《计算机辅助几何设计》课件

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更多图例：
4次Bezier曲线
5次Bezier曲线
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早期的Bezier曲线定义： 早期Bezier曲线利用特征多边形的边矢量 ai定义。
r (u ) ai f n ,i (u ) , u [0,1]
i 0
n
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保持3点相对位置不变，当把这3点绕原点逆时针 旋转45度后，则得如图所示的另一个二次多项式 ， 8 11 y 表达式为： 3 2 x 3 x 二者不但表达式不同，图形形 状也不一样。
2
y
8 3 2
x2
11 x 3
y 0.5x2 x
图例：工业产品中的解析曲面和自由型曲面
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滑动轴承座及轴承盖等 机械零件，由若干解析 曲面拼接而成。
汽车车身由若干自由型 曲面拼接而成，无法用 解析曲面表示。
计 算 机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ辅 助 几 何 设 计
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在工业上，人们一直在寻求用数学方法惟一 地定义自由型曲线曲面的形状以便由计算机来完 成大量的工作。形状的几何定义为所有的后置处 理(如数控加工、物性计算、有限元分析等)提供 了必要的先决条件。在形状信息的计算机表示、 分析与综合中，核心的问题是 计算机表示，即要 找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与 几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据 交换的 形状描述的数学方法。
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P(u)=2(u-0.5)(u-1)P -4u(u-1)P +2u(u-0.5)P2 0 1
P ( 1 2 3 2 , ) 4 4
P ( 2, 2) 2
P (1,0.5) 1
P2 (2,0)
图2.2
P =(0,0) 0
但需要指出的是，参数曲线曲面表示并不总是具有 几何不变性。我们将在后面的课程中进一步讨论。
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础，发展了一套自由型曲线曲面的设计制造系统， 称之为UNISURF系统，于1972年正式投入使用。 20世纪80年代中后期，在国际CAD软件市场 享有盛名的出法国达索(Dassault)飞机公司研制推 出的CATIA系统，也广泛采用了贝齐尔方法，其中 所用贝齐尔曲线高达15次，贝齐尔曲面高达9次。 在多项式插值曲线曲面中是不可能达到这样高的次 数而不出问题的。
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德布尔(de Boor)于1972年给出了关于B样条 的一套标准算法。美国通用汽车公司的戈登 (Gordon)和里森费尔德(Riesenfeld)于1974年将 B样条理论应用于形状描述．提出了B样条曲线 曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，克 服了贝齐尔方法存在的缺点，较成功地解决了局 部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上 解决了连接问题。
3.贝齐尔曲线与曲面
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在产品零件设计中，许多自由曲面是通过自由 曲线来构造的。对于自由曲线的设计，设计人员希 望采用直观的具有明显几何意义的操作，使得设计 的曲线能够逼近曲线的形状。贝齐尔曲线与曲面正 好可以成为这样的工具。 贝齐尔曾是法国雷诺 汽车公司的工程师，其想 法从一开始就面向几何而 不是面向代数。1962年他 提出这种独创的构造曲线 曲面的方法，并以之为基
1.1 CAGD的研究对象与核心问题
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本学科是随着航空、汽车等现代工业的发展与 计算机的出现而产生与发展起来的一门新兴学科。 其 主要研究对象是工业产品的几何形状。一类仅由 初等解析曲面(例如平面、圆柱面、圆锥面、球面、 圆环面等)组成，大多数机械零件属于这一类；第 二类由以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由 型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零 件，而这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不 能表达清楚的。
图2.1
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如果对上面三点分别赋予参数u=0，0.5，1，则可 得过这3点的一条惟一的参数二次曲线，表达式为：
P(u)=2(u-0.5)(u-1)P -4u(u-1)P +2u(u-0.5)P2 0 1
其中P , P , P2分别为三点的位置矢量。 0 1
只要三点间的相对位置保持不变，无论将其怎样 同时旋转和平移，所决定的参数二次曲线方程形 式上都不会改变。虽然3个点的位置矢量的坐标 分量发生了改变，但在方程中并不反映出来。方 程所表达的曲线形状也保持不变。图形如图2.2所 示
边矢量 贝齐尔基函数
f 其中，n,i (u)是Bezier基函数。
f n ,0 (u ) 1, (u )i d i 1 (1 u ) n 1 , f n ,i (u ) (i 1)! dt i 1 u i0 i 1, 2, , n
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B样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状 的描述问题。然而，将其应用于圆锥截线及初等解 析曲面却是不成功的，都只能给出近似表示。为此 ，1975年美国锡拉丘兹(Syracuse)大学的弗斯普里 尔(Versprille)在他的博士论文中首先提出了有理B样 条方法。以后，主要由于皮格尔（Piegl)、蒂勒 (Tiller)和法林(Farin)等人的功绩，至20世纪80年代 后期，非均匀有理B样条(Non Uniform Rational B spline，简称NURBS)方法成为用于曲线曲面描述的 最广为流行的数学方法。
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法国雷诺(Renault)汽车公司的贝齐尔(Bezier)于 1971年发表了一种由控制多边形定义曲线的方法。 设计员只要移动控制顶点就可方便地修改曲线的形 状，而且形状的变化完全在预料之中，贝齐尔方法 简单易用，又出色地解决了整体形状控制问题。为 CAGD的进一步发展奠定了坚实基础 。 贝齐尔方 法仍存在连接问题，还有局部修改问题。稍早于贝 齐尔，在法国雪铁龙 (Citroen) 汽车公司工作的德卡 斯特里奥 (de Casteljau) 也曾独立地研究发展了同样 的方法，但结果从未公开发表。
3.1 贝齐尔曲线的定义与性质
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3.1.1 贝齐尔曲线的定义 n次贝齐尔曲线由n+1个顶点构成的特征多边形 确定。特征多边形大致勾画出了对应曲线的形状。 图3.1中为一条3次Bezier曲线，其控制顶点依次为 V0 ,V1 ,V2 ,V3
图3.1 三次Bezier曲线
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目前在本领域内出现、研究并取得进展的其他 造型方法还有：自由变形造型、偏微分方程构造曲 面、能量优化法曲线曲面造型、细分曲面造型等。 它们部分目前已应用于商业CAD/CAM系统，可以 预见不久的将来它们将获得更为广泛的应用。
图例：一个二次B样条曲线图案（细分方法）
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自由型曲线
图例：自由型曲面（CC细分法）
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2.曲线曲面参数表示的基础知识
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2.1 曲线和曲面的表示方法 1．显式表示 y=f(x)，z=f(x，y)。 2．隐式表示 f(x,y)=0，f(x,y,z)=0。 3．参数表示 P(t)=[x(t)，y(t)，z(t)]， S(u,v)=[x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)]
n=5 时的Bezier基函数
1.3 其他一些重要进展与趋向
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当今大部分CAD系统中的曲面都定义在矩形域 上。其主要原因要追溯到曲面设计方法的最初应用 上。当初设计的汽车与飞机机身等物体的外形曲面 均具有内在的矩形结构。这导致早期系统都围绕矩 形曲面片建立。后来，在一些更复杂的零件造型中 ，矩形曲面片与矩形拓扑的局限性就暴露出来。N 边曲面片特别是三边曲面片成为一个广泛研究的课 题。
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1964年，美国麻省理工学院(Massachusetts Institute 0f Technology,简称MIT)的孔斯(Coons)发 表了一个具有一般性的曲面描述方法。但它与 弗格森曲面片一样都存在形状控制与连接问题。 同年，舍恩伯格(schoenberg)提出的样条函 数提供了解决连接问题的一种技术，样条方法用 于解决插值问题，在构造整体上达到某种参数连 续阶(指可微性)的插值曲线、曲面时是很方便的 ，但不存在局部形状调整的自由度，而且样条曲 线和曲面的形状难以预测。
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1971年英国的福里斯特(Forrest)曾给出了含 义与CAGD大致相同的另一名称——计算几何 (Computational Geometry)，定义为形状信息的计 算机表示、分析与综合。但是由于“计算几何” 同时也用于另外一门介绍关于几何搜索、凸包、 近似、相交等算法的学科，因此为避免“计算几 何”这一名称的二义性，这里沿用计算机辅助几 何设计这一学科名称。
计算机辅助几何设计
厦门大学 曾晓明 教授
助教 杨军
1. 课程简介
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计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design，简称CAGD)这一术语1974年由巴恩希尔 (Barnhill)与里森费尔德(Riesenfeld)在美国犹他(Utah) 大学的一次国际会议上提出，以描述计算机辅助设 计(CAD)的更多的数学方面，为此加上“几何”的 修饰词，在当时，其含义包括曲线、曲面和实体的 表示，及其在实时显示条件下的设计，也扩展到其 他方面，例如四维曲面的表示与显示。自此以后， 计算机辅助几何设计开始以一门独立的学科出现。
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由于各种原因，有许多零件未采用CAD系统描述 ，有必要自动地生成它们的几何模型，以便能像处 理别的几何模型那样处理它们。这个准重构过程常 被称为反向工程或逆向工程(reverse engineering) 。在反向工程里，物理零件首先被测量，所生成的 数字化数据随后通过某种算法被转换成为几何模型 ，这也是目前本学科领域内研究的热点问题之一。
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参数表示的突出优点：
（1）曲线的边界容易确定。 （2）易于进行各种变换。 （3）易于处理斜率为无穷大(如垂线)的情形。 （4）表示能力强。 （5）具备从低维到高维的推广能力。 （6）一定条件下具有几何不变性。
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所谓几何不变性，简单地说就是方程所表示的曲 线曲面与坐标系的选择无关。当用有限的信息决定 一个形状(例如3个点决定一条抛物线)时，如果这些 点的相对位置确定，所决定的形状也就固定下来， 它不应随所取的坐标系的改变而改变。若采用显函 数表示，就不具有这样的性质。 例2.1给定三个点(0，0)，(1，1/2)，(2，0)决定了唯 一的二次多项式函数 y 0.5x2 x 其图形如图2.1所 示
1.2 形状数学描述的发展主线（历史回顾）
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自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图 方法表达清楚，成为工程师们首先要解决的问题。 1963年，美国波音(Boeing)飞机公司的弗格森 (Ferguson)首先提出将曲线曲面用参数方程表示。 他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四 角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双 三次曲面片。弗格森所采用的曲线曲面的参数形式 从此成为形状数学描述的标准形式。
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以上表示方法各有优缺点，显式表示中横纵坐 标的对应关系直观明确，但是不能表示多值曲线。 隐式表示坐标对应关系不直观，但是很容易判断一 个点是在一条封闭曲线的内部还是外部。参数表示 易于对曲线曲面上的点求值而且可以表示多值曲线 。本课程将主要采用参数表示法。
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