高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专

《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形选择、填空题型（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）
一、选择题
1．(2013·郑州模拟)若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )
A.1
5 B ．－1
5
C.513
D ．－5
13
解析：选D 由于α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z)，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3<0，故α＋π3是第四象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－513，∴c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－5
13
.
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－4
5
B ．－3
5
C.35
D.45
解析：选D sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435⇒32sin α＋12cos α＝－45⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－4
5
⇒cos ( α＋
⎭⎪⎫2π3＝4
5
. 3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，
B ＝π
6，C ＝π4
，则△ABC 的面积为( )
A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2
D.3－1
解析：选B 由正弦定理知
b
sin B ＝
c
sin C
，结合条件得c ＝
b sin C
sin B
＝2 2.又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝
6＋24，所以△ABC 的面积S ＝1
2
bc sin A ＝3＋1.
4．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin
A ＝5sin
B ，则角
C ＝( )
A.π
3 B.2π3
C.3π4
D.
5π6
解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝5
3b ，代入b
＋c ＝2a ，可得c ＝73b ，然后结合余弦定理，可得cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝－12，所以角C ＝2π
3
.
5．(2013·东城模拟)在△ABC 中，已知tan A ＋B
2
＝sin C ，给出以下四个论断：
①
tan A
tan B
＝1; ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2
A ＋cos 2
B ＝1; ④cos 2
A ＋cos 2
B ＝sin 2
C . 其中正确的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④
D ．②④
解析：选D 因为在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，所以tan
A ＋B
2＝tan π－C 2＝cot C 2
＝cos
C 2sin C
2
，
而sin C ＝2sin C 2·cos C 2，由tan A ＋B 2＝sin C ，得cos C
2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C
2
≠0，
故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，C ＝π2，A ＋B ＝π2
，①③错误． 6．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋
c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：选B 由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝si n 2
A ，有sin(
B ＋
C )＝sin 2
A ，从而sin(
B ＋
C )＝sin A ＝sin 2
A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2
.
7．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )
A ．2 B.12
C ．3
D.13
解析：选B 因为sin β＝m sin (2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋
β)sin α]，也即(1－m )sin(α＋β)·cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α，所以
tan α＋βtan α＝1＋m 1－m ＝3，所以m ＝1
2
.
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量p ＝(1，－3)，q ＝(cos B ，sin B )，p ∥q ，且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ，则C ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选A ∵p ∥q ，∴－3cos B ＝sin B ，即得tan B ＝－3，∴B ＝120°.∵b cos
C ＋c cos B ＝2a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin 2A ，即sin A ＝sin(B
＋C )＝2sin 2
A ，又由sin A ≠0，得sin A ＝12
，∴A ＝30°.C ＝180°－A －B ＝30°.
9．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3
3
，则cos 2α＝( ) A ．－53
B ．－
59
C.59
D.53
解析：选A 法一：∵sin α＋cos α＝33
， ∴(sin α＋cos α)2
＝13
，
∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－2
3.
又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝3
3
>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3π
4
(k ∈Z)，
∴4k π＋π<2α<4k π＋3π
2(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，
∴cos 2α＝－1－sin 2
2α＝－
53
.
法二：sin α＋cos α＝3
3
两边平方，得 1＋2sin αcos α＝1
3，
∴2sin αcos α＝－2
3
.
∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝
sin α－cos α
2
＝1－2sin αcos α＝
153
. 由⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋cos α＝3
3，sin α－cos α＝15
3，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝3＋15
6，cos α＝
3－15
6
.
∴cos 2α＝2cos 2
α－1＝－
5
3
. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2
＝mc 2
(m 为常数)，若tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，则m 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．7
D ．8
解析：选
A
由
tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，得
sin C cos C ·sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝2sin A sin B cos A cos B ，即sin C cos C ·sin A ＋B
cos A cos B ＝
sin C cos C ·sin C cos A cos B ＝2sin A sin B
cos A cos B
， 所以sin 2
C cos C ＝2sin A sin B ，因此cos C ＝sin 2
C 2sin A sin B
，综合运用正弦、余弦定理，得
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝c 22ab
，所以a 2＋b 2＝2c 2
，故m ＝2. 二、填空题
11．(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则
sin ∠BAC ＝________.
解析：△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝AB
cos ∠MAC ，所以32a ＝c a 2＋4b
2
2b
，
整理得(3a 2
－2c 2)2
＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝6
3
.
答案：
63
12．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin
θ＋cos θ＝ 2 sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4
＝－
105
. 法二：将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，得tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，所以sin θ＝110，cos θ＝－3
10，从而sin θ＋cos θ
＝－
210＝－
10
5. 答案：－
105
13．在△ABC 中，角A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，AC ＝3，则边BC 的长为________． 解析：由题意可得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1
2，又A 为三角形的一个内角，所以A ＝2π3.在△ABC
中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2
－2AB ·AC cos A ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝19，所以BC
＝19.
答案：19
14．(2013·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝10，cos C ＝7
8
，则△ABC 的面积的最大值为________．
解析：∵在△ABC 中cos C ＝78，∴sin C ＝158，又由c ＝10－a －b ，可得c 2
＝(10－a
－b )2，则a 2＋b 2－2ab cos C ＝100＋a 2＋b 2
－20(a ＋b )＋2ab ，整理可得4(a ＋b )＝20＋34ab ，
∴20＋34ab ≥8ab ，整理可得3ab －32ab ＋80≥0，解得ab ≥203或ab ≤4.当ab ≥203时，
仅当a ＝b ＝203时取等号，此时a ＋b ＝403>10，与a ＋b ＋c ＝10矛盾；当ab ≤4时，S △ABC ＝
12
ab sin C ＝
1516ab ≤1516
×16＝15，当且仅当a ＝b ＝4时取等号．
答案：15
15．在某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶A 上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该轮船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/小时．
解析：如图所示，设海岛的底部为点D .在Rt △ABD 中，BD ＝1
tan 30°＝3；
在Rt △ACD 中，CD ＝
1tan 60°＝3
3
.
故在Rt △BCD 中，BC ＝
3＋13＝303
. 所以轮船的速度为30
3
16＝230(千米/小时)．
答案：230
16．(2013·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．
①b a cos C <1－c a
cos B ；
②△ABC 的面积为S △ABC ＝12
AB u u u
r ·AC u u u r ·tan A ；
③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；
④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1； ⑤若A ＝π
3
，a ＝3，则b 的最大值为2.
解析：对于①，注意到当△ABC 是正三角形时，b a cos C ＝12＝1－c
a
cos B ，因此①不正确；
对于②，注意到当A ＝π
2时，tan A 不存在，此时结论显然不成立，因此②不正确；对于③，
注意到当A ＝30°，C ＝60°时，A ＋C ＝B ＝90°，此时有a cos A ＝c cos C 成立，但△ABC 不是等腰三角形，因此③不正确；对于④，由△ABC 是钝角三角形，A 是最大内角得A 是钝角，即90°<A <180°，135°<A ＋45°<225°，sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)∈(－1,1)；反过来，由－1<sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)<1得－
22<sin(A ＋45°)<2
2
，135°<A ＋45°<225°，又A 是最大的内角，因此60°≤A <180°，135°<A ＋45°<225°，所以
90°<A <180°，由此可知④正确；对于⑤，依题意得
a
sin A
＝
b
sin B
，
b
sin B
＝
3
sin
π3
＝2，b ＝2sin B 的最大值是2⎝ ⎛⎭⎪⎫当B ＝π2时取得最大值，因此⑤正确．综上所述，其中正确命题的序号是④⑤.
答案：④⑤。