2023年中考数学常见几何模型(全国通用版)：对角互补模型(从全等到相似)(解析版)

专题04对角互补模型（从全等到相似）
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.对角互补模型（全等模型）
【模型解读】
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等.
【常见模型及结论】
1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB .
则可得到如下几个结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③2COD COE S S
.2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB .
则可以得到如下几个结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝
OC ，③212ODCE OCD COE S S S OC .3）全等型—2 和1802 ：如图3，已知∠AOB ＝2 ，∠DCE ＝1802 ，OC 平分∠AOB .
则可以得到以下结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝2OC ·cos ，③2sin cos OCD COE S S OC .
1．
（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．
（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120 ，∠ABC ＝∠ADC ＝90 ．求证：AD ＋AB ＝AC ；
（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120 ，∠ABC ＋∠ADC ＝180 ．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AB 于F ，构造AAS 证明△CFB △CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系；
②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据
111222
ABCD S AD CE AB CF AD AB CE 四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，
∵∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，
，
∴∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∴AD ＝1122
AC AB AC ，＝．∴AD ＋AB ＝AC ，（2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AB 于F ．
∵AC 平分∠BAD ，∴CF ＝CE ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∴∠FBC ＝∠EDC ，又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∴△CFB △CED AAS ，∴FB ＝DE ，
∴AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，
在四边形AFCE 中，由⑴题知：AE ＋AF ＝AC ，∴AD ＋AB ＝AC ；
②在Rt △ACE 中，∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∴∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，
又∵AC ＝10，∴CE ＝A sin 10sin 60o DAC ＝＝∵CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，
∴ 111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE 四边形＝＋＝＋＝111022
AC CE ＝．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．
2．
（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD ，120ABC ，60ADC ，2AB ，1BC ，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接BD ，由于AD CD ，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60 ，得到'DAB △，则'BDB △的形状是．
（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．
（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60 的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．
在NMD △和NPD 中，
MD PD MDN PDN DN DN
∴ NMD NPD SAS △△，
∴MN PN NC CP NC BM ，
∴AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC ．
故AMN 的周长为4．
【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键．
3．
（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】（1）如图1，120MAN ，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ，求证：AB AD AC ．
【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB 绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．
【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB ，P 为BC 边的中点，120MPN ，将MPN 绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM 时，请直接写出AN 的长．由（1）可得AE AF AC ，CE CF ，
同理可得EM FN
模型2.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1.对角互补相似如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，点O 是AB 的中点，若∠EOF ＝90º，则.
2.相似型—90º
如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，∠BOC ＝.结论：CE ＝CD ·.
1．
（2022·黑龙江·鸡西九年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ABC ，6AB ，8BC ，在Rt MPN △中，90MPN ，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当2PE PF 时，AP 的长为（）
A ．4
B ．6
C ．245
D ．256
∵∠PQB ＝∠QBR ＝∠BRP ＝90°∴∠QPR ＝90°＝∠MPN ，∴∠QPE ∴△QPE ∽△RPF ，∴PQ PE PR PF
∵PQ //BC ，∴△AQP ∽△ABC ，
∴AQ ：QP ：AP ＝AB ：BC ：AC ＝2．
（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ABC ，E 是边AC 上一点，且BE BC ，过点A 作BE 的垂线，交BE 的延长线于点D ，求证：ADE ABC △△∽．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C =∠BEC ，又由对顶角相等可证得∠AED =∠C ，再由∠D =∠ABC =90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵BE BC ∴∠C =∠BEC ，
∵∠BEC =∠AED ，∴∠AED =∠C ，∵AD ⊥BD ，∴∠D =90°，
∵90ABC ，∴∠D =∠ABC ，∴ADE ABC △△∽．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2022·江苏·九年级专题练习）如下图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正
．
方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G
（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其
EF
他条件不变，若AB a=、BC b
，求
EG的值．
是矩形
课后专项训练：
1．
（2022·山东济南·一模）在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．
(1)如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；
(2)如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，探索BM 、NC 、MN 之间的数量关系如何？并给出证明．【答案】(1)BM NC MN ；(2)成立，MN BM NC ；(3)NC BM MN ，见解析
【分析】（1）由DM ＝DN ，∠MDN ＝60°可得△MDN 是等边三角形，得到Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质即可求解；
（2）在CN 的延长线上截取CM 1＝BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，得到∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°，从而得到△MDN ≌△M 1DN （SAS ），即可求证；
（3）在CN 上截取CM 1＝BM ，连接DM 1，可证得△MDN ≌△M 1DN ，即可求证．
（1）解：BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC ＝MN ．
∵DM ＝DN ，∠MDN ＝60°，∴△MDN 是等边三角形，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝60°，
∵BD ＝CD ，∠BDC ＝120°，∴∠BDC ＝∠DCB ＝30°，
∴∠MBD ＝∠NCD ＝90°，在Rt △BDM 和Rt △CDN 中，
DM DN DB DC
，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM ＝∠CDN ＝30°，BM ＝CN ，∴DM ＝2BM ，DN ＝2CN ，
∴MN ＝2BM ＝2CN ＝BM +CN ，故答案为：BM +NC ＝MN ；
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1（SAS），
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC；
（3）NC−BM=MN，理由如下：
证明：在CN上截取CM1＝BM，连接MN，DM1
由（2）得，△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN（SAS），
∴MN＝M1N，∴NC﹣BM＝MN．
【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形．2．（2022·山东德州·九年级期中）【发现与证明】
的一个顶点，如果两个正方形的边长都等如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A B C O
绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值．
于a，那么正方形A B C O
（1）请你写出这个定值，并证明你的结论．
AC ，求四【应用迁移】（2）如图，四边形ABCD中，AB AD
，90
BAD BCD
o，连接AC．若8
边形ABCD的面积．
（2）如图，作AM BC 交BC 于M 、AN AMB AND 90 ∵BAD BCD 3．
（2022·山西吕梁·九年级期末）如图，已知DCE 与AOB ，OC 平分AOB ．
(1)如图1，DCE 与AOB 的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：
解：CD CE ．
理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ，交 O B 于点 F ，则90OCF ，
…
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
(3)若120AOB ，60DCE ．
①如图3，DCE 与AOB 的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段
O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．
②如图4，
DCE 的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE 的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．
，交OB，垂足分别为 M，N，∴CMD
，
12360
，
180
90
，
，12360
，，∴12180
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE ∴△COD ≌△CFE （ASA ）∴CD=CE ，OD=EF
∴OE=OF+EF=OC+OD 即OE-OD=OC
在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC .
如图，以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点
∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°∴△COG 为等边三角形∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE ∴△CGD ≌△COE （ASA ）
∴CD=CE ，OE=DG ∴OD=OG+DG=OC+OE 即OD-OE=OC
【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.4．
（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知60AOB ，在AOB 的角平分线OM 上有一点C ，将一个120 角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与射线,OA OB 相交于点,D E .
（1）如图1，当DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，请猜想 OD OE 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当DCE 绕点C 旋转到点D 位于OA 的反向延长线上时，求线段,OD OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
）
5．（2022·吉林白城·九年级期末）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE；
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
6．
（2022·湖北武汉·中考真题）已知CD 是ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，AD m ，BD n ，ADE 与BDF 的面积之和为S ．
(1)填空：当90ACB ，DE AC ，DF BC 时，
①如图1，若45B ，m n _____________，S _____________；
②如图2，若60B ，m n _____________，S _____________；
(2)如图3，当90ACB EDF 时，探究S 与m 、n 的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当60ACB ，120EDF ，6m ，4n 时，请直接写出S 的大小．
【答案】(1)①25；②4；S =12
mn (3)S =【分析】（1）①先证四边形DECF 为正方形，再证△ABC 为等腰直角三角形，根据CD 平分∠ACB ，得出CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,然后利用三角函数求出BF=BD cos45°=5，DF =BD sin45°=5，AE =AD cos45°=5即可；②先证四边形DECF 为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A =90°-∠B =30°，利用30°直角三角
形先证求出DE
=1122
AD ，利用三角函数求出AE =ADcos 30°=6，DF =DE
=BF =DF tan30°=2，BD =DF ÷sin60°=4即可；
（2）过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，先证四边形DGCH 为正方形，再证△DFG ≌△DEH （ASA ）与△DBG ≌△DIH （SAS ），然后证明
∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°即可；
（3）过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ，先证明△DQF ≌△DPE ，△DBQ ≌△DRP ，再证△DBF ≌△DRE ，求出∠ADR =∠ADE +∠BDF =180°-∠FDE =60°即可．
(1)解：①∵90ACB ，DE AC ，DF BC ，CD 是ABC 的角平分线，
∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，
∵45B ，∴∠A =90°-∠B =45°=∠B ，∴△ABC 为等腰直角三角形，
∵CD 平分∠ACB ，∴CD ⊥AB ，且AD =BD =m ,
∵m ∴BD =n
=∴BF =BDcos 45°=5，DF =BDsin 45°=5，AE =ADcos 45°=5，ED =DF =5，
∴S =1155552522
ADE BDF S S
；故答案为25；②∵90ACB ，DE AC ，DF BC ，CD 是ABC 的角平分线，
∴四边形DECF 为矩形，DE =DF ，∴四边形DECF 为正方形，
∵60B ，∴∠A =90°-∠B =30°，
∴DE
=1122
AD AE =AD cos30°=6，DF =DE
=∵∠BDF =90°-∠B =30°，∴BF =DF tan30°=2，∴BD =DF ÷sin60°=4，∴BD =n =4，
∴S
=116222
ADE BDF S S 4
；(2)解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，DG ⊥BC 于G ，在HC 上截取HI =BG ，连接DI ，
∴∠DHC =∠DGC =∠GCH =90°，∴四边形DGCH 为矩形，
∵CD 是ABC 的角平分线，DH ⊥AC ，DG ⊥BC ，∴DG =DH ，
∴四边形DGCH 为正方形，∴∠GDH =90°，
∵90EDF ，∴∠FDG +∠GDE =∠GDE +∠EDH =90°，
∴∠FDG =∠EDH ，在△DFG 和△DEH 中，
FDG EDH DG DH DGF DHE
，∴△DFG ≌△DEH （ASA ）∴FG =EH ，在△DBG 和△DIH 中，
DG DH DGB DHI BG IH
，∴△DBG ≌△DIH （SAS ），∴∠B =∠DIH ，DB =DI =n ，∵∠DIH +∠A =∠B +∠A =90°，∴∠IDA =180°-∠A -∠DIH =90°，∴S △ADI =
1122AD DI mn ，∴S =12
ADE BDF ADE HDI ADI S S S S S mn
；(3)过点D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ，在PC 上截取PR =QB ，连接DR ，过点A 作AS ⊥DR 于S ，∵CD 是ABC 的角平分线，DP ⊥AC ，DQ ⊥BC ，∴DP =DQ ，
∵∠ACB=60°∴∠QDP =120°，∵120EDF ，∴∠FDQ +∠FDP =∠FDP +∠EDP =120°，∴∠FDQ =∠EDP ，在△DFQ 和△DEP 中，
FDQ EDP DQ DP DQF DPE
，∴△DFQ ≌△DEP （ASA ）∴DF =DE ，∠QDF =∠PDE ，在△DBQ 和△DRP 中，DQ DP DQB DPR BQ RP
，∴△DBQ ≌△DRP （SAS ），∴∠BDQ =∠RDP ，DB =DR ，∴∠BDF =∠BDQ +∠FDQ =∠RDP +∠EDP =∠RDE ，
∵DB =DE ，DB =DR ，∴△DBF ≌△DRE ，∴∠
ADE
+∠BDF =180°-∠FDE =60°，
∴S =S △ADR =111sin 6064222AS DR AD DR 【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键．
7．（2022·河南·模拟预测）在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 中点，∠EDF 两边分别交线段AB 于点E ，
交线段AC 于点F ，且∠EDF +∠BAC ＝180°（1）如图1，当∠EDF ＝90°时，求证：BE ＝AF ；（2）如图2，当∠EDF ＝60°时，求证：AE +AF ＝AD ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF 并延长EF 至点G ，使FG ＝EF ，连接CG ，若BE ＝5，CF ＝4，求CG
的长度．
（3）作EH ⊥BC 于
H ，FM ⊥BC 于M ，GN ⊥BC 于
N ，则EH ∥FM ∥GN ，由（
2）得：AE ＋AF ＝AD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠ACB ＝30°，AD ⊥BC ，∠
ADB ＝∠ADC ＝90°，由直角三角形的性质得出
AD ＝12
AB ，BD ＝CD ，
EH ＝12BE ＝52，FM
＝12CF ＝2，BH
CM ＝
求出AB ＝6，得出AD ＝3，BD ＝CD ＝∴DH ＝BD−BH ，DM ＝CD−CM ，求出HM ＝DH ＋DM ，证出FM 是梯形EHNG 的中位线，HM ＝MN ，得出2FM ＝EH ＋GN ，MN ，CN 90°，
BE+
8．（2022·江西·吉水县第三中学九年级期末）【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC ＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】（1）在旋转过程中，①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ的数量关系是（）
A、DP＜DQ
B、DP＝DQ
C、DP＞DQ
D、无法确定
②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为（直接写出结论，不必证明）
（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．
M
9．（2022·山东·宁阳县实验中学九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交边CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若3AB ，6BC ，则EF
EG
______．
．
10．（2022·广东·佛山九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN 中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
【答案】3
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，
11．
（2021·湖北随州·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，O 为AB 的中点，OD 平分AOC 交AC 于点G ，OD OA ，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD ，CD ，则
OG BC
的值为______；若CE CF ，则CF OF 的值为______．
∴∵CE CF ∴CEF 又∵CFE BFO ∴∵AOD COD △△∴AD ∴OBF CBE ∴ 12．
（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在Rt ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 在线段AB 上（点O 不与点A ，B 重合），且OB ＝kOA ，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转90°，交射线CB 于点N ．（1）如图1，当k ＝1时，判断线段OM 与ON 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k ＞1时，判断线段OM 与ON 的数量关系（用含k 的式子表示），并证明；
（3）点P 在射线BC 上，若∠BON ＝15°，PN ＝kAM （k ≠1），且
CM AC ＜12
，请直接写出NC PC 的值（用含k 的式子表示）．
OE。