幂级数的概念与幂级数的收敛半径

幂级数
函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性
幂级数的运算
和函数的性质
函数项级数、幂级数的概念
给定一个定义在区间I 上的函数列
1()u x ,2()u x ,
,()n u x ,
,
表达式
1
2
3
1
()()()()()n
n n u x u x u x u x u x ∞
==+++
++
∑
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.
例 21
sin n nx n ∞
=∑ 2
2sin 2sin sin 2x nx
x n
=++++
对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数
1
2
01
()()()()n
n n u x u x u x u x ∞
==++
++
∑
若0
1()n
n u x ∞
=∑收敛, 称点0
x 是1
()n
n u x ∞
=∑的收敛点;
若
1()n
n u x ∞
=∑发散, 称点0
x 是1
()n
n u x ∞
=∑的发散点.
函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,
发散点的全体称为它的发散域.
例 函数项级数2
1sin n nx
n ∞
=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n
≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞
=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.
在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,
通常称()s x 为函数项级数的和函数.
和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成
12()()()()n s x u x u x u x =++
++
.
级数
1
()n n u x ∞
=∑的前n
项的部分和()n s x
在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞
=.
记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞
=.
特殊地,形如
2
0102000
()
()()()n
n
n
n n a x x a a x x a x x a x x ∞
=-=+-+-+
+-+
∑
的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,
函数项级数的余项
2
0120
n
n
n n n a x
a a x a x a x ∞
==+++
++
∑,
其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,
称作幂级数的系数.
t x x =-
x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?
幂级数的收敛性
1.幂级数收敛域的结构
例 考察幂级数0n n x
∞==∑21n x x x +++
++的收敛性. 解 当||1x <时, 0
11n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.
定理(阿贝尔(Abel)定理)
如果级数0n n
n a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,
则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n n
n a x ∞=∑当0x x =时发散,
则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.
证 先设0x 是
0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.
00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 0
0n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞
=∑绝对收敛.
反之, 假设幂级数0n n
n a x ∞=∑当0x x =时发散,
而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n n
n a x ∞=∑在0x x =处收敛,
则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;
若幂级数0n n
n a x ∞=∑在0x x =处发散,
则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:
收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.
推论 如果幂级数0n n
n a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,
也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得
当||x R < 时,幂级数绝对收敛;
当||x R >时，幂级数发散;
当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.
正数R 通常称作幂级数的收敛半径.
例如, 幂级数0n n x
∞=∑的收敛半径为1R =.
开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;
若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。