2021年高考数学一轮复习课时作业(三十九)第39讲空间点直线平面之间的位置关系文

2021年高考数学一轮复习课时作业（三十九）第39讲空间点直线平面之间的位置关系文
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基础热身
1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,能够确定3个平面.其中正确的序号是()
A. ①
B. ①④
C. ②③
D. ③④
2.若直线上有两个点在平面外,则()
A. 直线上至少有一个点在平面内
B. 直线上有无穷多个点在平面内
C. 直线上所有点都在平面外
D. 直线上至多有一个点在平面内
3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()
A. l1⊥l4
B. l1∥l4
C. l1与l4既不垂直也不平行
D. l1与l4的位置关系不确定
4.如图K39-1所示,在四面体ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,则异面直线AD和BC所成的角为.
图K39-1
图K39-2
5.如图K39-2所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为.(注:把你认为正确结论的序号都填上)
能力提升
图K39-3
6.如图K39-3所示,在四面体ABCD中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定()
A. 在直线DB上
B. 在直线AB上
C. 在直线CB上
D. 都不对
7.[2021·河南六市二联]如图K39-4所示,G,H,M,N分别为正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH与MN是异面直线的图形的序号为()
①②
③④
图K39-4
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
8.[2021·湖北华师一附中、孝感高中、荆州中学、襄阳四中等八校联考]三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,且所有棱长均相等,M为A1C1的中点,则直线CM和直线A1B所成角的余弦值为()
A. B.
C. D.
9.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,则如此的直线l能够作()
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
图K39-5
10.如图K39-5所示,在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为.
11.已知正六棱锥S-ABCDEF的底面边长和高均为1,则异面直线SC与DE所成角的大小
为.
图K39-6
12.如图K39-6所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为.
13.(15分)如图K39-7所示,四边形ABEF和ABCD差不多上直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC ∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别是FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)证明:C,D,F,E四点共面.
图K39-7
14.(15分)如图K39-8所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
图K39-8
难点突破
15.(5分)[2021·南昌模拟]如图K39-9所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,点P,Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点,则△PEQ周长的最小值
为.
图K39-9
图K39-10
16.(5分)如图K39-10所示,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为.
课时作业(三十九)
1. A[解析] 因为梯形有两边平行,因此梯形能够确定一个平面,因此①正确;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,因此②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,因此③不正确;三条直线两两相交,能够确定的平面个数是1或3,因此④不正确.故选A.
2. D[解析] 依照题意,两点确定一条直线,那么若直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内.
3. D[解析] 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D.
4.90°[解析] 如图所示,设G是AC的中点,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,
故EG∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,且FG=AD=1,即∠EGF为所求异面直线AD和BC所成的角,又EF=,由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°.
5.③④[解析] 由图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,因此直线MN与AC所成的角确实是D1C与AC所成的角,易知D1C与AC所成的角为60°.
6. A[解析] 直线EF和GH相交,设交点为M.
∵EF⊂平面ABD,HG⊂平面CBD,
∴M∈平面ABD,且M∈平面CBD,
∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴M∈BD,
∴EF与HG的交点在直线BD上.
7. D[解析] 依照异面直线的定义可知,在图②④中,直线GH与MN是异面直线.
在图①中,由G,M均为棱的中点可知GH∥MN.
在图③中,连接GM,∵G,M均为棱的中点,∴四边形GMNH为梯形,则GH与MN相交.故选D. 8. B[解析] 如图所示,取AC的中点N,连接A1N,BN.∵M为A1C1的中点,
∴MC∥A1N,∴∠BA1N是直线CM与A1B所成的角.
设三棱柱的棱长为2,
则A1B=2,A1N=.
由题意知BN⊥平面ACC1A1,
∴BN⊥A1N,
∴cos∠BA1N===.
故选B.
9.D[解析] 如图所示,连接体对角线AC1,明显AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因为BB1∥AA1,BC∥AD,因此体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.同理,体对角线
A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等.过点A分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故如此的直线l能够作4条.
10.[解析] 设AC∩BD=O,连接VO.因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥,因此VO⊥平面ABCD,因此BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,因此BD⊥AC,又VO∩AC=O,因此BD⊥平面VAC,因此BD
⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为.
11.45°[解析] 如图所示,S-ABCDEF为正六棱锥,O是底面正六边形ABCDEF的中心.连接FC,OB,OS.∵ABCDEF为正六边形,∴△BOC为等边三角形.
∴OB=OC=B C=1,又∵DE∥FC,∴∠SCO确实是异面直线SC与DE所成角.
又SO=OC=1,SO⊥OC,∴∠SCO=45°.
则异面直线SC与DE所成角的大小为45°.
12.[解析] 如图所示,连接HE,取HE的中点K,连接GK,PK,则GK∥DH,故∠PGK即为异面直线PG与DH所成的角或其补角.
设那个正四面体的棱长为2,在△PGK中,PG=,GK=,PK==,
故cos∠PGK==,
即异面直线PG与DH所成的角的余弦值是.
13.证明:(1)因为G,H分别是FA,FD的中点,
因此GH∥AD,GH=AD,
又因为BC∥AD,BC=AD,因此BC∥GH,BC=GH,
因此四边形BCHG是平行四边形.
(2)因为BE∥FA,BE=FA,
因此BE∥FG,BE=FG,
因此四边形BGFE是平行四边形,因此BG∥EF.
又因为四边形BCHG是平行四边形,因此BG∥CH,因此EF∥CH.
因此C,H,F,E四点共面.
又D∈FH,FH⊂平面CHFE,因此D∈平面CHFE,
因此C,D,F,E四点共面.
14.解:(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PO⊥平面ABCD,
因此∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°.
因为BO=AB·sin 30°=1,PO⊥OB,因此在Rt△POB中,PO=BO·tan 60°=, 又因为底面菱形的面积S菱形ABCD=2.
因此四棱锥P-ABCD的体积
V=×2×=2.
(2)取AB的中点F,连接EF,DF.
因为E为PB的中点,
因此EF∥PA.
因此∠DEF为异面直线DE与PA所成的角(或其补角).
在Rt△AOB中,
AO=AB·cos 30°==OP,
因此在Rt△POA中,PA=,
因此EF=.
因为四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,
因此△ABD为正三角形,因此DF=.
又因为∠PBO=60°,BO=1,
因此PB=2,因此PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,
因此DE=.
因此cos∠DEF=
===.
15.[解析] 由题意,当△PEQ的周长取得最小值时,点P在B1C1上.
在平面B1C1CB上,设E关于B1C的对称点为N,关于B1C1的对称点为M,则
EM=2,EN=,∠MEN=135°,
∴MN==.
16.[解析] 取BF的中点N,连接MN,EN,则EN∥AF,因此直线EN与EM所成的角确实是异面直线EM与AF所成的角.在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,因此当点M逐步趋近于点Q时,直线EN与EM的夹角越来越小,cos θ越来越大.故当点M与点Q重合时,cos θ取最大值.设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,在△EQN中,由余弦定理,得cos∠
QEN===-,因此cos θ的最大值为.
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