最新-北京市东城区2018届高三5月综合练习理科数学试题

北京市东城区2018-2018学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 （理科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 9. 122a -
<< 10. 5 11. 5
2
12. 0.4;13． 13. 31,22⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
14. ①②④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15.（本小题共13分）
解：(Ⅰ)因为()3sin cos 12sin()+16
f x x x x π
ωωω=++=+
，
又()f x 的最小正周期为π， 所以π2π
ω
=
，即ω=2. --------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()2sin(2)+16
f x x π
=+，
因为02
x π
≤≤，
所以
726
6
6
x π
π
π≤+
≤
. 由正弦函数的性质可知，当26
2
x π
π
+=
，即6
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，最大值为f (
6
π
)=3； 当726
6
x π
π
+
=
时，即2=x π时，函数()f x 取得最小
值，最小值为f (
2
π
)=0. ------13分
16.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）因为ABC ∆是等腰直角三角形90CAB ∠=o
，
E F ，分别为AC BC ，的中点，
G
D
F
E
C '
C
所以EF AE ⊥，EF C E '⊥. 又因为AE C E E '⋂=, 所以EF AEC '⊥平面. 由于EF AB P ,
所以有AB AEC '⊥平面. -------------------------4分 解：（Ⅱ）(i)
取AC '中点D ，连接,,,DE EF FG GD ,
由于GD 为ABC '∆中位线，以及EF 为ABC ∆中位线, 所以四边形DEFG 为平行四边形.
直线GF 与AC '所成角就是DE 与AC '所成角.
所以四棱锥C ABFE '-体积取最大值时，C E '垂直于底面ABFE . 此时AEC '∆为等腰直角三角形，ED 为中线， 所以直线ED AC '⊥. 又因为ED GF P ,
所以直线GF 与AC '所成角为
π2
. -------------------------------------------------------10分 (ii) 因为四棱锥C ABFE '-体积取最大值,
分别以EA EF EC '、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间
直角坐标系如图，
则(0,0,)C a '，(,2,0)B a a ，(0,,0)F a ，(,2,)C B a a a '-，
(0,,)C F a a '-.
设平面C B F '的一个法向量为n =(x,y,z),由0,0
C B C F ⎧⎪⎨⎪⎩'⋅='⋅=n n uuu r
uuu r
得
⎩⎨
⎧=-=-+0
02az ay az ay ax ,
取y =1，得x =-1,z =1． 由此得到n =(-1,1,1).
z
y
x
F
E C '
C
B
A
同理，可求得平面C AE '的一个法向量m =(0,1,0). 所以 13cos 3
3⋅==n m .
故平面C'AE 与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为3
3.--------------------------------------14分
17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场， 分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是
12
. 在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是
25
. ---------------------------------------3分
（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件1B ，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件2B .
则1213121
()()()25252
P A P B P B =+=
⨯+⨯=.------------------------------------------------7分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3.
00332327
(0)()()55125P X C ===；
112
32354(1)()()55125P X C ===；
22132336
(2)()()55125P X C ===；
33
328(3)()5125P X C ===；
X 的分布列如下表：
X 0
1
2
3
P
27
125 54125 36125 8125
26
355
EX np ==⨯
=. --------------------------------------------------------13分 18.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）222(31)
()2(1)(2)22
x x f x x x x x -++'=-+=>-++ ,
当()0f x '>时， 所以 2
310x x ++<. 解得 3522
x -+-<<
. 当()0f x '>时, 解得 35
2
x -+>
. 所以 ()f x 单调增区间为35
(2,
)2
-+-错误！未找到引用源。

，单调减区间为35
(
,)2
-++∞.------------4分 （Ⅱ） 设2()()()2ln(2)(1)(1)(1)h x f x g x x x k x x =-=+-+-+>-,
当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立.
22(31)2(3)(1)
()222
x x x x h x x x -++-++'=-=
++, ∴ 当1x >-时，()0h x '<恒成立，()h x 单调递减．
又(1)0h -=,
∴ 当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<.
∴ 对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立. ---------------------------------8分
（Ⅲ） 因为 222(31)2(6)22
()22
x x x k x k h x k x x -++++++'=-=-
++. 由(II)知，当k = 2时，f (x) < g (x)恒成立，
即对于∀x > –1，2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1)，不存在满足条件的x 0； 当k > 2时，对于∀x > –1，x + 1 > 0，此时2 (x + 1) < k (x + 1). ∴ 2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1)，即f (x) < g (x)恒成立， 不存在满足条件的x 0；
当k < 2时，令t (x) = –2x 2 – (k + 6)x – (2k + 2)，可知t (x)与h ' (x)符号相同, 当x ∈ (x 0 , +∞)时，t (x) < 0，h ' (x) < 0，h (x)单调递减． ∴ 当x ∈ (–1 , x 0)时，h (x) > h (–1) = 0，即f (x) – g (x) > 0恒成立． 综上，k 的取值范围为(–∞ , 2)． -------------------------------------------------------14分
19.（本小题共13分）
解:（Ⅰ）由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,
所以 b c =, 2
22b a =, 则椭圆C 的方程为1222
22=+b y b x . 又因为椭圆C:过点A(2，1)，所以11222
2=+b b ，故a=2,b=.2 所以 椭圆的的标准方程为12
42
2=+y x . --------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)222)(y p x MP +-=.
因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点，所以12
42
2=+y x ， 故 22)41(22
22
x x y -=-=. 所以 222
222211()222(2) 2.222x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+ 因为M(x,y)是椭圆C 上的动点，
所以 2≤x .
（1） 若22≤p 即1≤p ，则当2x p =时MP 取最小值22p -，
此时M 2(2,22)p p ±-.
（2）若1p >，则当2x =时，MP 取最小值2-p ，此时M )0,2(.
（3）若1p <-，则当2x =-时，MP 取最小值2+p ，此时M )0,2(-. -------13分
20.（本小题共13分）
（Ⅰ）由212(1)n n n n d a a a n ++=+-≥以及n n d a =可得：
2120(1)n n a a n ++-=≥
所以从第二项起为等比数列. 经过验证{}n a 为等比数列12n n a -=. -------------------2分
(Ⅱ)由于1n d ≥所以有2121n n n a a a +++-≥.
令1n n n c a a +=-则有11n n c c +-≥叠加得：
4n c n ≥-所以有14n n a a n +-≥-，叠加可得：29102
n n n a -+≥， 所以最小值为-5. --------------------------------------------------------6分
（Ⅲ）由于1n d =，11a =， 21a =
若11d =可得32a =，若11d =-可得30a =
同理，若21d =可得44a =或42a =，若21d =-可得40a =或42a =-
具体如下表所示
7
45
23
2
1111
01
03
2
5
⎧⎧⎧
⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨
⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎨⎧⎧
⎪⎨⎪⎪-⎪⎩⎪⎨
⎪-⎧
⎪-⎪⎨⎪-⎩⎪⎩⎩
所以{}n a 可以为
112211221122L L
或110011001100L L
此时相应的{}n d 为 11111111----L L
或11111111----L L
------------------------------------------------------13分。