(解析版)辽宁省凌源二中2017-2018学年高二下学期期末

凌源二高中2017-2018高二下期期末考试
数学试题卷（理科）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.1.已知集合，,则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【详解】B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；
∴A∩B={﹣1，0}．
故选：B．
【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．
2.2.“”是“函数在区间内单调递减”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也必要条件【答案】A
【解析】
【分析】
利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．
【详解】函数f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减，
∴2≤a．
∴“a＞3”是“函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减”的充分非必要条件．故选：A．
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
3.3.下列说法中正确的是（）
A. “” 是“函数是奇函数” 的充要条件
B. 若，则
C. 若为假命题，则均为假命题
D. “若，则” 的否命题是“若，则”
【答案】D
【解析】
【分析】
利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误.
【详解】对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；
对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；
对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；
对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，属于基础题．
4.4.函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数，
∴，
解得，
即x≤﹣1，
∴f（x）的定义域为{x|x≤﹣1}．
故选：C．
【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
5.5.二项式的展开式中的系数为，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．
【详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：T r+1=（ax）r，令r=5，则T6=××a5x5．∵x5的系数为，∴×a5=，解得a=1．
则x2dx=x2dx==．
故选：A．
【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加
6.6.已知是周期为4的偶函数，当时，则
（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可．【详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=，
则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=3．故选：D．
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力．7.7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是
A. B. 3
C. D.
【答案】C
【解析】
作出三棱锥P−ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD.
由三视图可知PA⊥平面ABC，
BD=AD=1,CD=PA=2,∴. ∴，
.
∴三棱锥P−ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大.
故选C.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
8.8.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
车流量
（微克）
根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（）
参考公式：，；参考数据：，；
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．
【详解】由题意，b==0.72，
a=84﹣0.72×108=6.24，
∴=0.72x+6.24，
故选：B．
【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；
④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
9.9.某联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法总数是．（）
A. 72
B. 120
C. 144
D. 168
【答案】B
【解析】
分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N=+=120.种。

选B.
视频
10.10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为( )
A. B. 4 C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．
【详解】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，
令P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①
由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③
①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④
将④代入③，得a12+a22=2c2，
∴4e12+e22==++≥+2=．
故选：A．
【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
11.11.设函数，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，再通过换元法解题．
【详解】∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），
∴f（x）为R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，
令t=log2x，所以，=﹣t，
则不等式f（log2x）+f（）≥2可化为：f（t）+f（﹣t）≥2，
即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，
又∵f（1）=2+=1，
且f（x）在[0，+∞）上单调递减，在R上为偶函数，
∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，
解得，x∈[，2]，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题．
12.12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由f（x）=1﹣f（1﹣x），得 f（1）=1，确定f（）=，利用f（x）是奇函数，即可得出结论．
【详解】由f（x）=1﹣f（1﹣x），得 f（1）=1，
令x=，则f（）=，
∵当x∈[0，1]时，2f（）=f（x），
∴f（）=f（x），
即f（）=f（1）=，
f（）=f（）=14，
f（）=f（）=14，
∵＜＜，
∵对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））≥0
∴f（）=，
同理f（）=…=f（﹣）=f（）=．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣）+f（﹣）+…+f（﹣）+f（﹣）
=﹣[f（﹣）+f（）+…+f（）+f（）]=﹣，
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.13.若幂函数的图像过点，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将点代入解析式，求出a，再求f（4）即可．
【详解】由题意f（2）=，所以a=﹣，所以f（x）=，所以f（4）=故答案为：
【点睛】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．
14.14.在中，，，，则的面积等于__________. 【答案】
【解析】
【分析】
通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，
即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣3=0，又c＞0，
∴c=3．
S△ABC=AB•BCsinB=BC•h，
可知S△ABC=×3×2×=．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
15.15.若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得当x=时，4x =log2a x，由此求得a的值．
【详解】∵关于x的不等式4x＜log2a x（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，
则当x=时，4x =log2a x，即 2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
16.16.已知函数，若，则实数的取值范围为
__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=t，根据否定，转化为关于t的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围即可．
【详解】作出函数f（x）的图象如图：
设f（a）=f（b）=t，
则0＜t≤，
∵a＜b，∴a≤1，b＞﹣1，
则f（a）=e a=t，f（b）=2b﹣1=t，
则a=lnt，b=（t+1），
则a﹣2b=lnt﹣t﹣1，
设g（t）=lnt﹣t﹣1，0＜t≤，
函数的导数g′（t）=﹣1=，
则当0＜t≤时g′（t）＞0，
此时函数g（t）为增函数，
∴g（t）≤g（）=ln﹣﹣1=﹣﹣2，
即实数a﹣2b的取值范围为（﹣∞，﹣﹣2]，
故答案为：（﹣∞，﹣﹣2]．
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，涉及函数与方程的关系，利用换元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强．
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.17.已知函数，函数，记集合. （I）求集合；
（II）当时，求函数的值域.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由g（x）≤0得42x﹣5•22x+1+16≤0，然后利用换元法解一元二次不等式即可得答案；（Ⅱ）化简函数f（x），然后利用换元法求解即可得答案．
【详解】解：（I）即，，令，即有
得，，，解得；
（II），令
则，二次函数的对称轴，
【点睛】本题考查了指、对数不等式的解法，考查了会用换元法解决数学问题，属于中档题．18.18.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，
，
（I）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2）数学期望为.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求
出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：(Ⅰ)为奇函数；为偶函数；为偶函数；为奇函数;为偶函数；为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为，故所求概率.
(Ⅱ)可取；;
；故的分布列为
.
的数学期望为.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
19.19.如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面⊥平面．
（I）求证：；
（II）若点是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求线段的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（I）推导出AM⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．
（II）以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD内过O作OA的垂线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE的长．
【详解】（I）证明：∵长方形中，，
为的中点，，故
∴∵∴.
（II）建立如图所示的直角坐标系，
则
平面的一个法向量，设
，设平面AME的一个法向量为
取，得得，而
则，得，解得
因为，故.
【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20.20.已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于
两点，且.
（I）求直线的方程；
（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使
？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】
（I）解法一：直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用弦长公式即可得出．解法二：利用焦半径公式可得．
（II） II）设l2的方程为与椭圆联立：．假设存在点T（t，0）符合要求，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根与系数的关系即可得出．
【详解】解：（I）设的方程为与椭圆联立得
直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，
，
解得，的方程为或；
解2：由焦半径公式有，解得.
（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，
假设存在点符合要求，设，韦达定理：
，点在直线上有
，即，
，
解得.
【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法
存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
21.21.设函数，，(其中).
（I）当时,求函数的极值;
（II）求证：存在，使得在内恒成立，且方程在内有唯一解.
【答案】（1）；；（2）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，求出f（x）的单调区间，求出满足条件的m 的范围，从而证出结论即可．
【详解】解：（I）当时, ,
令,得,,当变化时,的变化如下表:
由表可知,；；
（II）设，，，若要有解，需有单减区间，则要有解
，由，，记为函数的导数
则，当时单增，令，由，得，需考察与区间的关系：
①当时，，，在上，单增，
故单增，，无解；
②当，时，，，因为单增，在上，在上
当时，
（i）若，即时，，单增，，无解；
（ii）若，即，，在上，，单减；，
，在区间上有唯一解，记为；在上，单增，，当时，故在区间上有唯一解，记为，则在上，在
上，在上，当时，取得最小值，此时
若要恒成立且有唯一解，当且仅当，即，由有
联立两式解得.综上，当时，
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、函数恒成立问题，是一道综合题．
22.22.已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（I）求直线与圆的交点的极坐标；
（II）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值．
【答案】（1）,.（2）
【解析】
【分析】
（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．
（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．
【详解】解：（I）直线:,圆:
联立方程组,解得或
对应的极坐标分别为,.
（II）设,则,
当时,取得最大值.
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.23.已知函数，不等式的解集为.
（I）求实数m的值；
（II）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）3（2）或
【解析】
【分析】
（I）问题转化为5﹣m＜x＜m+1，从而得到5﹣m=2且m+1=4，基础即可；（II）问题转化为|x
﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．
【详解】解：（I）由已知得，得，即
（II）得恒成立
（当且仅当时取到等号）
解得或，故的取值范围为或
【点睛】恒成立问题的解决方法:(1)f(x)<m恒成立，须有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，须有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解．。