定积分的例题分析及解法

定积分的例题分析及解法
本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用 一、定积分的概念
1．定积分是下列和式的极限
xi i f dx x f i n
b
a
∆∑==→⎰
)(lim )(1
0ξλ
其中{}xi n
i ∆=≤≤1max λ
因此，定积分是一个数，它依赖于被积函数)(x f 和积分区间〔a,b 〕 定积分与积分变量用什么字母无关：
⎰⎰
=b
a
b
a
dt t f dx x f )()(
定积分的几何意义是曲边梯形的面积（当被积函数0)(≥x f 时）。

2．定积分的性质 （1）线性性质
[]⎰⎰⎰+=+b
a
b a
b
a
dx x g k dx x f k dx x g k x f k
)()()()(2121
（2） ⎰⎰⎰=-=a
a
a
b
b
a dx x f dx x f dx x f 0)(,)()( （3） ⎰⎰⎰
+=b
c
c
a
b
a dx x f dx x f dx x f )()()(
（4）若),()(x g x f ≥则
⎰⎰
≥b
a
b
a
dx x g dx x f )()(
（5）积分中值定理：设)(x f 在〔a,b 〕上连续，则在〔a,b 〕上至少存在一点ξ，使下式成立
),()()(a b f dx x b
a
-=⎰ξ其中].[b a ∈ξ。

（6）估值定理：若)(x f 在〔a,b 〕上可积，且M x f m ≤≤)(，则有不等式
⎰-≤≤-b
a
a b M dx x f a b m )()()(
（7）若函数)(x f 在〔a,b 〕上连续，则有
⎰=x
a x f dt t f dx
d )()( 3．广义积分。

二、定积分的计算 1．牛顿—莱布尼茨公式：
⎰-=b
a
a F
b F dx x f )()()(
2．换元法：注意，在换元的同时不要忘记换积分限 3．分部积分法：
⎰⎰
-=b
a
b
a
b a x du x x x u x d x u )()()()()()(υυυ
4．定积分的近似计算：梯形，抛物线法。

三、定积分的应用
基本方法是：（1）代公式；（2）微元法
1．平面图形的面积
（1）直角坐标系。

注意选择合适的积分变量x 或y 可使计算简化 （2）参数方程 （3）极坐标系 2．旋转体体积 3．平面曲线弧长
4．物量应用：变速直线运动的路程（已知速度函数)(t υ，变力作功，引力，液体侧压力。

注：定积分的几何应用可直接代公式，要求记住面积、体积和弧长的公式，定积分的物理应用强调用微元法，解题的一般步骤是：
（1）建立坐标系； （2）取典型微段； （3）写出微元表示式；
（4）写出所求量的定积分表达式，并进行计算。

一、疑难解析
在这一章中，我们接触到了微积分学中的又一个重要的基本概念：定积分，与前面所学过的函数在某点连续或可导等概念相比，定积分的概念显得要复杂些，定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质，当然定积分的概念也是利用极限的概念来建立的，这与连续、可导的概念相类似，但它是另一种形式的极限，因此它的很多性质可以由极限的性质而得来，另一方面需要特别指出的是，与前一章不定积分的概念相比，这两者只一定之差，却有着本质的不同，前者讨论的是函数的原函数，而后者是一个和式的极限。

这一点在学习过程 不要使之相混淆。

当然，微积分基本定理（即牛顿—莱布尼茨公式）反映了定积分与不定积分的内在联系，或者说微分学与积分学的内容在联系。

（一）关于定积分的定义 在定积分的定义中，极限
xi i f i n
∆∑=→)(lim 1
0ξλ
在存在不依赖于对[]b a ,区间的分法，也不依赖于i ξ在小区间[]i i x x ,1-上的取法),2,1(，n i ⋯=，这两点非常重要，不可缺少，换言之，若由于〔a,b 〕的分割法不同而使极限
xi i f i n
∆∑=→)(lim 1
0ξλ
取不同，则)(x f 在[]b a ,上是不可积的：若上述极限由i ξ的取法不同而取不同的值时，)(x f 在[]b a ,上同样不可积。

函数)(x f 在[]b a ,上可积的条件与)(x f 在[]b a ,上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即)(x f 在
[]b a ,上有以下关系。

可导⇒连续⇒可积
反之都不一定成立。

定积分
⎰
b
a
dx x f )(是一个数，当被积函数)(x f 及积分区间[]b a ,给定后，这个数便是确定的了，它除
了不依赖于定义中的区间分法和i ξ的取法外，也不依赖于符号
⎰
b
a
dx x f )(中的积分变量x ，即
⎰⎰=b
a
b
a dt t f dx x f )()(，因此，定积分记号中的积分变量可以用任何字母来表示，此外，对于定积分符号
⎰
b
a
dx x f )(意味着积分变量x 的变化范围是b x a ≤≤。

（二）有关定积分的性质
在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：
⎰⎰
-=b
a
a
b
dx x f dx x f )()(
⎰
=a
a dx x f 0)(
⎰-=b
a
a b dx 1
定积分关于积分区间的可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即
⎰⎰⎰
=+b
a
b c
c
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
当利用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分时，若被积函数是分段函数，就需用到这条性质，另外在解定积分的几何应用问题时，也要经常用到这一性质，要注意到在利用这个性质时，c 点并不一定在[]b a ,内部，可以有a c <，或者b c >，前提是只要被积函数在每个相应的区间上都是可积的。

由于定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质，所以不能用它来研究函数的局部性质，例如有两个在[]b a ,上可积的函数)(x f 和)(x g ，若
)()(x g x f > []),(b a x ∈
则由定积分的性质知道
⎰⎰
>b
a
b
a
dx x g dx x f )()(
反之，当
⎰⎰
>b
a
b
a
dx x g dx x f )()(
成立时，却不一定在[]b a ,上恒有).()(x g x f >例如，设,4
3
)(,1)(2
=
-=x g x x f 在[]1,1-上有 ⎰⎰--=-=1
121
12
1)(π
dx x dx x f ⎰
⎰
--=
-=1
1
21
12
1)(π
dx x dx x f
显然
⎰⎰
-->1
1
1
1
)()(dx x g dx x f
但我们注意到
)4
3(434947)43(g f ==<= 奇函数或偶函数在对称区间上的定积分的结论也是很有用的，但要求被积函数是奇函数或偶函数，积分区间的对称区间[]a a ,-，不过在解题时可以活用，例如
2
512)(x
x x f -+=
此函数既非奇函数也非偶函数，然而若设
2
22
5112)(,1)(x
x f x
x x f -=
-=
则)(1x f 是奇函数，)(2x f 是偶函数，且
)()()(21x f x f x f +=
利用定积分的线性性质及奇偶数在对称区间上的积分结果很容易计算出
dx x
dx x
x dx x
x 2
212
12
5
212
12
521
2
112
112
-+-=-+⎰⎰
⎰
-
-
-
dx x
2
210
114
0-+=⎰
3
2a r c s i n 42
10
π
==x
（三）关于变上限的定积分
若)(x f 在[]b a ,上连续，则变上限积分
⎰=Φx
a
dt t f x )()(
是[]b a ,上的一个可导函数，自变量是x ，且
)()(x f x =Φ'
同样可以考虑变下限的定积分，即
⎰=b
x
dt t f x G )()(
显然 ⎰⎰
'-='='x
b
b
x
dt t f dt t f x G ))(())((
)(
⎰
-='-=)())((
x f dt t f x b
有时我们可能还会遇到形式上更一般的变上限积分
⎰
=)
()()(x a
dt t f x g ϕ
同样可以求)(x g 的导数(在)(x ϕ可导的条件下)，就是先将)(x ϕ看做一个中间变量，再利用复合函数的求导法则求出)(x g 的导数：
)())(()(x x f x g ϕϕ'='
例如求极限
4
2
)1ln(lim
x dt t x x ⎰+→
利用洛必达法则有
原式)())1ln((lim
40
2
'
'
+=⎰→x dt t x x
[]3
2
42)1l n (lim x x
x x +=→
21
2
02
)1ln(lim 21x
x x
x +=→ 2
1
20
)1
l n (lim 21x x x +=→ e ln 21=
2
1= （四）关于牛顿—莱布尼茨公式
牛顿—莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中，而且在整个微积分学中都是一个很重要的结论，主要表面在以下方面：
1． 当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行：
若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则
⎰
-=b
a
a F
b F x f )()()(
因此这个公式揭示了定积分与不定积分之间的本质联系，这种本质联系还可由下列两个公式来阐明
⎰=)()(x f dx x f dx d
⎰=x
a
x f dt x f dx d )()(
2．由
⎰
=→=→∑=∆'∑=b
a
i n
i i i n
dF x x F dx x f )(lim )(lim )(1
01
0λλ
可知定积分与微分之间的本质联系。

还有一点要说明的是，虽然牛顿—莱布尼茨公式简化了定积分的计算，但某些函数的定积分却无法用这个公式来计算，例如下面的两个函数
2
)(x e x f =及x
x
x g sin )(=
都是连续函数（对于)(x g ，只需令1)0(=g 便成为连续函数），由于这两个函数的原函数都不是初等函数（后面的章节中可以看到这两个函数的原函数可表示为幂级数的形式），因此无法用牛顿—莱布尼茨公式来计算这两个函数在某个区间上的定积分。

（五）换元积分法的运用
定积分的换元法与不定积分换元法类似，差别在于：在定积分的换元积分法中，每进行一次变量替换，同时要将定积分的上下限作相应的改变，而在关于新积分变量的原函数求出后，不要将新变量解换成旧积分变量。

（六）定积分的应用
1．定积分的几何应用，记住面积、弧长和旋转体体积的计算公式。

对于面积问题，选择合适的积分变量，有时可简化计算；对于弧长问题，要先计算2
)(1y '+；对于旋转体体积问题，要分清是绕Ox 轴还是绕Oy 的轴旋转。

2．定积分的物理应用，一般使用微元法。

具体计算时按照下列四个步骤进行： （1）建立坐标系：确定所求的总体量Q 所在的区间[]b a ,：
（2）取微段：将[]b a ,区间划分为一些微段（小区间）之和，在微段x ∆上总体量Q 被划分为微量Q ∆； （3）表示微量：确定函数)(x f ，使得x x f Q ∆≈∆)( （4）用定积分表示总体量并计算：
∑∆x x f )(就是总体量Q 的近似值，取极限便可得到
⎰=b
a
dx x f Q )(；
这就是微元法的解题过程 （七）关于广义积分
广义积分是定积分的推广，以无穷积分为例，我们知道
⎰⎰
+∞
∞→=b
a
a
b dx x f dx x f )(lim )(
要记住
⎰
+∞
a
p
x dx
的收敛性。

在计算收敛性的广义积分时也要有类似于牛顿—莱布尼茨公式的计算式，即若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则
⎰
-+∞==+∞+∞)()()
()(a F F x F dx x f a
a
其中)(+∞F 表示极限)(lim b F b -∞
→，如果此极限存在，则广义积分收敛，且即可由此求出其值，如果此极限不存在，则广义积分发散。

在求广义积分的值时，也有与定积分相类似的换元各分法和分部积分法。

一、例题分析
例1 为下列各题选择正确答案： （1）
⎰
1
dx e x
与⎰1
02
dx e x 相比，有关系式（ ）
A ．⎰⎰<1
10
2
dx e dx e x x B ．⎰⎰>1
10
2
dx e dx e x
x
C ．⎰
⎰
=
1
2
1
02
)(dx e dx e x x D ．⎰⎰=1
10
2
)(dx e dx e x x x
（2）⎰=x a dt t t dx d sin （ ）
A ．t
t sin B ．a a sin C ．x cos D ．x x sin
（3）下列等式中正确的是（ ）
A ．⎰=b a x f dx x f dx
d )()( B ．C x f dx x f dx d
+=⎰)()( C ．⎰=x
a
x f dx x f dx d )()( D ．⎰=')()(x f dx x f
（4）
⎰
='b
a
x f )3(（ ）
A ．)()(a f b f -
B ．)3()3(a f b f -
C ．
[])3()3(3
1
a f
b f - D ．[])3()3(3a f b f - （5）设⎰
>=
b
b dx x f x I 0
23)0()(2，则（ ）
A ．⎰=4
)(21b dx x f I B ．⎰=20)(2b dx x xf I
C ．⎰=2
)(21b dx x f I D ．⎰=20)(b dx x xf I
解 （1）当10<<x 时，有x x <2。

由于指数函数x
e y =是单调增函数，因此当10<<x 时有
2
x x
e e >
由定积分的性质可知
dx e dx e x x ⎰
⎰>1
1
2
正确答案选择B 。

（2）由变上限定积分求导结果得到
x
x
dt t t dx d x sin sin 0⎰=
正确答案应选择D 。

（3）由不定积分的定义，导数运算，变上限积分的求导结果得
⎰=b
a dx x f dx d 0)( ⎰=)()(x f dx x f dx d
⎰=x
a
x f dx x f dx d )()( ⎰+='C x f dx x f )()(
正确答案应选择C 。

（4）由于)3())3(31(
x f x f '='，即)3(3
1
x f 是)3(x f '的一个原函数，故由牛顿—莱布尼茨公式得 b a
x f dx x f b a )3(31)3(='⎰ [])3()3(3
1
a f
b f -=
正确答案应选择C
（5）利用凑微分法
⎰⎰=b
b
a
x d x f x dx x f x
2222
3
)()()(2
⎰=2
2
)(b du u uf u x
定积分与表示积分变量的符号无关，即
⎰=2
)(b dx x xf I
正确答案应选择D
例2 给出下列各题的正确答案：
（1）=⎰→2
sin lim
x
tdt x
x 。

（2）设,2)5(=f ⎰
=,3)(5
dx x f 则⎰='5
)(dx x f x 。

（3）=-⎰
-2
2
24dx x 。

（4）
⎰
-=+-a
a
dx x x x )2sin 5cos ( 。

（5）如果0>b ，且
⎰
=b
xdx 1
,1ln 那么=b 。

解 （1）此极限是
型，利用洛必达法则得 )()sin (lim
sin lim 20
2
'
'=⎰⎰→→x tdt x
tdt x
x x x x x
x 2s i n lim
0→=
2
1
2s i n lim 210==→x x x
（2）由定积分的分部积分法，得
⎰
⎰='5
5
))(()(x f xd dx x f x
⎰
-
=5
)()(5
0dx x f x xf
7310=-=
（3）被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆周，由定积分的几何意义可知由此积分计算的是半圆的面积，故有
⎰
-==
-2
2
2
2
22
24ππdx x
（4）利用定积分的线性性质可得
原式⎰⎰⎰
---+-=
a a
a
a
a
a
dx xdx xdx x 2sin 5cos
而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0，再利用熟知的结论得
原式⎰⎰
--===
a
a
a
a
a ldx dx 422
（5）利用分部积分法得
⎰⎰
⋅-=b
b
dx x
x x x dx b
11
1
ln ln 1
1ln )1(ln +-=--=b b b b b b
由已知条件得
11ln =+-b b b
由此得
0ln =-b b b ，即b b b =ln
0≠b ，∴1ln =b ，即得e b =。

例3 利用定积义的性质证明不等式
⎰≤≤--
2
24
1222
e dx e e
x
x
分析 本例要解决的是定积分的估值问题，由估值定理有：若可积函数)(x f 的区间[]b a ,上满足
M x f m ≤≤)(，则
⎰-≤≤-)()()(a b M dx x f a b m b a
故本例的关键是确定被积函数x
x e
-2在[]2,0上的最大值及最小值。

由1>e 可知x
e 是单调增加的函数，因而只要求出x x y -=2
在[]2,0上的最大值1M ，及最小值1m ，则1
M e M =，1
m e
m =就是x
x e
-2在[]2,0上的最大值及最小值。

证明 x x y -=2
，因12-='x y
令0='y 得2
1=
x 由4
1)21(-
=y ，,2)2(,0)0(==y y 知x x y -=2
在[]2,0上的最大值和最小值分别为4
1
,211-==m M ，又因为x e y =是单调增加函数，因而在[]2,0上有
24
12
e e e
x
x
≤≤--
再利用定积分的性质便得出
22
41)02()02(2
e dx e e
x
x
-≤≤-⎰--
即 22
4
1222
e dx e e x
x
≤≤⎰--
例4 设
⎰
+-==x
e dt t t x g y 20
2)12()(
求)(x g '
分析 本例为变上限定积分求导，因变动的上限是自变量x 的函数，故要用到复合函数求导法则。

解 设x
e u 2=，则得到以u 为自变量的函数。

⎰+-=u
dt t t y 0
2)12(
根据变上限定积分的性质可得
122+-=u u du
dy
)()(u G x g =
于是
x e u u dx
du du dy x g 222)12()(+-=⋅=
' 从而得到
)12(2)(242+-='x x x e e e x g
小结 从本例可以知道，对于变上限的定积分
⎰=dt t f x g x a
)()()
(ϕ 其中)(x ϕ是可微函数，)(t f 可积，则)())(()(x x f x g ϕϕ'⋅='。

例5 用换元积分法计算下列定积分 （1）
⎰-++0
2222x x dx （2）dx x x
⎰-941 （3）
⎰
+3
1
ln 1e x
x dx （4）
dx x
e x
⎰
2
1
21
分析 有了牛顿—莱布尼茨公式，求定积分的问题实质上就归结为原函数的问题。

但定积分的积分法也有自身的特点，以换元积分法为例，“换元变限”就是这它的特点，解题时一定要注意，且积分限的变换必须上下对应。

用第一换元法求定积分时，也可以只凑微分不换元，因此不变积分限，总的原是则：若换元，须变限，只凑微分不变限。

解 （1）将被积函数整理成
1
)1(1
1)12(1221222++=+++=++x x x x x
令t x =+1，则dt dx =，当2-=x 时1-=t ，0=x 时1=t ，原定积分
⎰⎰--+++=++0220
221)1()1(22x x d x x dx 2
a r c t a n 111
12π
==+=
-⎰-
-t t dt 此题也可直接凑微分计算：
原积分⎰-+++=
221)1()1(x x d
[]⎰-+=
2
)1a r c t a n (x d
02
)1a r c t a n (-+=x
2
π=
（2）对原积分作变量替换，令t x =，则有2
t x =，tdt dx 2=，
3
2
94t
x
所以
dt t t dt t t t dx x x
⎰⎰⎰
-=-⋅=-322
329
4
12121
[]
dt t t
⎰
-+-=3
2
2
1
1
)1(2
⎰-+
+=3
2
)1
1
1(2dt t t t d t dt t ⎰⎰-++=32321
1
2)1(2
3
23
2
121)
1(2
-++=t n t 2ln 271ln 22ln 2916+=-+-=
（3）对原积分作变量替换，令,ln t x =则t
e x =，dt e dx t
=， 3
013
t e x
⎰⎰
+=+301
1ln 13
t
dt x x dx
e 对此积分继续作变量替换，令u t =+1，则有12
-=u t ，udu dt 2=，
1
20
3u
t
由此又得
⎰⎰⎰
===+222121123
du u udu t
dt 即 ⎰
=+3
1
2ln 1e x
x dx
此题也可以直接凑微分计算：
原积分x
x d e ln 1)
ln 1(31
++=
⎰
31
ln 12e x +=
224=-=
（4）对原积分作变量替换，令t x
=1 ，则dt t dx 21
-=， 2
112
1t x
得
e e e dt e x e
t t x
-==-=⎰⎰
12
121
12
1
21 此题也可以直凑微分计算：
原积分⎰
-
=2
1
1)1
(x
d e x
⎰
-
=2
11)(x
e d
21
1x
e
-=
e e -=
小结 1。

积分限是积分变量的变化范围，如果积分变量改变了，则积分限必须同时改变，如果积分变量不变（例如用凑微分法时）则积分限不变。

2．新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限，新积分变量的下限时应于旧积分变量的下限。

例如上例中不能因为
121
≤≤t 而写成⎰⎰-=2110
121
dt e dx x e t x。

例6 用分部积分法求下列各定积分：
（1）
⎰
20
2cos π
xdx e x （2）⎰e
e
dx x 1ln
分析 定积分的分部积分公式
⎰⎰-=b a
b
a
x du x x x u x d x u b
a
)()()()()()(υυυ
中的a
b
x x u )()(υ是一个常数，在计算过程中要随时确定下来，在计算第（2）小题时应先设法去掉被积函
数的绝对值号，这就需要根据绝对值的性质适当利用定积分对区间的可加性质。

解
（1）
⎰⎰
=20
220
2)(s i n c o s π
π
x d e x d x e x x
⎰-=20
20
22s i n s i n
π
π
x
x
x d e x e ⎰
-=2
2s i n 2π
π
x d x
e e x ⎰
--
=2
2)c o s (2π
π
x d e e x
⎰-+=2
20
22c o s 4c o s
2π
π
πx d x e x e e x x
⎰
--=2
2c o s 4
2π
π
x d x
e e x 从上述等式经移项和整理后得出
⎰
-=2
25
2
cos π
πe xdx e x
（2）首先去掉被积函数的绝对值号，因为11<<x e
时，0ln <x ；当e x <<1时，0ln >x ，利用
定积分的性质则得到
⎰
⎰⎰+=e
e
e
e
dx x dx x dx x 1111
ln ln ln
⎰
⎰
+-=e
e
xdx xdx 1
1
1ln ln
其中第二个积分为
dx x x
x x xdx e e
e
⎰⎰
+=111
1
ln ln
第一个积分为
⎰⎰+-=-111
11
ln ln e e e
e
dx x
x
x x xdx
)1
1(1e e -+-
= e
21-=
最后得出
e
dx x e
e
22ln 1-
=⎰
例7 设)(x f 是以T 为周期的周期函数，且)(x f 在任意有限区间上连续，试证：对任意的a ，等式
⎰
⎰
+=T
a a
T
dx x f dx x f )()(0
成立
分析 周期函数的特点，就是每隔一个周期而重复出现，如图，是一个周期函数的图形，从图中的几何意义可以直观看出结论是成立的。

那么如何从理论上给予证明呢？从图上看
⎰⎰⎰
+=T
a
a T
dx x f dx x f dx x f )()()(0
现在要证明
⎰
⎰
+=T
a T
a
b
dx x f dx x f )()(
设T x t +=，则)()(t f x f =，且0=x 时，T t =，a x =时，T a t +=，于是上式可得证。

证明 由定积分的区间可加性质可得
⎰⎰⎰+=T
a
a T
dx x f dx x f dx x f )()()(0
⎰
⎰⎰
+++=T
a T
T a
T
a a
dx x f dx x f dx x f )()()(
即要证明
⎰
⎰
+=T
a T
a
dx x f dx x f )()(0
对于定积分
⎰
a
dx x f 0
)(
交量替换T x t +=，则dt dx =，因而
⎰
⎰
++=T
a T
a
dt T t f dx x f )()(0
⎰
⎰
++==
T a T
T
a T
dx x f dt t f )()(
最后得到等式
⎰
⎰
+=T
a a
T dx x f dx x f )()(0
这个等式说明周期函数在任意一个以周期T 为长度的区间的定积分都是相等的，它形象地反映出了
周期函数的性质，读者可从图形上理解此性质的几何意义。

例8 设)(x f 在[]1,0上连续，证试：
⎰⎰
=20
20
)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f
证 作变量替换t x -=
2
π
，则dt dx -=，
⎰⎰
--=0
2
20
)1)(2(sin()(sin ππ
π
dt t f dx x f
⎰-
=0
2
)(cos πdt t f
⎰
=2
)(cos π
dt t f ⎰
=
20
)(cos π
dx t f
即
⎰⎰
=20
20
)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f
本例中也可先对等式右端进行相同的变量替换，同学们自己不妨一试。

例9 求下列各曲线围成的平面区域的面积：
（1）2,,0==
=x x y y （2）2,2y x x y =-=
分析 用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线围成的区域；再由区域的形状选择积分变量（x 或y ），这主要是为了计算方便，最后确定积分限。

当计算公式。

⎰-=b
a
dx x g x f A )()(
中的)(x f 或)(x g 为段函数时，面积需要分块计算。

解 （1）曲线所围平面区域如图所示，设此面积为A 。

则有
⎰-=2
)0(dx x A
x x 3
4
3
2
2
2
3=
= （2）曲线所围平面区域如图所示，设此面积为A ，则有
⎰⎰--+--=+=4
1
10
21))2(())((dx x x dx x x A A A
⎰⎰+-+=4
1
10
)2(2dx x x dx x
1
4
2
230123)2232(34x x x x +-+= 2
9214)22132(31634=+=+--+=
还有一种简便的方法，若以y 做为积分变量，则有
⎰--+=2
12)2(dy y y A
1
2
3
2)322(--+=y y y
)3
1221()38
42(+---+=
2
9215=-=
例10 求抛物线2
x y =介于（0，0）点及（2，4）点之间的一段弧分别绕x 轴与y 轴旋而成的旋转体积。

分析 曲线)(x f y =绕x 轴或y 或旋转形成的旋转体体积为
[]⎰b
a dx x f 2
)(π或[]⎰-d
c
dy y f 2
1)(π
其中区间[]b a ,与[]d c ,分别是曲线在x 轴与y 轴上的投影。

解 设曲线绕x 轴与y 轴旋转而成的旋转体体积分别为x V 和y V ，由旋转体体积的计算公式有
ππ
π5
325
)(0
2
52
2=
=
=⎰x dx x V x 同样可得
ππ
π82
)(0
4
24
2
==
=⎰y
dy x V y
由此可以看出同一条曲线段绕不同坐标轴旋转所得的旋转体积一般是不相等的。

例11 一半圆形水沟的半径为r ，流满了水，求在这种水位下，液体对沟的一端上的闸门的侧压力 分析 本例是定积分的物理应用，用微元法求解，解题步骤是：①建坐标系；②取微段（分割）；③将总体量表示为定积分并计算。

解 根据物理知道，一面积为A 的平板，水平放置在深为h 的液体中，所受压力为
γ⋅⋅=h A F ，其中γ为液体比重
建立坐标系的方法如图，取微段x ∆，它所对应的微条面积为
x x r A ∆-≈∆222
该微条在液体中所受压力为
8.9222⋅⋅∆-≈∆x x x r F
x x r x ∆-=22.19
其中水的比重1=γ千克/米3
8.9=牛顿/米3
，闸门受的压力即为
r
r
x r dx x r x F 0
2322
22)
(6.196.19--=-=⎰
3
3
6.19r =
（焦耳） 例12 判断下列广义积分的收敛性，对于收敛的无穷积分，求无穷积分的值。

（1）
⎰
+∞
e
x x dx
ln （2）⎰+∞+e x xdx 3)1( （3）dx x
x e ⎰+∞2arctan 分析 无穷积分要先判断收敛性，对收敛的无穷积分求值，与计算定积分类似，但要注意由无穷分
本身性质而决定的一些特殊情况。

解 （1）利用凑微分法便得
+∞==⎰⎰
+∞+∞
e
x x d x x x dx
e e
ln ln )(ln ln 1ln
+∞=
所以原无穷积分是发散的。

（2）由于
3
233)1(1
)1(1)1(11)1(x x x x x x +-+=+-+=+
故
⎰⎰⎰
+∞+∞+∞
+-+=+03020
3)
1()1()1(x dx x dx x xdx
2
))1(1(21(11
+∞
+∞
+--+=
x x
2
1))2
1(0()1(0(=
-----= 注意：在利用公式
⎰⎰
⎰
+∞
+∞
+∞
+=+a
a a
dx x g dx x f dx x g x f )()())()((
时，前提是等式右端的两个无穷积分都收敛，若⎰
+∞
a
dx x f )((和⎰+∞
a
dx x g )(都发散，则不能利用这
条利质，因此时
⎰
+∞
+a
dx x g x f ))()((也有可能是收敛的，这时就需要直接求出)()(x g x f +的原函数
+∞a x F )0(。

（3）利用分部积分公式。

⎰⎰
+∞+∞
-=11
2)1
(arctan arctan x
x dx x x ⎰+∞∞
+++-=121)
1(arctan 1x x dx x x
⎰
+∞
++=
1
2
)
1(4
x x dx π
令t x =2
，则dt xdx =2，得到
dt t
t x x dx ⎰⎰
+∞+∞
+-=+11
2)11
1(21)1( 11)1(ln 21)1ln (ln 21+∞
∞
++=+-=t t t t 2ln 2
1
)21ln 0(21=-= 所以，原广义积分
2ln 2
1
4arctan 12
+=⎰+∞
πdx x x 注意：正如前面提到的，本例中在计算dt t t ⎰+∞+-
1)11
1(时，若将广义积分表示成 ⎰⎰⎰+∞+∞+∞+-=+-1111)11
1(t dt t dt dt t t
因为⎰+∞1t
dt 及⎰+∞+11t dt 都是发散的，故无法计算出它的结果。

三、自我检测题
（一）单项项选择题
1．设)(x f []b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上的平均值是（ ）
A ．2
)
()(a f b f + B ．⎰a b dx x f )(
C ．⎰b a dx x f )(2
1 D ．⎰-b a dx x f a b )(1 2．设函数⎰
=
Φ3
)()(x a
dt t f x ，则=Φ')(x （ ）
A ．)(x f
B ．)(3
x f
C ．)(32
x f x D ．)(33
2
x f x
3．设)(x f 是连续函数，且为偶函数，则在对称区间[]a a ,-上的定积分=⎰
-a
a
dx x f )(（ ）
A ．0
B ．⎰
-0
)(2a
dx x f
C ．
⎰
-0
)(a
dx x f D ．⎰a
dx x f 0
)(
4．利用定积分的有关性质可以得出定积分[]
=+⎰-dx x x 11
2111
)(cos )
(arctan （ ）
A ．[]
d x x x ⎰+10
2111
)(cos )
(arctan 2
B ．0
C ．⎰
1
021
cos 2xdx D ．2
5．已知函数⎰+=
x
t dt
y 02)1(，则='')1(y （ ）
A ．21-
； B ．4
1- C ．41 D ．21
6．设⎰-=x x f dt t f 02
1
)(21)(，且1)0(=f ，则=)(x f （ ）
A ．2
x e ； B ．
x e 21 C ．x e 2 D ．x e 22
1 7．设)(x f 在[]b a ,上连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则=∆-∆+→∆x
x F x x F x )
()(lim 0（ ）
A ．)(x F ；
B ．)(x f
C ．0
D ．)(x f '
8．若)(x f y =与)(x g y =是[]b a ,上的两条光滑曲线的方程，则由这两条曲线及直线a x =，b
x =
所围的平面区域的面积为（ ）
A ．
⎰-b a dx x g x f ))()(( B ．⎰-b a dx x f x g ))()(( C ．⎰-b
a dx x g x f )()( D ．⎰-b
a dx x g x f ))()(( （二）填空题
1．⎰=+∞→10lim dx x n
n 。

2．不求原函数，利用定积分的性质及被积函数的奇偶性可以得出
⎰=+-dx x x )1(sin 533 。

3．设y 是方程⎰⎰=+x y
t tdt dt e 000cos 所确定的x 的函数，则=dx
dy 。

4．设)(x f 是连续函数，⎰=x
e x dt t
f x F 2)()(，则=')0(F 。

5．已知,5)2(,3)2(,1)0(='==f f f 则⎰''2
0)(dx x f x 。

6．无穷积分⎰+∞
1p x
dx 若收敛，则p 。

（三）计算题
1．利用定积分的性质说明下列各题中哪个积分值较大？
（1）⎰102dx x 与⎰103dx x （2）⎰214dx x 与⎰2
1
5dx x 2．计算下列各定积分：
（1）⎰-+1
0x x e e dx （2）⎰-10221dx x x （3）⎰10ln xdx x 3．计算下列广义积分或判断其收敛性。

（1）⎰+∞
∞-+21x dx （2）⎰+∞e dx x x ln （3）⎰10ln xdx 4．求由,12-=x y 3=y 所围成的平面图形的面积。

5．求下列极限
（1）x tdt
x
x ⎰→020cos lim （2）30220)11(lim x dt t t x x ⎰--+→
（四）证明题
1．证明：20
11401201042<++<⎰dx x x x 2．证明：[]⎰⎰--+=a
a a
dx x f x f dx x f 0)()()(
自我检测题答案或提示
（一）1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C （二）1．0 2．3 3．y e x cos -
4．)1(f 5．8 6．1> （三）1．（1）⎰102dx x ； （2）⎰2
15dx x ；
2．（1）4π-arctge ； （2）
16π （3）)1(4
12+e 3．（1）π； （2）发散； （3）1-
4．332； 5．（1）1 （2）31 （四）1．利用定积分性质：若M x f m ≤≤)(，则有⎰-≤≤
-a b a b M dx x f a b m )()()(
2．（略）。