高三数学(理)一轮总复习(江苏专用)讲义 第四章_三角函数、解三角形_.DOC

第四章 三角函数、解三角形
第一节 弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类⎩
⎪⎨⎪⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
3.
科§网Z §X §
X §K]
y 叫做α的正弦，记作sin α
x 叫做α的余弦，记作cos α
y
x 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ
－
＋
－
三角函 数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT 为
正切线
1．(教材习题改编)将－11π
4
表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ值为________．
解析：∵－11π4＝－3π4＋(－2π)，∴θ＝－3π
4.
答案：－3π
4
2．(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角
的集合(不包括边界)为________． 解析：因为75°＝
5π12，330°＝11π
6
， 故集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪
11π6＋2k π<α<5π
12＋2π＋2k π，k ∈Z ，
即⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪
2k π－π6<α<2k π＋5π
12，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪
2k π－π6<α<2k π＋5π
12，k ∈Z
3．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．
解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，所以θ的终边只能位于第四象限．
答案：四
4．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．
答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x .
[小题纠偏]
1．下列命题正确的是________．
①小于90°的角都是锐角；②第一象限的角都是锐角；③终边相
同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．
答案：④
2．已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝2
4m ，则
cos θ＝________，tan θ＝________.
解析：由题意，得r ＝3＋m 2
，∴m
3＋m
2＝24m . ∵m ≠0，∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．
当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，
∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；
当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，
∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5
－3＝153.
答案：－64 ±15
3
3．若α是第一象限角，则α
3是第________象限角．
解析：∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k 3·360°<α3<k 3
·360°＋30°，k ∈Z. 当k ＝3n 时，有n ·360°<α3<n ·360°＋30°，k ∈Z ，
∴α
3为第一象限角． 当k ＝3n ＋1时，
有n ·360°＋120°<α
3<n ·360°＋150°，k ∈Z ，
∴α
3为第二象限角． 当k ＝3n ＋2时，
有n ·360°＋240°<α
3<n ·360°＋270°，k ∈Z ，
∴α
3
为第三象限角． 综上可知，α
3为第一、二、三象限角．
答案：一、二、三
考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．给出下列四个命题： ①－
3π4是第二象限角；②4π3
是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有________(填序号)．
解析：－
3π
4
是第三象限角，故①错误； 4π3＝π＋π3，从而4π
3是第三象限角，故②正确； －400°＝－360°－40°，从而③正确； －315°＝－360°＋45°，从而④正确． 答案：②③④
2．(易错题)若角α是第二象限角，则α
2是第________象限角．
解析：∵α是第二象限角，
∴π
2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴π
4＋kπ＜
α
2＜
π
2＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，α
2是第一象限角；
当k为奇数时，α
2是第三象限角．
答案：一、三
3．若角α与8π
5终边相同，则在[0,2π]内终边与
α
4角终边相同的角
是________．
解析：由题意，得α＝8π
5＋2kπ(k∈Z)，
α
4＝
2π
5＋
kπ
2(k∈Z)．又
α
4∈
[0,2π]，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故α
4可取的所有值为
2π
5，
9π
10，
7π5，19π10.
答案：2π
5，
9π
10，
7π
5，
19π
10
4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－765
360
≤k<－
45
360，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．
2．确定kα，α
k (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或α
k 的范围；
(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或α
k 的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．
考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，
则⎩⎨⎧
2r ＋l ＝6，1
2rl ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝2，l ＝2.
从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝2
2＝1.
答案：4或1
2．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.
解析：设扇形的半径为r cm ，如图．
由sin 60°＝6
r ，得r ＝4 3 cm ，
∴l＝|α|·r＝2π
3×43＝
83
3
π cm.
答案：83 3
π
3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
解：设圆心角是θ，半径是r，
则2r＋rθ＝40.
又S＝1
2
θr2＝
1
2r(40－2r)
＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当r＝10时，S max＝100，
此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝1
2lr＝
1
2
αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．
考点三三角函数的定义(常考常新型考点——多角探明)
[命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以填空题的形式出现．
常见的命题角度有：
(1)三角函数值的符号判定；
(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值； (3)由三角函数的定义求参数值．
[题点全练]
角度一： 三角函数值的符号判定
1．若sin αtan α＜0，且cos α
tan α＜0，则角α是第________象限角．
解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α
＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． 答案：三
角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4
5，则cos α
＝________.
解析：因为A 点纵坐标y A ＝4
5，且A 点在第二象限，又因为圆O
为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－3
5，由三角函数的定义可得cos α
＝－35
.
答案：－3
5
3．(2019·苏州调研)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝
2m
4
，则m ＝________. 解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，
∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m
r ＝2m 4＝m 22，
∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 答案：±5
角度三：由三角函数的定义求参数值
4．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－3
5，则x 的值
为________．
解析：由三角函数的定义知tan α＝－6x ，于是－6x ＝－3
5，解得x
＝10.
答案：10
5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案：(－2,3]
[方法归纳]
应用三角函数定义的3种求法
(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中
的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.
解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．
答案：80π
2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧
tan α＜0，
cos α＜0，
所以角α的终边
在第二象限．
答案：二
3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
解析：∵2 010°＝67π6＝12π－5π
6
，
∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6
. 答案：－
5π
6
4．(2019·南京六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第________象限．
解析：因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°) ＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)
＝－cos 35°＜0，
所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限． 答案：三
5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5
x ，则tan α＝________.
解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝1
5x ＜0，
即x ＜0.又cos α＝15x ＝x
x 2＋16.
解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－4
3.
答案：－4
3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．
解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.
即为－16×2π＝－π
3.
答案：－π
3
2．(2019·宿迁模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于________．
解析：因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝y
r ＝－cos 2.
答案：－cos 2
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．
解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，
∴α＝ 3. 答案： 3
4．(1)已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________． (2)已知扇形周长为40，若扇形面积最大，则圆心角为________． 解析：(1)设圆心角为θ，半径为r ，
则⎩⎨⎧
2r ＋rθ＝10，12θ·
r 2
＝4，解得⎩⎨⎧
r ＝4，
θ＝1
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝1，
θ＝8.
(舍去) 故扇形圆心角为1
2
.
(2)设圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋rθ＝40.
S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )
＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100. 此时圆心角θ＝2. 答案：(1)1
2
(2)2
5．(2019·镇江调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.
解析：取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，
可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝－35
.
答案：－3
5
6．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．
解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．
答案：(－1，3)
8．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－2
2
.根据三
角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，5π4.
答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫
π4，5π4
9．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3
cos α
的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，
则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k ，
∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 k
k ＝10，
∴10sin α＋3
cos α
＝－310＋310＝0；
当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝3
10，
1
cos α
＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3
cos α＝310－310＝0.
综上，10sin α＋3
cos α＝0.
10．已知扇形AOB 的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，
(1)由题意可得⎩⎨⎧
2r ＋l ＝8，
1
2lr ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝1，l ＝6，
∴α＝l r ＝23
或α＝l
r ＝6.
(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝1
4l ·2r
≤14⎝
⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫822
＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝l
r ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝1
2r (8－2r )＝r (4－r )
＝－(r －2)2＋4≤4，
当且仅当r ＝2，即α＝l
r ＝2时， 扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A
2是第________象限角．
解析：因为A 是第三象限角， 所以2k π＋π<A <2k π＋3π
2(k ∈Z)，
所以k π＋π2<A 2<k π＋3π
4(k ∈Z)，
所以A
2是第二、四象限角．
又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2， 所以sin A
2<0，
所以A
2是第四象限角．
答案：四
2．已知角α＝2k π－π
5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y
＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|
的值为________． 解析：由α＝2k π－π
5
(k ∈Z)及终边相同的概念知，
角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，
所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：－1
3．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α
2
终边所在的象限；
(3)试判断 tan α2sin α2cos α
2
的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，
其集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪⎪
2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2，k ∈Z .
(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4，k ∈Z ，
故α
2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α
2＜0，
sin α2＞0, cos α
2＜0，
所以tan α2 sin α2 cos α
2
取正号；
当α2在第四象限时， tan α
2＜0， sin α2＜0, cos α
2
＞0， 所以 tan α2sin α2cos α
2也取正号．
因此，tan α2sin α2cos α
2
取正号．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝
sin αcos α
. 2．诱导公式
1．(教材习题改编)若α是第二象限角，tan α＝－8
15，则sin α＝
________.
解析：由题意得⎩⎨⎧
sin 2α＋cos 2
α＝1，
sin αcos α＝－8
15
，解得sin α＝±8
17
.因为α为
第二象限角，所以sin α>0，所以sin α＝
817
. 答案：8
17
2．(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋θ－sin (π－θ)＝
________.
解析：原式＝cos θ－(－cos θ)
cos θ－sin θ
＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2. 答案：－2
3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θ
sin θ的值是________．
解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1
cos θsin θ＝2.
答案：2
4．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－31π4＝________；
(2)tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－26π3＝________.
答案：(1)2
2
(2) 3
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]
1．已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－1
3，则tan α＝________.
解析：由 sin(π－α)＝－13，得 sin α＝－1
3.因为α在第四象限，
所以 cos α＝1－sin 2α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132＝223，
则 tan α＝sin αcos α＝－1
3223＝－2
4
.
答案：－
24
2．若sin(3π＋θ)＝1
3，则sin θ＝________.
答案：－1
3
3．已知cos(π＋α)＝－1
2，且α是第四象限角，计算：
(1)sin(2π－α)＝________；
(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)
(n ∈Z)＝______.
解析：因为cos(π＋α)＝－1
2，
所以－cos α＝－12，cos α＝1
2.
又因为α是第四象限角， 所以sin α＝－1－cos 2
α＝－3
2
.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32
. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)
＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)cos (－2n π＋α)
＝
sin (π＋α)＋sin (－π＋α)
sin αcos α
＝－sin α－sin (π－α)sin αcos α＝－2sin αsin αcos α
＝－2cos α＝－4.
答案：(1)3
2
(2)－4
考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．sin 210°cos 120°的值为________．
解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.
答案：1
4
2．(2019·淮安模拟)已知角α终边上一点M 的坐标为(3，1)，
则cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
α＋π3的值是________．
解析：由题可知，cos α＝32，sin α＝1
2，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－
3
2sin α＝0. 答案：0
3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.
解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－33.
答案：－3
3
4．(易错题)设f (α)＝
2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)
1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－23π6＝________.
解析：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α
＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)
＝1tan α
， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23π6＝1
tan ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
－23π6＝
1
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－4π＋π6＝
1
tan π6
＝ 3.
答案： 3
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．
考点二 同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——纵引横联)
已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5
.求tan α的值．
[解] 法一：
联立方程⎩⎨
⎧
sin α＋cos α＝15， ①
sin 2α＋cos 2α＝1， ②
由①得cos α＝1
5－sin α，
将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＝45
，cos α＝－3
5，
∴tan α＝－43
.
∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
152，
即1＋2sin αcos α＝1
25，
∴2sin αcos α＝－24
25
，
∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝49
25
.
∵sin αcos α＝－12
25＜0且0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝7
5.
由
⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝15，
sin α－cos α＝7
5，得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＝45，
cos α＝－3
5
，
∴tan α＝－43
.
[类题通法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
θ)2∓2sin θcos θ
和积 转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[越变越明]
[变式一] 保持母题条件不变， 求：(1)sin α－4cos α
5sin α＋2cos α；
(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题可知：tan α＝－4
3.
(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43＋2＝87.
(2)sin 2
α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α
＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α
＝169－
831＋
169
＝－825.
[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．
解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋3
3－tan α＝5，即tan α＝2.
法二：由sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，
∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.
[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－1
3
， 求 sin α＋cos α的值．
解：由tan α＝－13，得sin α＝ －1
3cos α，
将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，
得109cos 2α＝1，∴cos 2
α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，
故 sin α＋cos α＝－10
5
. [破译玄机]
1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．
2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，
A 2＋
B 2＋
C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫A ＋B 2＝sin C
2等． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－3
5，则cos(－α)＝________.
解析：因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝4
5，即cos(－
α)＝4
5
.
答案：4
5
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2，则θ＝________.
解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π
3.
答案：π
3
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－π4＝－1
3.
答案：－1
3
4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.
解析：∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－3
5，
∴tan α＝sin αcos α＝－4
3.
答案：－4
3
5．如果sin(π＋A )＝1
2，那么cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－A 的值是________．
解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝1
2
.
∴cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝1
2.
答案：1
2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·南师附中检测)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的
非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，则sin(π－α)的值是________．
解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，所以sin α＝255，sin(π－α)＝sin α＝255
.
答案：25
5
2．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tan
α＝－2，sin α·cos α＝
tan α1＋tan 2α
＝－2
5.
答案：－25
3．(2019·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°
sin (－190°)＝________.
解析：原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)
－sin (180°＋10°)＝
cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)
＝
cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos 10°－3
2sin 10°
sin 10°
＝ 3.
答案： 3
4．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－31π3＝________.
解析：∵f (α)＝sin α·cos α
－cos αtan α
＝－cos α，
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3
＝－cos π3＝－1
2.
答案：－1
2
5．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π
2，则cos α－sin α＝__________.
解析：∵
5π4<α<3π
2
， ∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2
＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝3
4
，
∴cos α－sin α＝32
. 答案：3
2
6．化简：
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αcos (π＋α)
＋
sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋αsin (π＋α)
＝________.
解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)
－sin α
＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0
7．sin 4π3·cos 5π
6
·tan 错误!＝________.
解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π－π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－tan π3
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.
答案：－
33
4
8．(2019·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6＋θ＋
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－θ＝________. 解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－θ＝0. 答案：0
9．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4，x ∈R ，且f (0)＝1. (1)求A 的值；
(2)若f (α)＝－1
5
，α是第二象限角，求cos α.
解：(1)由f (0)＝1，得A sin π4＝1，A ×2
2
＝1，∴A ＝ 2.
(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4＝sin x ＋cos x .
由f (α)＝－15，得sin α＋cos α＝－1
5
，
∴sin α＝－cos α－15，即sin 2
α＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－cos α－152，
∴1－cos 2
α＝cos 2
α＋25cos α＋1
25
，
cos 2
α＋15cos α－12
25
＝0，
解得cos α＝35或cos α＝－4
5.
∵α是第二象限角，∴cos α<0， ∴cos α＝－4
5
.
10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α
5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.
解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1
6.
(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14
sin 2α
＝85
.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.
解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912
. 答案：
91
2
2．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________.
解析：因为f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2×2 013＋α＋1＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＋1＝cos α＋1＝2， 所以cos α＝1.
所以f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2×2 015＋α＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＋1 ＝－cos α＋1＝0. 答案：0
3．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．
(1)化简f (x )的表达式；
(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫503π1 007的值． 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]
＝cos 2x ·sin 2(－x )
cos 2(π－x )
＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2
＝sin 2x ；
当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }
＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]
＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )
cos 2(π－x )
＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2
＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .
(2)由(1)得f ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2 014＋f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
503π1 007
＝sin 2π2 014＋sin 21 006π
2 014
＝sin 2
π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－π2 014 ＝sin 2
π2 014＋cos 2π2 014
＝1. 第三节 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，
⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，
⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k ∈Z).
1．(教材习题改编)函数y ＝2sin x －1的定义域为
______________________．
解析：由2sin x －1≥0，得sin x ≥1
2
，
则x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)
2．(教材习题改编)使函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －2π3取最小值时x 的集合为________________．
解析：要使函数取最小值，则2x －2π
3＝2k π＋π(k ∈Z)，知x ＝k π
＋5π
6
，k ∈Z. 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π＋5π
6，k ∈Z
3．(教材习题改编)函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6≤x ≤2π3的值域是________． 解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π
6时，函数取到最小值1；x
＝π
2
时，函数取到最大值2. 答案：[1,2]
4．函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为______________． 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠k π＋π
3，k ∈Z 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]
1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2上的最小值为________．
解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2，
得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，3π4，
所以sin 错误!∈错误!，
故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －π4
在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－2
2. 答案：－
2
2
2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－2x 的单调减区间为____________．
解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －π4得
2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z)，
解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z)．
所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案：⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)
3．函数y ＝lg sin(cos x )的定义域为________． 解析：由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z)． 又－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.
故所求定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .
答案：错误!
考点一 三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为
________．
解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3
2，1.
∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3
答案：2－ 3
2．(易错题)函数y ＝1
tan x －1
的定义域为______________．
解析：要使函数有意义，必须有⎩⎨⎧
tan x －1≠0，
x ≠π
2＋kx ，k ∈Z ，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.
故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π4＋k π且x ≠π
2＋k π，k ∈Z .
答案：⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎪⎭
⎬⎫
x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z
3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
sin 2x >0，
9－x 2
≥0， 得⎩⎨
⎧
k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，
－3≤x ≤3.
∴－3≤x <－π2或0<x <π
2
.
∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2
的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2 4．(易错题)求函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝
⎛⎭⎪⎫
|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π
4
，
∴t ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.
∴y ＝－t 2
＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122＋5
4，
∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－2
2时，y min ＝1－22.
∴函数y ＝cos 2
x ＋sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫|x |≤π4的最大值为5
4，最小值为1－22.
[谨记通法]
1．三角函数定义域的2种求法
(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．
(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． 2．三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．
考点二 三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
写出下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4，x ∈[0，π]；
(2)f (x )＝|tan x |；
(3)f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. 解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－
3π4＋2k π≤x ≤π
4
＋2k π，k ∈Z. 又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，
递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是错误!，k ∈Z ，减区间是错误!，k ∈Z.
(3)当2k π－π≤2x －π
6
≤2k π(k ∈Z)，
即k π－5π12≤x ≤k π＋π
12
，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．
因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，π2. [由题悟法]
求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单
调区间．
[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
[即时应用]
1．(2019·宿迁调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．
解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin 错误!的单调增区间即可．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z.
故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． 答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π3上单调递增，在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，
∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω
时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π3上单调递增，
在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝3
2.
答案：3
2
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明)
[命题分析]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
常见的命题角度有： (1)三角函数的周期；
(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用．
[题点全练]
角度一：三角函数的周期
1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－2x 的最小正周期为________．
解析：T ＝2π
|－2|
＝π. 答案：π
2．(2019·南京调研)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
kx ＋π3的最小正周期T 满
足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．
解析：由题意知，1＜π
k ＜2， 即k ＜π＜2k .
又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或3
角度二：求三角函数的对称轴或对称中心
3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数
f (x )的对称轴为________．
解析：由题意得，2π
ω＝π，ω＝2，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4.
令2x ＋π4＝π
2
＋k π(k ∈Z)，
得x ＝π8＋k π
2(k ∈Z)即为函数f (x )的对称轴．
答案：x ＝π8＋k π
2
(k ∈Z)
4．函数y ＝3tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π3的对称中心是________．
解析：2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，所以x ＝k π4－π
6
，k ∈Z.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π4－π6，0(k ∈Z)
角度三：三角函数对称性的应用
5．(2019·南京四校联考)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一
个对称中心是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，0，则ω的最小值为________．
解析：πω6＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.
答案：2
6.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f 错误!的值为________．
解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是1
2，根据题意可设f (x )＝
12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12
cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12
cos π6＝34.
答案：34
[方法归纳]
函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.
(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6，k ∈
Z.
答案：错误!(k ∈Z)
2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2
＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x －542＋98.
故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]
3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π
4
所得线
段长为π
4，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值是________．
解析：由题意知，T ＝π4，所以πω＝π
4
，所以ω＝4，
所以f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝0.
答案：0
4．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，
2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π
4
(k ∈Z)．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) 5．函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4的最大值为________，此时x ＝______. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π
4＝π＋2k π，即x ＝
3π
4
＋2k π(k ∈Z)． 答案：5
3π
4
＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标
1．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是
_______________________________.
解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π
8
(k ∈Z)．
∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π2－π8，0，k ∈Z
2．(2019·苏锡常镇四市调研)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx
＋φ)⎝
⎛⎭
⎪⎫
ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数
f (x )的单调增区间为________．
解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
ωx ＋φ＋π3⎝
⎛⎭⎪⎫
ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，
φ＝－π
3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得
函数f (x )的单调增区间为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)
3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2内是减函数，则ω的取值范
围是________．
解析：因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内是减函数，所以ω<0且π
|ω|≥π，
则－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
4．若函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间
的距离为π
2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，则
x 0＝________.
解析：由题意得T 2＝π
2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6
＝k π(k ∈Z)，x 0＝
k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π
12. 答案：5π
12
5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，2π3上是
单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝________.
解析：由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π3－π6＝π，所以ω＝2，
此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫
|φ|＜π2，所以φ＝π
6，所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f 错误!＝sin 错误!＝cos 错误!＝3
2
. 答案：
32
6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6的值为________． 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－x ， ∴x ＝π
6
是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．。