培养初中几何模型意识的策略——以瓜豆原理为例

教学视点•
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【参考文献】
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[3]陈霞.考题探究模型解读,深入赏析教学反思--以"一线三
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[4]徐春凌.分析模型教学对于初中几何数学教学的意义[J].数
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[5]毛小霞.培养模型意识,开拓数学思想--以一道中考几何压
轴综合题的教学为例[J].数学大世界(中旬),2021,(01):88-89.
[作者简介：罗长英，贵州省六盘水市第二十中学。

]
文/
罗长英
培养初中几何模型意识的策略
——以瓜豆原理为例摘要 在初中阶段几何是培养学生推理能力的良好素材，因此研究学生的几何推理能力具有一定的价值。

本文以瓜豆原理为例，谈谈如何培养初中几何模型意识。

关键词 初中;几何模型意识;瓜豆原理
通过分析初中北师大版的数学教材可以发现，七年级学习
一些简单的几何概念及图形操作与计算；八年级开始学习图形
的性质、定理及其运用，开始步入更难内容的几何学习；九年
级内容的综合性更强、几何推理难度更大。

教师在教学中要教
会学生能从一些复杂的几何图形中抽象出简单的几何图形，培
养学生的几何直观能力。

本文以瓜豆原理为例分享如何培养学
生的几何意识。

1 案例分享——瓜豆原理之直线型（第一课时）
教学目标：(a).从图形变换角度观察，理解定点、主动点
和从动点三者之间的变换关系，感受动点变换规律与路径之间
的联系。

(b)运用瓜豆原理解决运动问题中一类与运动路径有
关的问题。

(c).体会化归、数形结合、图形的变换等数学思想。

教学重点：运用瓜豆原理解决运动问题中一类与运动路径有关
的问题；理解定点主动点和从动点三者之间的变换关系，感受
动点变换规律与路径之间的联系。

教学方法：合作探究、小组
讨论。

教具准备：多媒体、导学单。

1.1 教学过程
活动1：已知，线段AB中，A为定点，点C为AB上的一点，
且满足AC：BC=1：2，从变换的角度来看，点C如何由点B
变换而来？结论：点C是由点B以定点A为位似中心位似比
为1：2变换为来，并且在运动过程中始终保持AC：BC=1：
2，这里将点A称为定点（变换点），点B称为主动点，点C
称为从动点。

活动2：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP
中点Q。

当点P在BC上运动时，Q点运动路径是什么？点Q
的运动路径长和点P的运动路径长有何数量关系？在图中画出
点Q的运动路径？如果点Q不是AP的中点，上面的结论还
成立吗？
分析：先看动图结果，当P点轨迹是直线时，Q点轨迹
也是一条直线。

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，
垂足分别为M、N：在运动过程中，因为AP=2AQ，所以
AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值。

活动3：如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°
且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q 点运动路径？
分析：动图先看结果，当AP与AQ夹角固定且AP：AQ
为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的
时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q
点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线。

想一想：在上面的活动中，你有什么发现？
网络上的数学大神就给他取名，此名出自成语“种瓜得瓜，
种豆得豆”。

种圆得圆，种线得线，谓之“瓜豆原理”。

在这
一类动点问题当中，一个动点随着另一个动点的运动活动，从
动点和主动点的运动路径是一致的，在数学上把它称为主从联
动问题。

结论：点Q的运动轨迹和点P的运动轨迹是一致的；主
动点的路径长：从动点的路劲长=主动长：从动长。

1.2 模型总结
条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ
是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ
是定值）。

结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当
∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点
轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP：
AQ=BC：MN）。

2 教学设计有效性分析
为了确保每个学生都能掌握“瓜豆原理”的性质特点，笔
者依据布鲁姆掌握学习理论和布鲁纳发现学习理论，设计了课
堂教学内容、课下强化训练、形成性测试、自学材料和矫正策略。

在教学中，告诉学生学习目标和掌握学习的原理，目的是激发
学生的内在动机，让学生对自己能够掌握学习内容有信心从而
主动进行学习，在模型特征和性质学习的过程中给予学生适宜
的学习时间、布置适宜难度的任务、营造互助小组的学习氛围，
让学生都能参与进课堂中。

通过几何画板动态演示模型的变化
过程、改变模型的颜色、小结来实现模型的内化，让学生掌握
模型中的不变量，认识理解基本原理，这样才能将所学的知识
迁移到新的问题中去；通过观察模型特征、变化过程、颜色变
化强化了学生的直观推理能力；通过学生读题、发表自己的观
点、小结强化描述推理能力;通过学案上性质探究的思考与填
写、小结、应用综合训练学生综合几何推理能力。

整个教学过
程充分发挥了教师的主导地位和学生的主体地位，且教师也创
造性地组织教学活动，让不同水平的学生都能得到发展。