高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式自我小测苏教版选修4-5(2021学年)

高中数学5.4 几个著名的不等式5．4.1 柯西不等式自我小测苏教版选修4-5
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5。

4．１柯西不等式
自我小测
1函数ｙ＝错误!＋2错误!的最大值是____＿___．
２设ａ=(１,0，-2)，b=（ｘ，y,z),若ｘ２+ｙ２+ｚ２=16，则a·b的最大值为________.
3设ａ，b，c∈R＋，且a+b+c＝1,则错误!+错误!＋错误!的最大值是__＿＿＿_＿＿.
4已知a错误!＋a错误!+…＋ａ错误!＝1，x错误!+x错误!+…＋x错误!=1,则a1x1＋a2x２＋…+a n x n 的最大值是____＿＿_＿．
５n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是__＿＿____．
６若２x+３y=１,求4x2＋9y２的最小值,并求最小值点．
７设a1＞a2＞…>a n>ａn＋1,求证:(a１－ａn+１)错误!≥n2.
8设a＝(－2,１，２)，｜b|=6,则a·b的最小值为______＿＿，此时ｂ＝＿＿______.
９设x，y，z∈R,2ｘ+２y＋z+8=０，则(x-1）2＋(ｙ＋2）2＋（z－３）2的最小值为＿_____＿_．
10已知θ为锐角，a，b∈R+,求证:(a+b）2≤错误!+错误!.
1１已知函数f（x）=(x-a)2＋(x-b）2+（x-c）2+＼f（(a+b＋c）2,3)(a，b,c∈R）的最小值为m，若a-b+2ｃ=3,求m的最小值.
ﻬ
参考答案
１.＼r(5）解析：根据柯西不等式,知
y=1×＼r（ｘ-５)+2×错误!
≤错误!×错误!
=＼r(5).
当且仅当＼ｒ（6－x)＝2错误!。

即ｘ＝错误!时等号成立.
2．4错误!解析:∵a＝(1,0，-2),b＝(ｘ,y,ｚ),
∴ａ·b=x-2ｚ。

由柯西不等式，得
[12＋０2＋（－2)２]（x2+y2+ｚ2)≥(x＋0－２ｚ）2。

当且仅当存在实数k＝±错误!,使b＝k a时等号成立.
∴5×16≥（x-2z)2.
∴|ｘ-２z｜≤４5．
∴－４错误!≤x－2z≤4错误!,
即-4错误!≤a·b≤4错误!.
∴a·ｂ的最大值为4错误!.
３. 3 解析:由柯西不等式得［（ａ）２+(b)2＋(错误!）2］(12＋12＋1２)≥（错误!＋错误!＋＼r(c))2,
∴（ａ+b＋错误!)2≤3×1＝３。

当且仅当ａ＝ｂ=c=错误!时等号成立.
∴＼ｒ(ａ）+＼r（ｂ）＋错误!的最大值为错误!．
4.1 解析:(a1ｘ1+ａ２x2+…+a nｘn)２≤(a错误!+a错误!+…+a错误!)（x错误!+ｘ错误!＋…＋x 错误!）=１×１＝1。

当且仅当存在一个数k,使ａi＝kx i(ｉ=1,2,…,n)时等号成立.
∴ａ1x1+a2x２＋…+aｎx n的最大值是1．
5.n２解析:设n个正数为x1，x2，…，x n,
由柯西不等式,得
（x1+x2＋…＋ｘn）错误!
≥（x１×错误!+错误!×错误!＋…＋错误!×错误!)２=(1＋1+…+1)2=ｎ2。

当且仅当存在实数k，使得xｉ=ｋ·＼ｆ(1,xｉ）（i＝1，2，…,n)时等号成立．
6．解：由柯西不等式,有
(４x2＋９ｙ2)（12＋１2)≥(2x+３y)2=１.
∴４x２+９ｙ2≥＼f(1，2).
当且仅当2x=3y时取等号.
由错误!
得错误!
于是４ｘ2＋9ｙ２的最小值为错误!，最小值点为(错误!,错误!).
７.证明：∵ａ1>ａ２>…>aｎ＞a n+1，
∴ａ1-a２＞0，a2-a３＞0,…，aｎ－aｎ＋1>０,
根据柯西不等式有:（a１-ａ２+ａ2－a3+…+a n－a n＋1)·错误!≥错误!
错误!２=n2。

∴原不等式成立．
8.-18 (４,-2，-4) 解析：根据柯西不等式的向量形式，有｜a·ｂ｜≤|a｜·｜b|.∴｜a·ｂ|≤1８。

当且仅当存在实数k,使a＝kｂ时,等号成立．
∴－１8≤a·b≤18.
∴a·ｂ的最小值为-18。

此时b=-2ａ＝(４,－２,－４)．
9.9 解析:２x+２ｙ+z＋8＝0⇒2(x－１）+2（ｙ＋2)＋(z-3）=-9.
考虑以下两组向量:
ｕ＝（2,２,1),v=(ｘ-１,ｙ＋2,z-3),
由柯西不等式，得(u·v）2≤|v｜2·｜ｕ｜2；
即[２(x－1)＋2（y+2)+(z－3)］2≤［(x－1）2+(ｙ+2)2＋(z－３）2]·(22+22+12).
当且仅当x＝-１,y=－4，z=2时等号成立.
所以(ｘ－1）2＋(y＋２)２＋(z-３）2≥－92
9
＝9.
10.证明:设m＝错误!，ｎ=（cosθ，sｉｎθ)．则|ａ+b｜＝错误!
=|m·n|≤|m｜|n｜
＝错误!·错误!
=错误!,
∴（ａ+b)2≤
a2
cos2θ
＋错误!。

１1．解：因为f（x)＝（ｘ-a)2+（x－b)２+（x-c）2＋＼f(a＋b＋c２，3)＝3x2-２(ａ+b＋c）ｘ+a２＋b2+ｃ2+错误!
=3错误!2+a2＋b２＋c２。

所以x=a＋b＋c
3
时,f(x)取最小值a2+ｂ2+c2,即m＝a2+b2＋c2。

因为ａ－b＋2c=3。

由柯西不等式，得
[１2＋(－1)２+22]·(ａ２+b2+c2)≥(a-ｂ+2c)2=9,
所以m=a2＋b２＋c2≥错误!=错误!，
当且仅当错误!=错误!＝错误!,即a＝错误!,b＝－错误!,c=１时等号成立．所以m的最小值为错误!。

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