2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim
0=--→b x a
e x
x x ，则a =
1
，b =
4
-.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim
0=--→b x a e x
x x ，且0)(cos sin lim 0
=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0
=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为
51)(cos lim )(cos sin lim
00=-=-=--→→b b x x x
b x a e x x x x ，得b =
4.
因此，a = 1，b = 4.
(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )
0，
则
)
()(22v g v g v
u f
'-
=∂∂∂.
【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =
)()
(v g v g u
+，
所以，)(1v g u f =∂∂，
)
()
(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2
x x xe x f x ，则2
1)1(22
1-
=-⎰dx x f .
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x
1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x
1 = t ，⎰
⎰
⎰
-
-==-1
2
11
2
12
2
1)()()1(dt x f dt t f dx x f
＝21)21(0)1(12121
2
12
-=-+=-+⎰
⎰-dx dx xe x .
(4) 二次型2
132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为2
132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=
3231212
32221222222x x x x x x x x x -++++=
于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=21112111
2A ,
由初等变换得 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,
从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.
【详解二】因为2
132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=
3231212
32221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23
)2121(2x x x x x -+++
= 222
12
32y y +=,
其中 ,21
213211x x x y ++= 322x x y -=.
所以二次型的秩为2.
(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>
}{DX X P
e
1
. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21
λ
DX =
, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,
0,0,1)(x x e x F x λ
故
=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e
1
=.
(6) 设总体X 服从正态分布),(2
1σμN , 总体Y 服从正态分布),(2
2σμN ,
1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则
2
2121212)()(21σn n Y Y X X E
n j j
n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为 2
121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 21
22])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2
σ.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2
)2)(1()
2sin(||)(---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.
(A) (
1 , 0). (B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ A ]
【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +
→与)(lim x f b x -
→存在，则函数f (x )
在(a , b )内有界. 【详解】当x
0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim
1-
=+
-→x f x ，42
sin )(lim 0
-=-→x f x ，
4
2
sin )(lim 0=
+
→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在( 1 , 0)内有界，故选(A).
(8) 设f (x )在(
, +)内有定义，且a x f x =∞
→)(lim ，
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00
,)1()(x x x
f x
g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.
(C) x = 0必是g (x )的连续点.
(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0
x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x
u 1
=
， 可将极限)(lim 0
x g x →转化为)(lim x f x ∞
→.
【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0
u f x f x g u x x ∞
→→→=== a (令x
u 1
=
)，又g (0) = 0，所以，
当a = 0时，)0()(lim 0
g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a
0时，
)0()(lim 0
g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性
与a 的取值有关，故选(D). (9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则
(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.
(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设0 < < 1，当x ( , 0) (0 , )时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )
的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ( , 0)时，f (x ) = x (1 x )，
02)(>=''x f ，
当x
(0 ,
)时，f (x ) = x (1
x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐
点. 故选(C).
(10) 设有下列命题：
(1) 若
∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛.
(2) 若
∑∞
=1
n n u 收敛，则∑∞
=+1
1000n n u 收敛.
(3) 若1lim
1
>+∞→n
n n u u ，则∑∞
=1
n n u 发散. (4) 若
∑∞=+1
)(n n n v u 收敛，则∑∞=1
n n u ，∑∞
=1
n n v 都收敛.
则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令n
n u )1(-=，显然，
∑∞
=1
n n u 分散，而∑∞
=-+1
212)(n n n u u 收敛.
(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.
(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n
n n u u
可得到n u 不趋向于零(n
)，所以
∑∞
=1
n n u 发散.
(4)是错误的，如令n v n u n n 1
,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞
=1
n n v 都发散，而
∑∞
=+1
)(n n n v u 收敛. 故选(B).
(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .
(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.
[ D ]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，
至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；
另外，0)
()(lim
)(>--='+
→a
x a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈
使得
0)
()(00>--a
x a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈
使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).
(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有
(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.
【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*
≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系
(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.
【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r
根据已知条件,0*
≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).
(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足
αu X P α=>}{,
若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2
αu . (B) 2
1αu
-. (C) 2
1αu -. (D) αu -1. [ C ]
【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
2
1}{α
x X P -=
>. 故正确答案为(C).
三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
求)cos sin 1(lim 2220x
x
x x -→. 【分析】先通分化为“
”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】x
x x
x x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→
=346)4(21
lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22
020304220==-=-=-→→→→x
x x x x x x x x x x x x x . (16) (本题满分8分)
求
⎰⎰++D
d y y x σ)(
22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的
平面区域(如图).
【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆
}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.
【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，
由对称性，
0=⎰⎰D
yd σ.
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+-+=+2
1
222222D D D
d y x d y x d y x σσσ
⎰
⎰⎰
⎰--=θπ
ππθθcos 20
2
232
20
2
20
dr r d dr r d .
)23(9
16
932316-=-=
ππ
所以，
)23(9
16
)(2
2-=++⎰⎰πσD
d y y x . (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足
⎰⎰≥x
a x a dt t g dt t f )()(，x
[a , b )，
⎰⎰=b
a b a dt t g dt t f )()(.
证明：
⎰⎰≤b
a
b
a
dx x xg dx x xf )()(.
【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x
a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x
a dt t F x G )()(，
由题设G (x ) 0，x
[a , b ]，
G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.
从而
⎰⎰⎰⎰-=-==b
a
b a
b
a b
a
b
a
dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，
由于 G (x ) 0，x [a , b ]，故有
0)(≤-⎰b a
dx x G ，
即
0)(≤⎰b
a dx x xF .
因此
⎰⎰≤b
a
b
a
dx x xg dx x xf )()(.
(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；
(II) 推导
)1(d E Q dP
dR
-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =
；由Q = PQ 及dP
dQ
Q P E d =可推导 )1(d E Q dP
dR
-=. 【详解】(I) P
P
dP dQ Q P E d -=
=20. (II) 由R = PQ ，得
)1()1(d E Q dP
dQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=
P
P
E d ，得P = 10.
当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dP
dR
，
故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数
)(8
642642428
64+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：
(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.
【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.
【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=
8
64264242)(8
64x x x x S ， 易见 S (0) = 0，
+⋅⋅+⋅+='6
42422)(7
53x x x x S
)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x
)](2
[2
x S x x +=.
因此S (x )是初值问题
0)0(,2
3
=+='y x xy y 的解.
(II) 方程2
3
x xy y +='的通解为
]2
[3C dx e x e
y xdx xdx
+⎰⎰=⎰- 22
2
12
x Ce x +--
=，
由初始条件y(0) = 0，得C = 1.
故12
2
2
2-+-
=x e x y ，因此和函数12
)(2
2
2-+-
=x e x x S .
(20)(本题满分13分)
设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T
β)3,3,1(-=,
试讨论当b a ,为何值时,
(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;
(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;
(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.
【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211
是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数,,,321k k k 使得
βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .
(Ⅰ) 当0=a 时, 有
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
-→01
0010
1011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：
a k 111-
=, a
k 1
2=, 03=k ． 此时可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211
)11(αa
αa β+-
=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
--→00
0011
1011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为
a k 111-=, c a
k +=1
2, c k =3， 其中c 为任意常数．
可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为
321)1
()11(αc αc a
αa β+++-
=． (21) (本题满分13分)
设n 阶矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111
b b b b b b A .
(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;
(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.
【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程
0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.
【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，
1
11
||---------=
-λb
b
b λb b b λA E λ
＝1
)]
1(][)1(1[------n b λb n λ ,
得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ． 对b n λ)1(11-+=，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)
1(n n n
→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------00001111
11111111 n n n ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111
111111 n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---0000000011
11
n n n n n ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---0000
1100
101010
01
解得T
ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T
k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛000000111
得基础解系为
T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．
故A 的属于2λ的全部特征向量为
n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．
当0=b 时，
n λλλλA E λ)1(1
010001
||-=---=
-
,
特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．
(Ⅱ)
1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11
当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有
E AP P =-1．
(22) (本题满分13分)
设A ，B 为两个随机事件,且41)(=
A P , 31)|(=A
B P , 2
1
)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.
0,1不发生，发生，
B B Y
求
(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 2
2
Y X Z +=的概率分布.
【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值
对转化为随机事件A 和B 表示即可．
【详解】 (Ⅰ) 因为 12
1
)|()()(=
=A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==
B A P AB P B P ， 则有 12
1
)(}1,1{=
===AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=
-====AB P A P B A P Y X P ， 12
1)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 3
2)]()()([1)(1)(}0,0{=
-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 3
2121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：
(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，6
1
)(2==B P EY ，
163)(22=-=EX EX DX ，16
5
)(22=-=EY EY DY ，
24
1
)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，
所以X 与Y 的相关系数 15
1515
1),(=
=
⋅=
DY
DX Y X Cov ρXY ． 方法二： X, Y 的概率分布分别为
X 0 1 Y 0 1
P
43 41 P 65 6
1 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=36
5
, E(XY)=121,
故 24
1
)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而
.15
15),(=
⋅=
DY
DX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．
3
2}0,0{}0{=
====Y X P Z P ， 4
1}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 12
1}1,1{}2{=
====Y X P Z P ， 即Z
(23) (本题满分13分)
设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,
(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.
【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都
须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当1=α时, X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，
，，
101,),(1x x x ββx f β
(Ⅰ) 由于
⎰⎰
+∞
++∞
∞
--=
⋅
==
1
1
,1
);(ββ
dx x βx dx βx xf EX β 令
X ββ
=-1, 解得 1
-=X X β,
所以, 参数β的矩估计量为 1
-=
X X
β. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为
∏=+⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==n
i i βn
n
i n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他
当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=n
i i
x
ββn βL 1
ln )1(ln )(ln ,
对β求导数，得
∑=-=n
i i x βn βd βL d 1
ln )]([ln ， 令
0ln )]([ln 1
=-=∑=n
i i x βn βd βL d ， 解得 ∑==n
i i
x
n
β1
ln ，
于是β的最大似然估计量为
∑==n
i i
x
n
β
1
ln ˆ．
( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=，
，，αx αx x αβx f 0,2),(32
对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为
∏=⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==n
i i n
n
n i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他
当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为
},,,m in{ˆ21n x x x α
=,
于是α的最大似然估计量为
},,,m in{ˆ21n X X X α
．。