洛阳市名校2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题含解析

洛阳市名校2019-2020学年数学高二下期末教学质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（ ） A ．4
5A 种 B ．4
5C 种
C ．45种
D ．54种
【答案】D 【解析】 【分析】
5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法． 【详解】
每个乘客都有4种选法，共有54种，选D 【点睛】
每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法 2．在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
被圆3ρ=截得的弦长为（ ） A ．22 B ．2
C ．25
D ．23
【答案】C 【解析】
试题分析：将极坐标化为直角坐标可得22x y +=和2
2
9x y +=，圆心到直线的距离22
22
d =
=，故29425L =-=，所以应选C.
考点：极坐标方程与直角坐标之间的互化．
【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.本题在解答时充分利用题设条件，运用
将极坐标方程转化为直角坐标
方程，最后通过直角坐标中的运算公式求出弦长，从而使问题巧妙获解. 3．设(1)24i z i +=-，则2
z = （ ） A 10 B ．10
C ．10
D ．100
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z 为a bi +的形式，然后求得2z 的表达式，进而求得2
z .
()()()()
2412413111i i i z i i i i ---===--++-，2216986z i i i =++=-+，210z =.故选B. 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题. 4．已知,a b 为实数，则“2ab b >”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
分析：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，即可判断关系． 详解：由0a b >>，则2ab b >成立，反之：如2,1a b =-=-，则0a b >>不成立， 所以“2ab b >”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选B ．
点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，
(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.）
A ．17
B ．23
C ．34
D ．46
【答案】B 【解析】
分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数. 详解：由题得=300=10μσ，，
所以300-2030020)(280320)0.9545P
P （ξξ≤≤+=≤≤=， 所以10.9545
(320)0.0232
P x ->=
≈， 所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解. 6．在等差数列{}n a 中，1236a a a ++=，则2a 为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【分析】
由等差数列性质，得123236a a a a ++==，问题得解. 【详解】
{}
n a 是等差数列，∴1322a a a +=，
∴123236a a a a ++==，
解得22a =. 故选：A 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，属于基础题. 7．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取
,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8．下列说法错误的是（ ）
A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B ．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好
C ．线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点
D ．在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好
对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线
ˆˆˆy
bx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C. 9．已知是虚数单位，若
，则的共轭复数等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
通过分子分母乘以分母共轭复数即可化简，从而得到答案. 【详解】 根据题意
，所以
，故选C.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度较小.
10．已知3,2a b ==，且()
a a
b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．1 B 2
C ．
3
2
D 2 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由()
a a
b ⊥-推导出()
2
0a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3
cos ,2
a b =
，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.
详解：
3,2a b ==，且()
a a
b ⊥-，
()
2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，
3cos ,2
a b ∴=
， ∴向量a 在向量b 方向上的投影为33cos ,322
a a
b =⨯=，故选C.
点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)
求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.
11．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( ) A ．假设三内角都大于060 B ．假设三内角都不大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060 D ．假设三内角至多有两个大于060
【答案】B 【解析】 【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案. 【详解】
假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B. 【点睛】
本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 12．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 (单位:千瓦·时)与气温 (单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：
（单位：
）
17 14 10 -1
（单位：千瓦时）
24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（ ）
A ．56千瓦时
B ．36千瓦时
C ．34千瓦时
D ．38千瓦时
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将代入可得出的值，即为
所求结果。

【详解】
由题意可得，，
由于回归直线过样本的中心点，则，得，
回归直线方程为，当时，（千瓦时），故选：B.
【点睛】
本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点这一结论，考查计算能
力，属于中等题。

二、填空题：本题共4小题
13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.
【答案】1 3
【解析】
【分析】
利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】
由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为
3
11
2
21
(1)()|
33
S x dx x x
=-=-=
⎰，
由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为
1
1
3
113 p==
⨯
．
【点睛】
本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
14．在极坐标系中，已知(2,0)
A到直线l：sin()
4m
π
ρθ-=，(0)
m>的距离为2，则实数m的值为
__________． 【答案】1 【解析】 分析：sin 4m πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
可化为0x y -+=
，利用点)
A 到直线l ：sin 4m πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
(0)m >的距离为2，求出m 的值.
详解：sin 4m πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
可化为0x y -+=，
点)
A
到直线l ：sin 4m πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，(0)m >的距离为2，
2=，
又
0m >，
1m ∴=.
故答案为：1.
点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法
(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．
使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
15．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.
【答案】) 【解析】
分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得2
22
33cos 22
VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ， 连接,,VD CD VC
，则VD VC ==
VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，
可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<， 在三角形VDC 中由余弦定理可得，
22
22cos VC a VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
22
33cos 22
a a VDC =
-∠ 220303VC a VC a <<⇒<<，
即VC 的取值范围是()
0,3a ， 为故答案为()
0,3a .
点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.
16．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________ 【答案】23
π
【解析】 【分析】
由正六棱柱的几何特征可得ABC ∠为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，根据正六边形的内角计算即可. 【详解】 解：如图，
由正六棱柱的几何特征可知11,BB AB BB CB ⊥⊥， 则ABC ∠为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，
2263
ABC πππ∴∠=-
=. 故答案为：23
π. 【点睛】
本题考查二面角的求解，关键是要找到二面角的平面角，是基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知动圆M 既与圆1C ：2240x y x ++=外切，又与圆2C ：224960x y x +--=内切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.
【答案】22
13632x y +
= 【解析】
【分析】
化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心M 的轨迹方程． 【详解】
1C ：()2224x y ++=，2C ：()2
22100x y -+=，
设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，
则1121222
12410MC r MC MC C C MC r
⎧=+⎪⇒+=>=⎨
=-⎪⎩， ∴M 是以1C 、2C 为焦点，长轴长为12的椭圆， ∴221236a a =⇒=，22232b a c =-=，
∴所求轨迹方程为22
13632
x y +
=.
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，本质考查椭圆定义求方程，考查数形结合思想和运算求解能力．
18．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=
3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 【答案】（1）023ρ=l 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+=；（2）4cos (
)4
2
π
π
ρθθ=≤≤
【解析】 【分析】
（1）先由题意，将0=3
θπ
代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】
（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，
所以004sin 4sin 233
π
ρθ===；
即(23,
)3
M π
，所以tan
33
OM k π
==，
因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直， 所以直线l 的直角坐标方程为3
(4)y x =-
-，即340x y +-=； 因此，其极坐标方程为cos 3sin 4ρθρθ+=，即l 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+=；
（2）设(,)P x y ，则OP y k x =
， 4
AP y k x =-， 由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP
k k =-，故2
214y x x
=--，整理得2240x y x +-=，
因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，
所以，P 点轨迹的极坐标方程为2
4cos 0ρρθ-=，即4cos (
)4
2
π
π
ρθθ=≤≤
.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
19．如图（1）.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE BC ∥，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图（2）.
（1）求证：BC ⊥平面1A DC ；
（2）当点D 在何处时，三棱锥1A BCD -体积最大，并求出最大值； （3）当三棱锥1A BCD -体积最大时，求BE 与平面1A BC 所成角的大小.
【答案】（1）见解析（2）点D 位于AC 中点时，三棱锥1A BCD -体积最大，最大值为9
2
（3）10arcsin 【解析】 【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理证明；
(2)将三棱锥的体积表示成某个变量的函数，再求其最大值；
(3)先找出线面角的平面角，再解三角形求角.
【详解】
（1）证明：∵AD BC ⊥，DE BC ∥，
∴AD DE ⊥，因此1A D
DE ⊥， 所以1A D BC ⊥，
又∵BC DC ⊥，1A D
DC D = ∴BC ⊥平面1A DC ；
（2）解：设DC x =，则16A D x =-，
由（1）1A D BC ⊥，又因为1A D CD ⊥，BC CD C ⋂=，
∴1A D ⊥平面BCD ； 所以1211(3)932
A BCD BCD x V S A D -∆--+=⋅=， 因此当3x =，即点D 位于AC 中点时，
三棱锥1A BCD -体积最大，最大值为
92
； （3）解：如图，联结1AA ，
由于1190A DC A DA ∠=∠=︒，且1A D AD CD ==，
∴1
90AAC ∠=︒，即11AA A C ⊥， 因此1ABA ∠即为BE 与平面1A BC 所成角，
∵132AA =35AB =∴110sin 5
ABA ∠=， 所以110arcsin
5ABA ∠=，
即BE 与平面1A BC 所成角的大小为arcsin
5
. 【点睛】 本题考查线面垂直的证明和体积的最值以及求线面角，属于中档题.
20．已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+++，a R ∈. （1）若1a =，求函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）讨论()f x 的单调性.
【答案】（1）620x y --=；（2）当0a ≥时，()f x 的递增区间是(0,)+∞，当0a <时，()f x 的递增区间是1(0,)2a -，递减区间是1(,)2a -+∞. 【解析】
【分析】
（1）求出()f x '，当1a =时，求出(1),(1)f f '
，写出切线的点斜式方程，整理即可；
（2）求出()f x 的定义域，()0f x '≥（或()0f x '≤）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立，得到()f x 单调区间，若不恒成立，求解()0,()0f x f x ''<>，即可得到结论.
【详解】
（1）1()2(21)f x ax a x
'=+
++， 当1a =时，1()23f x x x '=++，(1)6,(1)4f f '∴==， 函数()y f x =的图像在点()1,4处的切线方程为46(1)y x -=-，
即620x y --=；
（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，
212(21)1(21)(1)()2(21)ax a x ax x f x ax a x x x
+++++'=+++==， 当0a ≥时，()0f x '>在(0,)+∞恒成立，()f x 的递增区间是(0,)+∞，
当0a <时，11()0,0,()0,22f x x f x x a a
''><<-<>-， ()f x 的递增区间是1(0,)2a -，递减区间是1(,)2a
-+∞， 综上，当0a ≥时，()f x 的递增区间是(0,)+∞，
当0a <时，()f x 的递增区间是1(0,)2a -，递减区间是1(,)2a
-+∞.
【点睛】
本题考查导数几何意义，利用导数求函数的单调性，考查分类讨论思想，以及计算求解能力，属于中档题. 21．在圆224x y +=上任取一点M ，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足.3DN DM =
，当点M 在圆上运动时，
（1）求N 点的轨迹T 的方程；
（2） 若(2,0)A ，直线l 交曲线T 于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥.O 为坐标原点，点P 满足2OP OE OF =+，证明直线l 过定点，并求直线AP 的斜率的取值范围. 【答案】 (1) 22143x y +=
. (2),5656⎡-⎢⎣⎦
. 【解析】
试题分析：
（1）由相关点法得到M(x 0,y 0),N （x,y ），则x=x 0
0y （2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据条件结合韦达定理得到27k t =-，2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，AP k = 217878k k k k
=++，进而求得范围. 解析：
(1) 设M(x 0,y 0),N （x,y ），则x=x 0
0,代入圆方程有22143x y +=. 即为N 点的轨迹方程.
(2)当直线l 垂直于x 轴时,由2223412
y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=, 解得27x =或2,此时2,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,直线AP 的斜率为0； 当直线l 不垂直于x 轴时,设()()1122,,,E x y F x y ,直线l :y kx t =+(2t k ≠-),
由223412
y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 整理得()2223484120k x ktx t +++-=, 依题意()()
2222644344120k t k t ∆=-+->,即22430k t -+>(*), 且122834kt x x k +=-+,2122
41234t x x k -=+, 又AE AF ⊥,所以
()()()()()()121212122222AE AF x x y y x x kx t kx t ⋅=--+=--+++ 2227416034t k kt k ++==+, 所以227416
0t k kt ++=,即()()7220t k t k ++=,解得27k t =-
满足(*), 所以2OP OE OF =+ ()1212,x x y y =++= 2286,3434kt t k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,故2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 故直线AP 的斜率22233344846234AP t t k k kt k kt k
+==-=++--+ 217878k k k k =++, 当0k <时,78414k k +≤-,此时14056
AP k -≤<； 当0k >时,78414k k +
≥,此时14056AP k <≤； 综上,直线AP 的斜率的取值范围为1414,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
22．如图，三棱柱ABC-111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AB=AC=2，C 1C =4，D 为BC 的中点
（I ）求证：AC ⊥平面AB 11B A ；
（II ）求证：1A C ∥平面AD 1B ；
（III ）求平面1ADB 与平面11ACC A 所成锐二面角的余弦值
【答案】（Ⅰ）见解析（II ）见解析（III ）
23
【解析】
【分析】
（I ）C 1C ⊥平面ABC ，得A 1A ⊥平面ABC ，从而A 1A ⊥AC ，再结合已知可证得线面垂直；
（II ）连接1A B ，与A 1B 相交于点O ，连接DO ，可证DO ∥1A C ，从而证得线面平行；
（III ）以1,,AB AA AC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面1ADB 和平面11ACC A 的法向量，由法向量的夹角余弦值求得二面角的余弦值．
【详解】
（I ）∵C 1C ⊥平面ABC ，A 1A ∥C 1C
∴A 1A ⊥平面ABC ，
∴A 1A ⊥AC
又AC ⊥AB ，AB∩A 1A =A
∴AC ⊥平面AB 11B A ·
（II ）连接1A B ，与A 1B 相交于点O ，连接DO
∵D 是BC 中点，O 是1A B 中点，
则DO ∥1A C ，
1
AC ⊄平面AD 1B ，DO ⊂平面AD 1B ∴1A C 平面AD 1B
（III ）由（I ）知，AC ⊥平面AB 11B A ，A 1A ⊥AB
如图建立空间直角坐标系A-xyz·
则A （0，0，0），B （2，0，0），1B （2，4，0），D （1，0，1），AD =（1，0，1），1AB =（2，4，0） 设平面AD 1B 的法向量为n =（x,y,z ），则
1··n AD n AB ⎧⎪⎨⎪⎩
，即0240x z x y +=⎧⎨+=⎩ 取y=1，得n =（-2，1，2）
平面AC 11C A 的法向量为AB =（2，0，0）
Cos<n ,AB >=·n AB n AB =-23
· 则平面AD 1B 与平面AC 11C A 所成锐二面角的余弦值为
23 【点睛】
本题考查线面垂直的判定与线面平行的判定，考查用向量法求二面角．立体几何中线面间的平行与垂直一般用判定定理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解．。