中考数学一轮复习课件：第六章空间与图形6.2图形的相似
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DB 2
A. A E = 1
AC 2
B.D E = 1 BC 2
C. AD=E的周长D.1 =
ABC的周长 3
ADE的面积 1 ABC的面积 3
答案
C
∵ A D=
DB
1 2
,∴
A A
D B
=
1 3
,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ A E =
AC
D =E BC
AA=DB
,1 故选项A、
3
B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知选项C正确,
思路分析 (1)证明△AOC≌△BOD,得AC=BD,∠OAC=∠OBD, ∠AMB=∠AOB=40°;(2)证明 △AOC∽△BOD,得 A C = C =O ,∠3 OAC=∠OBD,∠AMB=∠AOB=90°;(3)作图确定△OCD旋
BD DO
转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据 A C= 得3 出AC的长.
中考数学 (江苏专用)
第六章 图形与交换
§6.2 图形的相似
五年中考 A组 2014-2018年江苏中考题组
1.(2015江苏,10,3分)如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,则
EC=
.
答案 3
2
解析 ∵DE∥AC,∴ B D = B ,E∴EC=
BD
3.(2015江苏,22,10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点, 连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现
①当α=0°时, A E =
;
BD
②当α=180°时, A E =
.
BD
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时, A E 的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
BD
方法规律 本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探 究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论, 依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可 以先求出BD的两个值,根据 A C = ,再3 求出AC的两个值.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
解析 (1)① 5 . (1分)
2
② 5 . (2分)
2
(2)无变化. (3分)
在题图1中,∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB.∴ C E = C D,∠EDC=∠B=90°.
6.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位
线,且EF=2,则AC的长为
.
答案 8
3
解析 ∵EF是△ODB的中位线,∴OE= 1 OD=3 ,EF∥BD,∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,
2
2
∴ A C= O ,∴C =A C ,2
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
BC 8 2 BD 2 ∴ A E 的大小不变. (8分)
BD
(3)4 或5 1 2. (510分)
5
【提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,∴BD=AC=4 ;当5 △
EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根
EF OE
23
2
∴AC=8 .
3
7.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 ,则5
BD长为
.
答案 2 4 1
解析 如图,连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=5, ∵CD=10,DA=5 ,5 ∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°,∵∠ACB+∠BAC= 90°,∴∠BAC=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△CED,∴ A =C A=B ,B即C =5 =3
CD CE D E 10 CE 4 ,∴CE=6,DE=8.在Rt△BED中,BD= =BE=22D. E2 (46)2 82 4 1 DE
A. 3 1 0 B. 3 1 0 C.
1 0 D.
35
2
5
5
5
答案 B 由题意得∠AFB=∠D=∠BAD=90°,∴∠FAB+∠DAE=90°,∠FAB+∠ABF=90°,∴
∠ABF=∠DAE,∴△ADE∽△BFA,则 A D= B ,F即 3 = B F=3,设AF=x(x>0),则BF=3x,在Rt△ABF中,
BC
种情况求解.
B组 2014-2018年全国中考题组
考点一 相似的性质与判定
1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为 BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( )
A. A D = A E
AB EC
B. A =G A E C. =B D C E D. = A G A C
BD
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,∴ C O= A=O , 3
DO BO
又∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD. ∴△AOC∽△BOD. (6分)
∴ A C = C O= ,∠3 CAO=∠DBO.
BD DO
∵∠AOB=90°,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°. ∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠AMB=90°. (8分) (3)AC的长为2 3或3 . 3 (10分) 【提示】在△OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即 A C= ,∠3 AMB=90°. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求. B D
△BDF,∴ A E = A D= E ,又D ∵CE=DE,CF=DF,∴ =3 C ,E =C E
BD BF DF
2 CF
CF,CF=3CE-CE·CF,∴2CE-3CF=CF-3CE,∴ C E= 4 .故选B.
CF 5
,可1得2CCEE=3CF-CE·
3CF C F
5.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△
5
当AP=PD时,P点为BD的中点,∴PE= 1 CD=3,故答案为3或 6 .
2
5
思路分析 根据AB<AD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两
种情况:①AD=PD=8;②AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.
难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.
据 A E = 5 可求得BD= 1 2 . 5
BD 2
5
思路分析 (1)根据勾股定理和三角形中位线定理求各线段的长,从而求得 A .E(2)△EDC绕点
BD
C旋转时,在题图1中,△ABC∽△EDC,在题图2中,△ACE∽△BCD,得到 A =E A,将C 求 的A E值
BD BC
BD
转化为求 A C 的值,得出结论.(3)类比(2)问中的方法,讨论A,D,E三点共线和A,E,D三点共线的两
选项D错误.故选C.
4.(2015四川绵阳,12,3分)
如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为
EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE∶CF= ( )
A. 3
B4.
4
5
C. 5
D6.
6
7
答案 B 设等边△ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知∠C=∠EDF=60°, ∴∠EDA+∠FDB=120°, 在△AED中,∵∠A=60°,∴∠AED+∠ADE=120°,∴∠AED=∠BDF,又∵∠A=∠B,∴△AED∽
GF BD
AD AE
AF EC
答案
C
根据平行线分线段成比例定理可知
AD
A B=
A ,E
AC
=A G GF
AE BD ,=,
CE
=
A G,所以A 选E
EC AD AE AF AC
项A、B、D错误,选项C正确.故选C.
2.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF ⊥AE交AE于点F,则BF的长为 ( )
DE AF 1 AF
由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x= 1 (0负值舍去),所以3x= 3,即1 B0 F= .故3 选1 0B.
5
5
5
思路分析 先通过证明△ADE∽△BFA得到AF与BF的数量关系,再在Rt△ABF中,由勾股定理 建立方程求解.
3.(2015江苏南京,3,2分)如图,在△ABC中,DE∥BC, A D= 1 ,则下列结论中正确的是 ( )
BD
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 11:59:50 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
于点M.请判断 A C 的值及∠AMB的度数,并说明理由;
BD
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB= ,请7 直 接写出当点C与点M重合时AC的长.
解析 (1)①1. (1分) ②40°.(注:若填为40,不扣分)(2分)
(2) A C = ,∠3 AMB=90°.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分)
DA BE
==
2. 3
3
DA EC
BD
42
2.(2018江苏,22,10分)
(1)问题发现 如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
① A C 的值为
;
BD
②∠AMB的度数为
.
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线
CA CB
如题图2,∵△EDC在旋转过程中形状和大小不变,
∴ C E = C D 仍然成立. (4分)
CA CB
又∵∠ACE=∠BCD=α,
∴△ACE∽△BCD.∴ A E = A .C (6分)
在Rt△ABC中,AC=
BD BC
=AB2=4BC. 2
42 82
5
∴ A C = 4 =5 ,∴5 =A E . 5
PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为
.
答案 3或 6
5
解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在△ABD中,由勾股定理可得BD= =6120,∵82AB<AD,∴
根据△PBE∽△DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 P =E B=P ⇒2 PE= ;6
CD BD 10
A. A E = 1
AC 2
B.D E = 1 BC 2
C. AD=E的周长D.1 =
ABC的周长 3
ADE的面积 1 ABC的面积 3
答案
C
∵ A D=
DB
1 2
,∴
A A
D B
=
1 3
,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ A E =
AC
D =E BC
AA=DB
,1 故选项A、
3
B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知选项C正确,
思路分析 (1)证明△AOC≌△BOD,得AC=BD,∠OAC=∠OBD, ∠AMB=∠AOB=40°;(2)证明 △AOC∽△BOD,得 A C = C =O ,∠3 OAC=∠OBD,∠AMB=∠AOB=90°;(3)作图确定△OCD旋
BD DO
转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据 A C= 得3 出AC的长.
中考数学 (江苏专用)
第六章 图形与交换
§6.2 图形的相似
五年中考 A组 2014-2018年江苏中考题组
1.(2015江苏,10,3分)如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,则
EC=
.
答案 3
2
解析 ∵DE∥AC,∴ B D = B ,E∴EC=
BD
3.(2015江苏,22,10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点, 连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现
①当α=0°时, A E =
;
BD
②当α=180°时, A E =
.
BD
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时, A E 的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
BD
方法规律 本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探 究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论, 依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可 以先求出BD的两个值,根据 A C = ,再3 求出AC的两个值.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
解析 (1)① 5 . (1分)
2
② 5 . (2分)
2
(2)无变化. (3分)
在题图1中,∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB.∴ C E = C D,∠EDC=∠B=90°.
6.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位
线,且EF=2,则AC的长为
.
答案 8
3
解析 ∵EF是△ODB的中位线,∴OE= 1 OD=3 ,EF∥BD,∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,
2
2
∴ A C= O ,∴C =A C ,2
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
BC 8 2 BD 2 ∴ A E 的大小不变. (8分)
BD
(3)4 或5 1 2. (510分)
5
【提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,∴BD=AC=4 ;当5 △
EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根
EF OE
23
2
∴AC=8 .
3
7.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5 ,则5
BD长为
.
答案 2 4 1
解析 如图,连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=5, ∵CD=10,DA=5 ,5 ∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°,∵∠ACB+∠BAC= 90°,∴∠BAC=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△CED,∴ A =C A=B ,B即C =5 =3
CD CE D E 10 CE 4 ,∴CE=6,DE=8.在Rt△BED中,BD= =BE=22D. E2 (46)2 82 4 1 DE
A. 3 1 0 B. 3 1 0 C.
1 0 D.
35
2
5
5
5
答案 B 由题意得∠AFB=∠D=∠BAD=90°,∴∠FAB+∠DAE=90°,∠FAB+∠ABF=90°,∴
∠ABF=∠DAE,∴△ADE∽△BFA,则 A D= B ,F即 3 = B F=3,设AF=x(x>0),则BF=3x,在Rt△ABF中,
BC
种情况求解.
B组 2014-2018年全国中考题组
考点一 相似的性质与判定
1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为 BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( )
A. A D = A E
AB EC
B. A =G A E C. =B D C E D. = A G A C
BD
理由如下:
∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,∴ C O= A=O , 3
DO BO
又∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD. ∴△AOC∽△BOD. (6分)
∴ A C = C O= ,∠3 CAO=∠DBO.
BD DO
∵∠AOB=90°,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°. ∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠AMB=90°. (8分) (3)AC的长为2 3或3 . 3 (10分) 【提示】在△OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即 A C= ,∠3 AMB=90°. 如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求. B D
△BDF,∴ A E = A D= E ,又D ∵CE=DE,CF=DF,∴ =3 C ,E =C E
BD BF DF
2 CF
CF,CF=3CE-CE·CF,∴2CE-3CF=CF-3CE,∴ C E= 4 .故选B.
CF 5
,可1得2CCEE=3CF-CE·
3CF C F
5.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△
5
当AP=PD时,P点为BD的中点,∴PE= 1 CD=3,故答案为3或 6 .
2
5
思路分析 根据AB<AD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两
种情况:①AD=PD=8;②AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.
难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.
据 A E = 5 可求得BD= 1 2 . 5
BD 2
5
思路分析 (1)根据勾股定理和三角形中位线定理求各线段的长,从而求得 A .E(2)△EDC绕点
BD
C旋转时,在题图1中,△ABC∽△EDC,在题图2中,△ACE∽△BCD,得到 A =E A,将C 求 的A E值
BD BC
BD
转化为求 A C 的值,得出结论.(3)类比(2)问中的方法,讨论A,D,E三点共线和A,E,D三点共线的两
选项D错误.故选C.
4.(2015四川绵阳,12,3分)
如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为
EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE∶CF= ( )
A. 3
B4.
4
5
C. 5
D6.
6
7
答案 B 设等边△ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知∠C=∠EDF=60°, ∴∠EDA+∠FDB=120°, 在△AED中,∵∠A=60°,∴∠AED+∠ADE=120°,∴∠AED=∠BDF,又∵∠A=∠B,∴△AED∽
GF BD
AD AE
AF EC
答案
C
根据平行线分线段成比例定理可知
AD
A B=
A ,E
AC
=A G GF
AE BD ,=,
CE
=
A G,所以A 选E
EC AD AE AF AC
项A、B、D错误,选项C正确.故选C.
2.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF ⊥AE交AE于点F,则BF的长为 ( )
DE AF 1 AF
由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x= 1 (0负值舍去),所以3x= 3,即1 B0 F= .故3 选1 0B.
5
5
5
思路分析 先通过证明△ADE∽△BFA得到AF与BF的数量关系,再在Rt△ABF中,由勾股定理 建立方程求解.
3.(2015江苏南京,3,2分)如图,在△ABC中,DE∥BC, A D= 1 ,则下列结论中正确的是 ( )
BD
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 11:59:50 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/42021/9/42021/9/4Sep-214-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/42021/9/42021/9/4Saturday, September 04, 2021
于点M.请判断 A C 的值及∠AMB的度数,并说明理由;
BD
(3)拓展延伸
在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB= ,请7 直 接写出当点C与点M重合时AC的长.
解析 (1)①1. (1分) ②40°.(注:若填为40,不扣分)(2分)
(2) A C = ,∠3 AMB=90°.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分)
DA BE
==
2. 3
3
DA EC
BD
42
2.(2018江苏,22,10分)
(1)问题发现 如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:
① A C 的值为
;
BD
②∠AMB的度数为
.
(2)类比探究
如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线
CA CB
如题图2,∵△EDC在旋转过程中形状和大小不变,
∴ C E = C D 仍然成立. (4分)
CA CB
又∵∠ACE=∠BCD=α,
∴△ACE∽△BCD.∴ A E = A .C (6分)
在Rt△ABC中,AC=
BD BC
=AB2=4BC. 2
42 82
5
∴ A C = 4 =5 ,∴5 =A E . 5
PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为
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答案 3或 6
5
解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在△ABD中,由勾股定理可得BD= =6120,∵82AB<AD,∴
根据△PBE∽△DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 P =E B=P ⇒2 PE= ;6
CD BD 10