2024年初中升学考试九年级数学专题复习待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式19．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【答案】（1）（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7；
（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴x=b
2在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x ≤0时，y 的最大值为2，
∴c ＝2，
又∵4×(−1)×c−b 24×(−1)=3，
∴b ＝±2，
∵b ＞0，
∴b ＝2．
∴二次函数的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
待定系数法求二次函数解析式
33．（2023•宁波）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 图象经过点A （1，﹣2）和B （0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y ≤﹣2时，请根据图象直接写出x 的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出A 关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A （1，﹣2）和B （0，﹣5）代入y ＝x 2+bx +c 得：
{1+b +c =−2c =−5
， 解得{b =2c =−5
，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．。