专题12：二元一次方程组(简答题专练)(解析版)

专题11：二元一次方程组（简答题专练）
一、解答题
1．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？
【答案】（1）小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）41.6元/千克．
【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出方程求出答案；
（2）根据让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．
【解答】（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，
根据题意可得：
2002008000
20
x y
y x
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
10
30 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，
200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），
∴销售完后，该水果商共赚了3200元；
（2）设大樱桃的售价为a元/千克，
（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，
解得：a≥41.6，
答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．
考点：1、一元一次不等式的应用；2、二元一次方程组的应用
2．某人用2400元买进甲、乙两只股票在当甲股票升值15%，乙股票下跌10%时全部卖出，共获利润1350元（不含手续费、税费），试问此人买的甲、乙两只股票各是多少元？
【答案】买了甲股票15000元，乙股票9000元.
【分析】设买了甲股票x 元，乙股票y 元，根据题意列出二元一次方程组即可求解.
【解答】设买了甲股票x 元，乙股票y 元.
依题意，得2400015%10%1350
x y x y +=⎧⎨-=⎩，
整理得240003227000x y x y +=⎧⎨-=⎩
. 解得150009000x y =⎧⎨=⎩
. 答：买了甲股票15000元，乙股票9000元.
【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.
3．A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A 地，乙继续前进，当甲返回到A 地时，乙离A 地还有2千米.甲、乙两人的速度各是多少？
【答案】甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时.
【分析】设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时，根据题意列出二元一次方程组即可求解.
【解答】设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时
根据题意，得2()20222x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得 5.54.5x y =⎧⎨=⎩
. 答：甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时.
【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.
4．已知关于x ，y 的方程组21254x y k x y k +=-⎧⎨
+=+⎩的解满足5x y +=，求k 的值. 【答案】2
【分析】先通过方程组解出x 、y ,再将x 、y 代代数式入求出k 即可.
【解答】21,254,x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①②
2⨯-②①，得399x k =+，
解得33x k =+.把33x k =+代入①，
得3321k k γ++=-，
解得 2.y k =--
5,x y +=
3325k k ∴+--=，
解得2k =.
【点评】本题考查解二元一次方程组求参数,关键在于先用参数分别表示出解,再利用代数式求参数. 5．某种电器产品，每件若以原定价的8折销售，可获利120元；若以原定价的6折销售，则亏损20元，该种商品每件的进价为多少元？
【答案】该商品每件的进价为440元
【分析】设该种商品的进价为x 元/件，原定价为y 元/件，根据“获利120元”与“亏损20元”列出方程组进一步求解即可.
【解答】设该种商品的进价为x 元/件，原定价为y 元/件.
依题意，得0.81200.620y x y x -=⎧⎨-=-⎩.解得440700x y =⎧⎨=⎩
. 答：该商品的进价为440元
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.
6．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟求李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需多少分钟.
【答案】李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟
【分析】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟，根据题意列出二元一次方程组即可求解.
【解答】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟.
依题意，得35554985x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
，
由+①②，得714140x y +=.
所以220x y +=，则2440x y +=.
答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟
【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.
7．在解方程组1014bx ay x cy +=⎧⎨-=⎩①②时，甲正确地解42x y =⎧⎨=-⎩，乙把c 写错得到24
x y =⎧⎨=⎩.若两人的运算过程均无错误，求a ，b ，c 的值.
【答案】1,a =3,b =5c =.
【分析】先将甲的解代入原式解出c,再将乙的解代入原式解出a 、b 即可.
【解答】因为甲得到的解正确，所以把甲得到的42x y =⎧⎨=-⎩
代入原方程组，得 42104214b a c -=⎧⎨+=⎩
③④， 由④，解得5c =.
已知乙将c 写错得到24x y =⎧⎨=⎩
，因为a ，b 没有写错， 所以将这个解代入方程①，得2410b a +=.⑤
解由③⑤组成的方程组，得1,a =3b =
所以1,a =3,b =5c =.
【点评】本题考查二元一次方程组与解的关系,关键在于代入原式求出参数.
8．判断方程组27,617.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②
的解法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法.
解法①：由①，得72y x =-.③，把③代入①，得2(72)7x x +-=.x 可以为任意实数，从而y 也为任意实数，∴原方程组有无数组解.
解法②：由①，得72y x =-.③，把③代入②，得67217x x --=.解得6x =.把6x =代入③，得5y =-.∴ 原方程组的解为65x y =⎧⎨
=-⎩. 【答案】见解析
【分析】解法①中应把③代入②，可知解法错误，解法②代入后去括号时-2x 没有变号,可知解法错误，利用代入消元法解方程组即可得出正确的方程组的解．
【解答】解：
解法都不正确，其正确的解法如下：
由①，得72y x =-.③
把③代入②，得67217x x --=（）.
解得3x =.把3x =代入③，得1y =.
∴原方程组的解为31
x y =⎧⎨=⎩. 【点评】此题考查了代入法解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组方法是解本题的关键．
9．解下列方程组：（1）8962717x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②； （2）1353()2(3)15
x y x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩. 【答案】（1）322
x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）30x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）利用加减消元法解出方程；
（2）整理后利用加减消元法解出方程．
【解答】（1）4⨯-②①，得3774y =-.解得2y =-，
把2y =-代入①，得89(2)6x -⨯-=.解得32
x =-， ∴原方程组的解为322
x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；
（2）1353()2(3)15
x y x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩，
53155315x y x y +=⎧∴⎨-=⎩①②
+①②，得1030x =.解得3x =③
把③代入①得15315y +=.解得0y =，
∴原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩
． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法和代入法是解方程常用的方法． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组141516171819x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
时，直接消元是很繁琐的，采用下面的解法则会简单许多.
解：-②①得333x y +=，所以1x y +=.③
14⨯③，得141414x y +=.④
-①④，得2y =，从而得1x =-.
所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩
. （1）请你运用上述方法解方程组201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩
， （2）猜测关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩
，()m n ≠的解是什么？并用方程组的解加以验证. 【答案】（1）12x y =-⎧⎨=⎩（2）12x y =-⎧⎨=⎩
，验证见解析. 【分析】（1）利用“加减消元”来解方程组；
（2）先假设该方程组的解，然后代入原方程组验证即可．
【解答】（1）201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
，
-②①，得333,x y +=
1x y ∴+=③
2015⨯③，得201520152015x y +=④
-①④，得2y =.把2y =代入③，得21x +=，
解得1x =-，
∴原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩
； （2）关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩，()m n ≠的解是12x y =-⎧⎨=⎩
，
(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩①②
当1,x =-2y =时，方程①左边(1)2m m =-++⨯22m m =-++2m =+=右边，
方程②左边(1)2n n =-++⨯222n n n =-++=+=右边，
12x y =-⎧∴⎨=⎩
是原方程组的解． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．
11．某服装点用6000购进A,B 两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?
【答案】（1）A 种服装购进50件，B 种服装购进30件；（2）2440元
【分析】（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A 种服装的利润-打折后B 中服装的利润，求出其解即可．
【解答】解：（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由题意，得 60100600040603800
x y x y +=⎧⎨+=⎩，
解得：5030
x y =⎧⎨=⎩，
答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件；
（2）由题意，得：
3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）
=3800-1000-360
=2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
12．若关于x 、y 的方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和393418x y ax by +=⎧⎨-=⎩
有相同的解，求a 、b 的值． 【答案】11a b =⎧⎨=-⎩
【解析】试题分析：将两方程组中的第一个方程联立，求出x 与y 的值，代入两方程组中的第二个方程中得到关于a 与b 的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值．
试题解析：
先解方程组4539
x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ 解得：2
3x y ⎧⎨⎩＝＝
将x=2、y=3代入另两个方程，
得方程组：
23161218a b a b +-⎧⎨-⎩
＝＝ 解得11a b =⎧⎨=-⎩
. 13．已知关于,x y 的方程组3=1331x y a x y a
++⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，则a 的取值.
【答案】a>−1
【解析】试题分析：方程组两方程相加，变形后表示出x+y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．
试题解析：
313
31
x y a
x y a
+=+
⎧
⎨
+=-
⎩
①
②
，
①+②得：4(x+y)=2+2a，即x+y=1
2
a
+
，
代入x+y>0得：1
2
a
+
>0，
解得：a>−1.
14．某足球协会举办了一次足球联赛，记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.当比赛进行到12轮结束（每队均需比赛12场）时，甲队得分是19分，请你通过计算分析甲队胜几场、平几场、负几场？
【答案】有三种可能性，即
4,
{7,
1.
x
y
z
=
=
=
或
5,
{4,
3.
x
y
z
=
=
=
或
6,
{1,
5.
x
y
z
=
=
=
【解析】试题分析：设甲队胜x场、平y场、负z场，则有
12,
{
319.
x y z
x y
++=
+=
这是一个不定方程，若把x当成
已知数，可以得到
193,
{
27.
y x
z x
=-
=-
由题意x≥0、平y≥0、负z≥0，即
0,
{1930,
270.
x
x
x
≥
-≥
-≥
解得3
1
2
≤x≤6
1
3
，于是x取4、
5、6，由此可以得到三组解.有三种可能性，即
4,
{7,
1.
x
y
z
=
=
=
或
5,
{4,
3.
x
y
z
=
=
=
或
6,
{1,
5.
x
y
z
=
=
=
考点：三元一次方程组
点评：本题难度中等，主要考查学生对三元一次方程组知识点解决实际问题的掌握．
15．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示：
现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
【答案】660元．
【分析】设甲种货车每辆运货x 吨，乙种货车每辆运货y 吨，先根据表格建立方程组，求出x 、y 的值，再根据这次租用的甲、乙两种货车的数量和每吨运费列出运算式子，由此即可得．
【解答】设甲种货车每辆运货x 吨，乙种货车每辆运货y 吨，
由题意得：2315.55635
x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得42.5
x y =⎧⎨=⎩， 则货主应付运费为()344 2.530660⨯+⨯⨯=（元），
答：货主应付运费660元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键．
16．是否存在整数k ，使方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩
的解中，x 大于1，y 不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．
【答案】存在;k 只能取3，4，5
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于k 的式子，然后解出k 的范围，即可知道k 的取值．
【解答】解:解方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩得1323k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
∵x 大于1，y 不大于1从而得不等式组113223
k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 解之得2＜k≤5
又∵k 为整数
∴k 只能取3，4，5
答：当k 为3，4，5时，方程组2+y=k 1
x x y ⎧⎨-=⎩的解中，x 大于1，y 不大于1．
【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x ＞1，y≤1，则解出x ，y 关于k 的式子，最终求出k 的范围，即可知道整数k 的值．
17．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8 -1mx ny nx my +=⎧⎨=⎩
的解，求2m-n 的算术平方根． 【答案】2
【分析】把方程组的解代入，得到含m 、n 的方程组，解方程组可得m 、n 的值，再求出2m-n 的算术平方根即可.
【解答】∵21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8 -1mx ny nx my +=⎧⎨=⎩
的解, ∴2821m n n m +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩
， ∴223422m n -⨯-===，
即2m-n 的算术平方根为2.
故答案为：2.
【点评】此题考查了解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，正确正确二元一次方程组的解法求解二元一次方程组的解是解题的关键.
18．温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1 000个四季柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．
(1)若销售a 箱纸盒装和a 袋编织袋装四季柚的收入共950元，求a 的值；
(2)当销售总收入为7 280元时：
①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋．
②若该经销商留下b (b >0)箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求b 的值．
【答案】(1) a＝5；(2)①纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋；②b为9.
【分析】（1）根据收入共950元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①纸盒装共包装了x箱，则编织袋装共包装y 袋，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②根据①的关系可以y表示出x，减去留下的b箱纸盒装，再由销售总收入为7280元，可得出方程，解出即可．【解答】(1)由题意得64a＋126a＝950，得a＝5.
(2)①设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋．
由题意得
解得
∴纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋．
②当8x＋18y＝1 000时，得x＝＝125－，由题意得64＋126y＝7 280，得y＝40－.
∵x，y，b都为整数，且x≥0，y≥0，b＞0，
∴b＝9，x＝107，y＝8.∴b为9.
【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．
19．在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1)他们共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？
【答案】（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱
【分析】（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价=400元，据此设未知
数列方程组求解即可；
（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案．
【解答】解：(1)设去了x 个成人，y 个学生，
依题意得，12
40400.5400x y x y +=⎧⎨+⨯=⎩，解得84
x y =⎧⎨=⎩，
答：他们一共去了8个成人，4个学生；
(2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)，
∵384＜400，
∴按团体票购票更省钱．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
20．我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【答案】（1）240人，原计划租用45座客车5辆；（2）租4辆60座客车划算．
【分析】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45座客车y 辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【解答】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45座客车y 辆，
根据题意得：()=4515=601x y x y +⎧⎨-⎩
， 解得：=240=5x y ⎧⎨⎩
, 答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
【点评】此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．
21．阅读理解：解方程组215432x y x y
⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，如果设11,,a b x y ==则原方程组可变形为关于a 、b 的方程组25342a b a b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得到它的解为21a b =⎧⎨=-⎩由112,1,x y ==-求的原方程组的解为121
x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，利用上述方法解方程组：52113213x y x
y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 【答案】131
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【分析】仿照例题，设
1x ＝m ，1y ＝n ，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组，求出m ，n 的值，进而求出方程组的解． 【解答】设
1x ＝m ，1y ＝n ，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩①②
， ①＋②得：
8m ＝24，
解得：m ＝3，
将m ＝3代入①得：
n ＝−2，
则方程组的解为：32
m n =⎧⎨=-⎩， 由1x
＝3，1y ＝−2， 故方程组的解为：1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m ，n 的方程组是解此题的关键．
22．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
()1若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； ()2若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元，200元，250元，在以上的方案中，为使获利最多，商场应选择哪种进货方案？
【答案】()1有2种方案．方案一：甲种25台，乙种25台；方案二：甲种35台，丙种15台；()2购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．所以应选择方案二．
【分析】（1）可分甲、乙，甲、丙和乙、丙三种方案，分别列式求解，再根据实际意义取舍即可； （2）分别求出方案一和方案二的利润，通过比较两个方案利润的大小即可得解.
【解答】（1）①设购进甲x 台，乙()50x -台，
()1500x 210050x 90000+-=；
∴ x 25=；
∴ 购进甲25台，乙25台．
②设购进甲x 台，丙()50x -台
()1500x 250050x 90000+-=；
∴ x 35=；
购进甲35台，丙15台．
③设购进乙x 台，丙()50x -台
()2100x 250050x 90000+-=；
∴ x 87.5=（舍）
所以选择有2种方案．方案一：甲种25台，乙种25台；
方案二：甲种35台，丙种15台；
（2）利润应为：方案一：25150252008750⨯+⨯=元，
方案二：35150152509000⨯+⨯=元，
∵ 9000元8750>元，∴ 方案二获利多，
购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．所以应选择方案二．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
23．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？
【答案】（1）需要甲车8辆，乙车10辆
（2）有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.
【分析】（1）设需要甲车x 辆，乙车y 辆，根据运费8200元，总吨数120吨，列出方程组求解即可；
（2）设甲车有x 辆，乙车有y 辆，丙车有z 辆，列出方程组，再根据,,x y z 均为正整数，求出,x y 的值，即可求解；
（3）根据三种方案求出运费即可求解；
【解答】（1）设需要甲车x 辆，乙车y 辆
由题意可得：581204005008200x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得：810x y =⎧⎨=⎩
∴ 需要甲车8辆，乙车10辆
（2）设甲车有x 辆，乙车有y 辆，丙车有z 辆
由题意可得：165810120x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
消去z 可得：5240,x y +=
285
x y ∴=- 由于,x y 是非负整数，且不大于16，得：0,5,10,15y =
由z 是非负整数，解得8640,5,10852x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩
∴ 有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）三种方案得运费分别是：
①400860088000⨯+⨯=；
②4006500560057900⨯+⨯+⨯=；
③40045001060027800⨯+⨯+⨯=.
∴甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键.
24．为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．
【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度2千米．
【解答】设自行车路段和长跑路段的长度分别是x米、y米
则
5000
15 500200
x y
x y
+=
⎧
⎪
⎨
+=⎪⎩
解得：x=3000，y=2000
答：自行车路段和长跑路段的长度分别是3000米、2000米
25．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．
【答案】a＝1，b＝﹣1，c＝1．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．
【解答】由题意得，
3
1
1 a b c
c
a b c
-+=
⎧
⎪
=
⎨
⎪++=
⎩
，
解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．
【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．
26．某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A 、B 两种型号商品各有几件？
（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？
【答案】（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元
【分析】（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可；
（2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.
【解答】（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，
0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得58x y =⎧⎨=⎩
， 答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；
（2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），
但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）；
②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；
③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元），
∵2400>2100>2000，
∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元.
【点评】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.
27．阅读以下材料：
若x +3y +5z =5，x +4y +7z =7，求x +y +z 的值．
解：x +y +z =3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）=3×
5﹣2×7=1．
答：x +y +z 的值的为1．
根据以上材料提供的方法解决如下问题：
若2x +5y +4z =6，3x +y ﹣7z =﹣4，求x +y ﹣z 的值．
【答案】x+y-z=0
【分析】根据2x +5y +4z =6，3x +y ﹣7z =﹣4，将题目中的式子变形即可求得x +y ﹣z 的值．
【解答】4（2x +5y +4z ）+6（3x +y ﹣7z ）
=8x +20y +16z +18x +6y ﹣42z
=26x +26y ﹣26z
=26（x +y ﹣z ）
=4×6+6×（﹣4）
=24－24
=0．
解得：x +y ﹣z =0．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 28．定义运算“*”，规定2*x y ax by =+，其中a ，b 为常数，且1*25=，2*16=，求2*3的值.
【答案】10
【分析】根据题意，找出新定义的化简规律，对等式进行化简即可.
【解答】解：根据题中的新定义化简已知等式，得2546a b a b +=⎧⎨
+=⎩，解得12
a b =⎧⎨=⎩，则2*34364610c =+=+=. 故2*3的值为10.
【点评】此题重点考查学生对二元一次方程组的解法的应用，掌握二元一次方程的解法是解题的关键. 29．阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ，由此继续推理，从而解决了这个问题.
（1）直接写出S 1
=
（用含字母a 的式子表示）.
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.
（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S △APE 与S △BPF 的比值.
【答案】（1）19a ；（2）315；（3）23
. 【解析】【分析】（1）首先根据题意，求得S △A1BC =2S △ABC ，同理可求得S △A1B1C =2S △A1BC ，依此得到S △A1B1C1=19S △ABC ，则可求得面积S 1的值；
（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC 的面积； （3）设S △BPF =m ，S △APE =n ，依题意，得S △APF =S △APC =m ，S △BPC =S △BPF =m ．得出
23
APE BPF S S ∆∆=，从而求解． 【解答】解：（1）连接A 1C ，
∵B 1C=2BC ，A 1B=2AB ，
∴122BCA ABC S
S a ==,122BCA ABC S S a ==,1112A B C BCA S S =， ∴1144A B C ABC
S S a ==，
∴1166A B B ABC S S a ==，
同理可得出：11116A AC CB C S S a ==，
∴S 1=6a+6a+6a+a=19a ；
故答案为：19a ；
（2）过点C 作CG BE ⊥于点G ，
设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，
1·702BPC S BP CG ∆=
=；1·352PCE S PE CG ∆==， ∴1·7022135
·2
BPC
PCE BP CG S S PE CG ∆∆===． ∴2BP EP
=，即2BP EP =． 同理，
APB APE S BP S PE ∆∆=． 2APB APE S S ∆∆∴=．
842x y ∴+=．①
8440APB BPD S AP x S PD ∆∆+==，3530
APC PCD S AP y S PD ∆∆+==， ∴84354030
x y ++=．② 由①②，得5670x y =⎧⎨=⎩
， 315ABC S ∆∴=．
（3）设BPF S m ∆=，APE S n ∆=，如图所示．
依题意，得APF APC S S m ∆∆==，BPC BPF S S m ∆∆==．
PCE S m n ∆∴=-．
BPC APB APE PCE S S BP S S PE
∆∆∆∆==， ∴2m m n m n
=-． 2()m m n mn ∴-=，
0m ≠，
22m n n ∴-=． ∴
23n m =． ∴23
APE BPF S S ∆∆=． 【点评】此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．
30．如图，A 、B 两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B 地的距离是到A 地的2倍，这家厂从A 地购买原料，制成食品卖到B 地．已知公路运价为1.5元/(公里•吨)，铁路运价为1元/(公里•吨)，
这两次运输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂→B 地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．
问：(1)这家食品厂到A 地的距离是多少？
(2)这家食品厂此次买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，此批食品销售完后工厂共获利多少元？。