 的导函数），若 ， ， ，则
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数 在 内是
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
【答案】A
【解析】因为 恒成立，所以函数 在 内是增函数，故选A．
2．已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
【答案】B
【解析】由 的图象及导数的几何意义可知，当 时， ；当 时， ；当 时， ，故B符合题意．故选B．
构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，
故只需保证 ，解得 ．故选C．二、填空题：请将答Fra bibliotek填在题中横线上．
9．函数 ， 的单调递减区间为______________．
【答案】 （也可写为 ）
【解析】由题意得 ，令 且 ，则 ．
10．已知定义在 上的可导函数 满足 ，若 ，则实数 的取值范围是______________．
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增．
②若 ，则 ，故当 时， ；
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
③若 ，则 ，故当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数的单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数的取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性破解．学科@网
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知 ，证明： ．
【答案】证明见解析．
【解析】令 ，则 ．
∵ ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ．
从而 ，命题得证．学科@网
13．已知函数 ，试讨论 的单调性．
【答案】见解析．
14．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上是减函数，求实数a的最小值．