四边形拓展—中点应用

A D C
B M 四边形拓展练习——中点应用
中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．
一、利用中点构造三角形中线
例1．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AE BD 交BC 于点E ．求证：2BE CE
．
例2．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AM BD 于M ，
交BC 于点E ．求CDE
S
．
【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．
二、利用中点构造中心对称三角形
例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ，M 为AB 中点．
若 6.5CM
，17BC CD DA ，求梯形ABCD 的面积．
E D C
A
B M
E
D
C
B
A
B C A
D M N
E 例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ，
F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的
延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．
【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．
三、利用中点构造三角形中位线
例5．如图，在ABC
中，7AC ，4BC ，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1
902
AED C ．求CE 的长．
例6．如图，已知AD 为ABC
的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB ，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．
【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．
F C
A D
B
E E
D
A
C
B
A B C D
E
F
A B
C P
D E
45°
A D B
C E
四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线
例7．如图，在ABC
中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ，垂足为F ．求证：FG DG
．
例8．如图，在ABC
内取一点P ，使PBA PCA ，作PD AB 于点D ，PE AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．
【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．
五、利用中点构造梯形中位线
例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ，AD 上有一点E 使得BE EC ，且
45CED ．求证：AB CD BC ．
例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP
ADQ
MQNP S
S
S
四边形．
六、利用多个中点构造三角形和四边形 例11．如图，在任意五边形ABCDE
中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的
中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1
=4
KL AE ．
例12．在六边形ABCDEF
中，//AB DE ，//BC EF ，
//CD FA ，AB DE BC EF ，1
1
1
1
A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1
1
1
1
A D
B E ．
求证：CDE AFE
．
Q
P N
M A
D B C
K L Q P
M N
A B
C
D E
E 1
D 1
B 1
A 1
E
A B
C
D F
A
B
C
D
配套练习：
1．如图，在菱形ABCD 中，100A ，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD
于点P ，求NPC
的度数．
2．如图，在ABC
中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ，OQ AB ，P Q 、为垂足．
求证：DP DQ
．
3．如图，在ABC 中，2A B ACB ，8BC ，D 为AB 的中点，且1
972
CD ，
求AC 的长．
P
Q
D
O
A
B
C
E F P
N
M
A B C D
D B
C
A
F
E M
A
B
C
D
E
M
4．如图，在ABC 中，2B C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，求证：1
2
DM AB
5．如图，在ABC
中，2ABC C ，AD 平分BAC ，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：1
2
BE BD ．
6．如图，已知五边形ABCDE
中，90,ABC AED BAC EAD。

M 为CD 的中点，求证：MB ME
．
M l A B
C E
G F
D
H
7．以三角形ABC 的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABEF 和ACGH ，联结FH ，
（1）如图1，作ABC
中BC 边上的中线AD ，求证：1
2
AD FH ． （2）如图2，过A 作AP BC 于P ，反向延长AD ，交FH 于Q ，求证：FQ HQ
．
8．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，求证：点M 是EF 的中点．
9．已知：A B 、是两个定点，C 是位于直线AB 某一侧的一个动点，分别以AC BC 、为边，
在ABC
的外部作正方形CADI CBEF 、．求证：无论点C 在什么位置上，DE 的中点M 的位置不变．
D
G
H
F
E
A
B
C
图1 P
Q
G
H
F
E
C
B
A
图2
B C A D
E
F
10．如图，在Rt ABC 和Rt BDC 中，90BAC BDC ，连接AD ，取两点E 、F ，
使得AF CF
，BE DE ，求证：DE AF .
11．在PAT 中，=36P ，56A ，10PA
，点U G 、分别在边TP TA 、上，1PU AG ．若M N 、分别为PA UG 、的中点，求MN 与PA 的夹角．
N
M
P A T U
G
四边形拓展练习——中点应用
中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．
一、利用中点构造三角形中线
例1．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AE BD 交BC 于点E ．求证：2BE CE
．
例2．如图，在ABC 中，AB AC =1，90BAC ，BD 是中线，AM BD 于M ，交BC 于点E ．则CDE
S
=________．
E
D
C
A
B
M
E
D
C
B
A
A D
C
B M
【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．
二、利用中点构造中心对称三角形
例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ，M 为AB 中点．
若 6.5CM
，17BC CD DA ，求梯形ABCD 的面积．
例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的
延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．
F
C
A
D
B
E
B C A
D M
N
E
【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．
三、利用中点构造三角形中位线
例5．如图，在ABC
中，7AC ，4BC ，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1
902
AED C ．求CE 的长．
例6．如图，已知AD 为ABC
的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB ，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．
【解】：法一，联结BE ，取BE 中点G ，联结,GN GM
，
由1=2GN AB 且1//2GN AB ；1
2GM EC 且
1
//2
GM EC ，AB EC 可得GN GM ，进而
GNM GMN ；再由//GM AC 得=GMN CNM ，所以CNM GNM ；由
//GN AB 得BAC GNC ，所以11
22
CNM GNC BAC CAD
，所以//MN AD ．
法二：过点B 作AD 平行线交CA 延长线于P ，由//PB AD 得CAD P
，BAD PBA ，再由CAD BAD 得P PBA ，所以AP AB ；由AB CE
得AP EC ，由AN NE 得PN NC ，结合BM MC 得//MN PB ，所以//MN AD ．
【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另
E
D
A
C
B
A
B
C
P
D
E
A
B
C
D
E
F 外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题． 四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线
例7．如图，在ABC
中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ，垂足为F ．求证：FG DG
． 【解】：延长DG FE 、交于点P ，联结EG ，
由1//2EG DC ，12EG DC ，BD DC
，可得1
//2EG BD ，1
2
EG BD ，进一步可得E G 、为BP DP 、的中点，所以
DG GP ，再由90DFE 可得1
2
FG DP DG
．
例8．如图，在ABC
内取一点P ，使PBA PCA ，作PD AB 于点D ，PE AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．
【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．
45°
A
D
B C
E 五、利用中点构造梯形中位线
例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ，AD 上有一点E 使得BE EC ，且
45CED ．求证：AB CD BC
．
【解】：取BC 中点M ，AD 中点N ，联结,EM MN ，
由90BEC ，BM MC
得1
2
EM BC ， 由
//AB CD M N
，、为
AD BC
、中点可得
1
()2
MN AB CD ，设BEM
，可得90EBA ，45A ，所以45MNE A =MEN
，所以MN ME ，所以AB CD BC ．
例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCP
ADQ
MQNP S
S
S
四边形．
六、利用多个中点构造三角形和四边形 例11．如图，在任意五边形ABCDE
中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的
中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1
=4
KL AE ．
Q
P N
M A
D B C
K L Q P
M N
A B
C
D E
例12．在六边形ABCDEF
中，//AB DE ，//BC EF ，
//CD FA ，AB DE BC EF ，1
1
1
1
A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1
1
1
1
A D
B E ．
求证：CDE AFE
．
E 1
D 1
B 1
A 1
E
A B
C
D F
配套练习：
1．如图，在菱形ABCD 中，100A ，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD
于点P ，求NPC
的度数． 【解】：由菱形ABCD 得AB BC ，//AD BC ，由100A 得80B ，再由M N 、为边AB BC 、中点，所以BM BN
，所以50BMN BNM ，设MP 中点为E ，联结NE ，则有
////EN BM CP ， 由//MP CD EN CD ，得NE MP ，再由ME EP
得MN NP ，则NMP NPM
，于是50NPC NMB
2．如图，在ABC
中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ，OQ AB ，P Q 、为垂足．
求证：DP DQ
． 【解】：取BO 、CO 中点M N 、，联结DM DN QM PN 、、、，
可得12DM CO PN
、1
2
DN BO QM ，再由中位线得平行四边形OMDN ，所以DMO DNO
，再由ABO ACO 得QMO
PNO ，所以QMD DNP ，所以QMD DNP ，
所以QD PD
3．如图，在ABC 中，2A B ACB ，8BC ，D 为AB 的中点，且1
972
CD ，
求AC 的长．
P
Q
D
O
A
B
C
E F P
N
M
A B
C
D
E
P
N
M A
B C D
N
M
P
Q
D
O A
B
C E
F D
B
C
A
E
H
D
B
C
A
D B C
A
F
E
M
A
B
C D
E
M 【解】：过点A 作CB 的平行线，交CD 延长线于E ，交过点C 作AB 的垂线于H ，
根据//AE BC ，D 为AB 中点得ADE BDC
，所以E BCD ，再由2A B ACB 得60ACB ，再由//AH BC 得60CAH ，进而
30ACH ，设AH a
，则2,3AC a CH a ，8EA BC ，所以8EH a ，297EC CD ，由90H 得2
2
2CH
EH
EC ，解得3
2
a ，所以3AC
4．如图，在ABC 中，2B C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，求证：1
2
DM AB
【解】：取AB 中点G ，联结DG MG ，由AD BC ，点G 为AB 的中点得1
2
DG AB BG
，所以B GDB ，由//GM AC 得DMG C ，由2B C 得2GDB DMG ，所以DMG DGM ，所以DG DM
，再由12DG AB 得1
2
DM AB
5．如图，在ABC
中，2ABC C ，AD 平分BAC ，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：1
2
BE BD ．
【解】：延长BE 至G 使得BE EG ，联结GC GD 、，
由,BE EG BM MC 得//EM GC ，由AF EM
得AF GC ，再由AD 平分BAC
，得AG AC ，于是ADG ADC ，所以C AGD ，结合2ABC C 得BGD BDG ，所以BG BD ，所以1
2
BE BD
6．如图，已知五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD。

M 为CD 的中点，求证：MB ME
． 【解】：同例8，取AC AD 、中点F G 、，联结BF FM EG GM 、、、，得到平行四边形进而证明BFM MGE ，于是MB ME
M l A B C E
G
F D H
7．以三角形ABC 的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABEF 和ACGH ，联结FH ，
（1）如图1，作ABC
中BC 边上的中线AD ，求证：1
2
AD FH ． （2）如图2，过A 作AP BC 于P ，反向延长AD ，交FH 于Q ，求证：FQ HQ
．
8．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，求证：点M 是EF 的中点．
【解】：如图，N 是AD 中点，过N 作1
//NQ DF 交FQ 于1Q ，作1//NP AE 交EP 于1
P ，
作//NS DC 交BC 于S ，作//NR AB 交BC 于R
可得1
RN AB AE PN 进而1
PPN LNR
，则1
PP NL ；同理可证1
1
PP QQ ，显然1
EP AN 且1
//EP AN ，1
FQ ND 且1
//FQ ND ，又AN ND ，所以1
1
EP FQ 且
1
1
//EP FQ ，从而1
1
1
1
EP EP PP FQ QQ FQ
9．已知：A B 、是两个定点，C 是位于直线AB 某一侧的一个动点，分别以AC BC 、为边，
在ABC
的外部作正方形CADI CBEF 、．求证：无论点C 在什么位置上，DE 的中点M 的位置不变．
【解】同市北练习册八年级最后一题
D
G
H
F
E
A
B
C
图1 P
Q
G
H
F
E
C
B
A
图 2
L Q 1P 1S R
M Q
P
N H
F E
G A C B D
B C A
D
E
F
10．如图，在Rt ABC 和Rt BDC 中，90BAC BDC ，连接AD ，取两点E 、F ，
使得AF CF
，BE DE ，求证：DE AF .
【解】：取BC 中点G ，EF 中点P ，联结PG AG DG 、、，可得1
2
DG BC AG ，由
//BE CF ，G P 、为BC EF 、中点，可证////PG BE FC （这个可由延长BP 交FC 于Q ,
证BEQ QFP 得到），可得PG AD ，于是AP DP
，FP EP ，于是AF DE
11． 在PAT 中，=36P ，56A ，10PA
，点U G 、分别在边TP TA 、上，1PU AG ．若M N 、分别为PA UG 、的中点，求MN 与PA 的夹角．
【解】：（AMC12
第23题）联结PN 并延长至Q 使PN NQ
，联结AQ GQ 、．根据条件可证PNU QNG
≌，从而得到QG PU AG
以及//PU QG ． 由=36P ，56A 得88T ，从而88QGT
，从而44QAG ，所以
100QAP ．而MN 是PAQ 的中位线，所以//MN AQ ，故100PMN QAP
，
所以MN 与PA 的夹角为80 ．
P
F
E G C B A D
N M
P A T U
G
Q
N
M
P
A T U G。