【步步高】2018版高考数学(浙江·文理通用)大一轮教师文档讲义：第九章9.5椭圆

1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a<c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20
a2＋y20
b2<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20
a2＋y20
b2＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20
a2＋y20
b2>1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ )
1．(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．12 答案 C 解析 由题意知
⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧
m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8.
2．(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9 答案 B
解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.
3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34 答案 B
解析 如图，由题意得，|BF |＝a ，|OF |＝c ，|OB |＝b ，|OD |＝14×2b ＝1
2
b .
在Rt △FOB 中，|OF |×|OB |＝|BF |×|OD |，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝1
2，
故选B.
4．(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 2
4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点
的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭
⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，
所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭
⎫152，－1.
题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
答案 A
解析 由条件知|PM |＝|PF |.
∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________． 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1
(2)x 29＋y 2
3
＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，
∴32a 2＋02
b
2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2
＝1.
若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32
b 2＝1，即b ＝3.
又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 2
9＝1.
∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9＝1.
(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．
则⎩
⎪⎨⎪
⎧
6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧
m ＝19
，
n ＝1
3.
∴所求椭圆方程为x 29＋y 2
3
＝1.
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→
.
若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3
解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2
， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)
＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又∵21
PF F S △＝12r 1r 2
＝b 2＝9，∴b ＝3. 引申探究
1．在例3中增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解 由原题得b 2＝a 2－c 2＝9， 又2a ＋2c ＝18，
所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为x 225＋y 2
9
＝1.
2．在例3中条件“PF 1→⊥PF 2→
”、“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“2
1
PF F S △＝33”，结果如何？
解 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝|F 1F 2|2，
即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝4
3
b 2，
又因为21PF F S △＝1
2|PF 1||PF 2|·sin 60°
＝12×43b 2×32＝3
3b 2＝33， 所以b ＝3.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要
注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．
(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．
(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆
在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 2
48＝1 B.x 248＋y 2
64＝1 C.x 248－y 2
64
＝1 D.x 264＋y 2
48
＝1 (2)(2017·大庆质检)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP
→
＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 (1)D (2)D
解析 (1)设圆M 的半径为r ，
则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，
故所求的轨迹方程为x 264＋y 2
48
＝1.
(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4， ∴21
F PF S △＝1
2mn ＝1.
题型二 椭圆的几何性质
例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→
|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2
(2)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分
别为椭圆C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 (1)C (2)A
解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→
＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→
＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20
＝22－2y 20＋y 20
＝2－y 20＋2.
∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，
∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→
|取最小值2.故选C.
(2)设M (－c ，m )，则E
⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c
，a ＝3c ，e ＝1
3.
思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．
(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右
焦点，直线y ＝b
2
与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案
63
解析 联立方程组⎩⎨⎧
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，y ＝b
2，
解得B ，C 两点坐标为
B ⎝
⎛⎭⎫－
32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32
a ，
b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －
c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，
又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →
＝0，代入坐标可得 c 2
－34a 2＋b 2
4
＝0，①
又因为b 2＝a 2－c 2.
代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝
23＝63
.
题型三 直线与椭圆
例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e
|F A |，
其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；
(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率． 解 (1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e
|F A |，
即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．
设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3＝1，
y ＝k (x －2)
消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－6
4k 2＋3
.
由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k
4k 2＋3.
由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，
有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k
2
4k 2＋3，12k 4k 2＋3.
由BF ⊥HF ，得BF →·FH →
＝0， 所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H
4k 2＋3＝0，
解得y H ＝9－4k 2
12k
.
因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k
2
12k
.
设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 2
12k 消去y ，
解得x M ＝20k 2＋9
12(k 2＋1)
.
在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，
即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2
M ，
化简得x M ＝1，即20k 2＋9
12(k 2＋1)＝1，
解得k ＝－
64或k ＝64
. 所以直线l 的斜率为－
64或6
4
. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝
(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝
(1＋1
k
2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
(2016·温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)经过点(1，
62)，且离心率等于2
2.点A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，M ，N 是椭圆C 上不同于顶点的两点，且△OMN 的面积等于 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点A 作AP ∥OM 交椭圆C 于点P ，求证：BP ∥ON .
(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
1
a 2＋(6
2)2b 2
＝1，e ＝c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，b 2＝2.
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)证明 方法一 设直线OM ，ON 的方程为y ＝k OM x ，y ＝k ON x ， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k OM
x ，x 24＋y 22
＝1，
解得M (
21＋2k 2OM ，2k OM
1＋2k 2OM
)， 同理可得N (－
21＋2k 2ON ，－2k ON
1＋2k 2ON
)，
作MM ′⊥x 轴，NN ′⊥x 轴，M ′，N ′为垂足， S △OMN ＝S 梯形MM ′N ′N －S △OMM ′－S △ONN ′ ＝1
2[(y M ＋y N )(x M －x N )－x M y M ＋x N y N ] ＝1
2
(x M y N －x N y M ) ＝12(－4k ON 1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON ＋4k OM
1＋2k 2OM ·1＋2k 2ON ) ＝
2(k OM －k ON )
1＋2k 2
OM ·1＋2k 2ON
，
已知S △OMN ＝2，化简可得k OM k ON ＝－12
.
设P (x P ，y P )，则4－x 2
P ＝2y 2P ，
又已知k AP ＝k OM ，所以要证k BP ＝k ON ，只要证明k AP k BP ＝－1
2
即可．
而k AP k BP ＝y P x P ＋2·y P x P －2＝y 2P
x 2P －4＝－12，
所以可得BP ∥ON .
(M ，N 在y 轴同侧同理可得)
方法二 设直线AP 的方程为y ＝k OM (x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝4，
得(2k 2OM ＋1)x 2＋8k 2OM x ＋8k 2
OM －4＝0，
设P (x P ，y P )，则它的两个根为－2和x P ， 可得x P ＝2－4k 2OM 2k 2OM ＋1，y P ＝4k OM 2k 2OM ＋1，
从而k BP ＝4k OM
2k 2OM ＋1
2－4k 2OM
2k 2OM ＋1
－2
＝－12k OM .
所以只需证－12k OM ＝k ON ，即k OM k ON ＝－1
2，
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
若直线MN 的斜率不存在，易得x 1＝x 2＝±2， 从而可得k OM k ON ＝－1
2.
若直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 24＋y 2
2
＝1，
得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－4km
2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－42k 2＋1，
Δ＝8(4k 2＋2－m 2)>0，
S △OMN ＝1
2
|m |·|x 1－x 2|
＝1
2|m |·8(4k 2＋2－m 2)2k 2＋1
＝2， 化简得m 4－(4k 2＋2)m 2＋(2k 2＋1)2＝0，得m 2＝2k 2＋1，
k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m
2
x 1x 2
＝m 2－4k 22m 2－4＝2k 2＋1－4k 22(2k 2
＋1)－4＝－1
2. 所以可得BP ∥ON .
7．高考中求椭圆的离心率问题
考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
典例1 (2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，
直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，
则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎦
⎤0，
32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡
⎭
⎫
32，1
D.⎣⎡⎭⎫34，1
解析 左焦点F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.
设M (0，b )，则4b 5≥4
5，∴1≤b ＜2.
离心率e ＝c
a
＝
c 2a 2
＝ a 2－b 2
a 2
＝ 4－b 24∈⎝
⎛⎦⎤0，3
2，故选A.
答案 A
典例2 (2016·浙江)如图，设椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a ＞1)．
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；
(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2
＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， [3分] 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2
，
因此|AM |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k
2·1＋k 2
. [6分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.
记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1>0，k 2＞0，k 1≠k 2.
[8分]
由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 22
1＋a 2k 2
2
， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 2
21＋a 2k 22
，
所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 2
2]＝0. [10分]
由k 1≠k 2，k 1>0，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，
因此⎝⎛⎭⎫1k 21
＋1⎝⎛⎭
⎫1k 22
＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① [12分] 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22. [14分]
所以离心率的取值范围是(0，
2
2
]. [15分]
1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝1
2，且它的一个焦点与抛物线y 2
＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2
3＝1 B.x 28＋y 2
6＝1 C.x 22
＋y 2
＝1 D.x 24
＋y 2
＝1
答案 A
解析 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，
所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2
＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.
2．已知椭圆x 29＋y 24－k ＝1的离心率为4
5，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－1925或21 D.19
25或－21
答案 D
解析 当9>4－k >0，即4>k >－5时， a ＝3，c 2＝9－(4－k )＝5＋k ，
∴
5＋k 3＝45，解得k ＝1925
. 当9<4－k ，即k <－5时，a ＝4－k ，c 2＝－k －5，
∴
－k －54－k ＝4
5
，解得k ＝－21，故选D. 3．(2016·青岛模拟)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C
上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－4
9，则椭圆C 的离心率为( )
A.49
B.23
C.59
D.53 答案 D
解析 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a
＝－49，
化简得x 2
0a 2＋y 20
4a
29
＝1，
则b 2a 2＝4
9
，e ＝ 1－(b a )2＝
1－49＝5
3
，故选D. 4．(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，1
2)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且
弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x －y －4＝0 B ．9x ＋y －5＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋y －5＝0 答案 B
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29
＋x 2
＝1上，
所以⎩⎨⎧
y 219
＋x 21＝1，y
22
9＋x 22
＝1，
两式相减得y 21－y 229
＋x 2
1－x 22＝0， 得
(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
9
＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，
又弦AB 被点P (12，1
2)平分，
所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式得y 1－y 2
9＋x 1－x 2＝0，
得
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9(x －12)， 即9x ＋y －5＝0，故选B.
5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭
圆长轴长的最小值为( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2
答案 D
解析 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，
所以12
×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝2 2
(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.
*6.(2016·济南质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )
A ．(0，12
) B ．(0，22) C ．(12
，1) D ．(22
，1) 答案 D
解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，
设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A 2→＝(a －x ，－y )，
∵PO →·P A 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0，
∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a .
将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1， 整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解，
令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，
∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，
如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2) ＝a2(a4－4a2b2＋4b4)
＝a2(a2－2b2)2≥0，
∴对称轴满足0<－a3
2(b2－a2)
<a，
即0<a3
2(a2－b2)
<a，
∴a2
2c2<1，∴
c2
a2>
1
2.
又0<c
a<1，∴
2
2<
c
a<1，故选D.
7．若椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x
2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
答案x2
20＋
y2
16＝1
解析设切点坐标为(m，n)，
则n－1
m－2
·
n
m＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.
∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4，
∴a 2＝b 2＋c 2＝20，
∴椭圆方程为x 220＋y 216
＝1. 8．已知P 为椭圆x 225＋y 216
＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.
9．(2016·石家庄模拟)椭圆x 24
＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．
答案 (－263，263
) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，
则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )．
∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，
即x 2－3＋y 2<0，①
∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83
. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263
)．
10．(2016·长沙模拟)已知过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．
答案 255 解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a )．
设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →，
∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－23a ，y 0＝a 3，
代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15
， ∴e ＝ 1－b 2a 2＝255
. 11．(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52
|BF |.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．
解 (1)由已知|AB |＝
52|BF |， 即a 2＋b 2＝
52a ，
4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，
∴e ＝c a ＝32
. (2)由(1)知a 2＝4b 2
，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2
b 2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2
b 2＝1
消去y ， 得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，
即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.
Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717
. x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217
. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，
即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，
5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0.
从而5(16－4b 2)17－12817
＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717
. ∴椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. 12．(2016·湖州调测)已知点C (x 0，y 0)是椭圆x 22＋y 2＝1上的动点，以C 为圆心的圆过点F (1,0)．
(1)若圆C 与y 轴相切，求实数x 0的值；
(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．
解 (1)当圆C 与y 轴相切时，|x 0|＝(x 0－1)2＋y 20，
又因为点C 在椭圆上，所以x 202
＋y 20＝1， 解得x 0＝－2±22，
因为－2≤x 0≤2，所以x 0＝－2＋2 2.
(2)圆C 的方程是
(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20，
令x ＝0，y 2－2y 0y ＋2x 0－1＝0，
设A (0，y 1)，B (0，y 2)，则y 1＋y 2＝2y 0，y 1·y 2＝2x 0－1，
由Δ＝4y 20－4(2x 0－1)>0及y 20＝1－12x 20
， 得－2－22<x 0<－2＋22，
又由点C 在椭圆上，得－2≤x 0≤2，
所以－2≤x 0<－2＋22，
|F A |·|FB |＝y 21＋1·y 22＋1＝(y 1y 2)2＋(y 21＋y 22)＋1
＝(2x 0－1)2＋4y 20－2(2x 0－1)＋1＝2x 20－8x 0＋8＝2(2－x 0)．
所以|F A |·|FB |∈(42－4,2＋22]．
13．(2017·宁波调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．
(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72
，求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a 2
)， 于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac 2b
)． 所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b
≤0， 整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，
所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2.
所以e 2
＝c 2a 2≥12，即22≤e <1. (2)当e ＝22
时，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2
c
2＝1， 设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，
所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12
. 当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72
，得c ＝2； 当0<c <
22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2， 即12(2c )2－2c ＋c 2＝72
，
解得c ＝2＋304
，不合题意，舍去． 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 2
4＝1.。