四川省成都市蒲江县蒲江中学2021年高三数学理测试题含解析

四川省成都市蒲江县蒲江中学2021年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 给定下列两个关于异面直线的命题：那么（▲ ）。

命题（1）：若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是与的交线，那么至多与中的一条相交；
命题（2）：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

A．命题（1）正确，命题（2）不正确B．命题（2）正确，命题（1）不正确
C．两个命题都正确D．两个命题都不正确
参考答案：
D
略
2. 命题“”的否定是
A．B．
C．D．
参考答案：
C
3. 一个几何体的三视图如图所示，主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的全面积为（）参考答案：
C
略
4. 方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）
A、28条
B、32条
C、36条
D、48条
参考答案：
B
本题可用排除法，，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.
5. 不等式的解集是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
A、4
B、8
C、12
D、4+4
6. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
7. 已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．
解答：解：双曲线，可得c=1，
双曲线的离心率为：，
∴，解得a=．
故选：B．
点评：本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．8. 等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，{a n}的前4项和为（）
A．81 B．120 C．168 D．192
参考答案：
B
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{a n}的前4项和．
【解答】解：因为==q3=27，解得q=3
又a1===3，则等比数列{a n}的前4项和S4==120
故选B
9. 在等比数列中，若，则该数列的前10项和为
A．B. C. D.
参考答案：
答案：B
解析：由，所以
10. 已知，则使成立的的取值范围是（）
A. [0,1]
B. [3,4]∪{7}
C. [0,1] ∪[3,4]
D. [0,1] ∪[3,4] ∪{7}
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以坐标原点O为圆心的圆与抛物线及其准线分别交于点A，B和C，D，若|AB|=|CD|
，则圆
O 的方程是 ．
参考答案：
设，圆O 半径为r ，则 ∵，∴A 或B 的坐标为，∴
∴
，解得
，∴圆O 的方程为：
故答案为：
12. （5分）已知在直角坐标系中曲线C 1的参数方程为（t 为参数且t≠0），在以原点O
为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线C 2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），则曲线C 1
与C 2
交点的直角坐标为 ．
参考答案：
（2，
2）
【考点】：
简单曲线的极坐标方程． 【专题】： 坐标系和参数方程．
【分析】： 由曲线C 1的参数方程（t 为参数且t≠0），消去参数t 可得x 2=y+2．由曲线
C 2的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），可得y=x ．联立解得即可．
解：由曲线C 1的参数方程（t 为参数且t≠0），可得x 2=+2=y+2（y ＞0）．
由曲线C 2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），可得y=x ．
联立，解得x=y=2．
∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）．
【点评】： 本题考查了把参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．
13. 已知
，则____________．
参考答案：
略
14. 设x ，y 满足约束条件，向量，且a ∥b ，则m 的最小值为
__
参考答案：
-6
略
15. 阅读右边的框图，运行相应的程序，输出
的值为________.
参考答案：
－4
.
16. 已知M（a,b）由确定的平面区域内运动，则动点N（a+b,a b）所在平面区域的面积为_______
参考答案：
16
17. 直线x﹣y﹣3=0的斜率为，倾斜角为．
参考答案：
1，45°．
【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．
【分析】直接化直线方程为斜截式得答案．
【解答】解：由x﹣y﹣3=0，得y=x﹣3，
∴直线x﹣y=﹣30的斜率是1，倾斜角为45°．
故答案为1，45°．
【点评】本题考查直线的斜率，考查直线方程的斜截式，是基础的计算题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

Ⅰ、求证：CE⊥平面PAD；Ⅱ、若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，
求四棱锥P-ABCD的体积.
Ⅲ、在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的
余弦值的绝对值.
参考答案：
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA AD=A,所以CE⊥平面PAD…………….3分(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,所以四
棱锥P-ABCD的体积等于……………7分
（3）建立以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴的空间坐标系，取平面PBC的法向量为
n1=(1,01)，取平面PCD的法向量为n2=(1,1,3)，
所以二面角的余弦值的绝对值是………………………………………………….12分
19. （本题12分）已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：
若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)、B（良好）、C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与
地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是
0.
18．
（1）若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
（2）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数
少的概率．
参考答案：
20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值.
参考答案：
（1）（2）12
试题分析：（1）利用余弦定理化简，转化求解角；（2）利用三角形的面积以及余弦定理结合基本不等式求解即可。

解析：(1)
（2）故的最小值为12.
21. 2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本
中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
参考答案：
（1）0.8（2）详见解析（3）事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析 【分析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G ，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）由题意X 的所有可能值为
，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得
到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，得到七概率为
，即可得到结论.
【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到
5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即.
（2）由题意X 的所有可能值为
，
记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且，
，
所以
，
， ，
所以X 的分布列为
故X 的数学期望.
（3）设事件
为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么
.
回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件
发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
22. 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=1，证明：
（Ⅰ）（1+）（1+）≥9； （Ⅱ）（ac+bd ）（bc+ad ）≥cd．
参考答案：
【考点】不等式的证明．
【专题】证明题；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）将1=a+b 代入，可得（1+）（1+）=（1+）（1+）=（1+1+）（1+1+），
由三元均值不等式，即可得证；
（Ⅱ）a ，b ，c ，d 均为正数，则ac ，bd ，bc ，ad 也均为正数，即有（ac+bd ）（bc+ad ）=（（
）
2
+（）2）（（
）
2+（）2），由柯西不等式，即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）∵a，b ，c ，d 均为正数，且a+b=1，
∴（1+）（1+）=（1+
）（1+）
=（1+1+）（1+1+）
≥（3?）（3?）=9，
∴（1+）（1+）≥9；
（Ⅱ）∵a，b，c，d均为正数，∴ac，bd，bc，ad也均为正数，
∴（ac+bd）（bc+ad）=（（）2+（）2）（（）2+（）2）
≥（（?）+（?））2
=cd（a+b）2
∵a+b=1，
∴（ac+bd）（bc+ad）≥cd．
【点评】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和柯西不等式，考查推理能力，属于中档题．。