高三数学二轮专题复习课后强化作业 6-1不等式与线性规划含详解

基本素能训练
一、选择题
1．（文）(2013·浙江理，2)设集合S＝{x｜x>－2｝，T＝{x|x2＋3x－4≤0},则（∁R S)∪T＝( )
A．(－2，1］B．（－∞,－4]
C．(－∞，1] D．［1,＋∞)
[答案] C
[解析］由条件易知∁R S＝{x｜x≤－2｝，T＝｛x｜－4≤x≤1}，所以∁R S∪T＝{x｜x≤1｝．
（理)(2013·江西文，6)下列选项中，使不等式x＜错误!＜x2成立的x的取值范围是( ）
A．（－∞，－1) B．（－1，0)
C．(0，1) D．（1，＋∞)
[答案] A
[解析] 由错误!>x知错误!－x〉0，错误!〉0即x（1－x2)〉0，所以x 〈－1或0〈x<1；由错误!〈x2知错误!－x2〈0,错误!<0,即x(1－x3)<0，所以x〈0或x〉1，所以x<错误!〈x2的解集为x<－1，选A。

2．(文)a,b,c∈R，下列结论成立的是( ) A．若a〉b，则ac2〉bc2
B．若错误!>错误!,则a>b
C．若a3〉b3，ab>0，则错误!〈错误!
D．若a2〉b2,ab>0,则1
a〈错误!
[答案］C
［解析］∵a3>b3，ab>0，
∴a〉b>0或0>a〉b，∴错误!〈错误!。

（理)（2012·西城模拟)已知a、b∈R，下列四个条件中，使a>b 成立的必要而不充分的条件是（）
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a｜>|b｜D．2a〉2b
［答案］A
［解析］∵a〉b，b〉b－1，∴a>b－1，
但当a>b－1时，a>b未必成立，故选A。

[点评］a>b＋1是a〉b的充分不必要条件，2a>2b是a>b的充要条件；｜a|〉｜b｜是a>b的既不充分也不必要条件．3．(2012·青岛一模）已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则错误!的
最小值为（ ）
A.14
B ．4 C.错误!
D ．2 [答案］ C
[解析] ∵a >0,b >0，∴4＝2a ＋b ≥2错误!，
∴ab ≤2，∴错误!≥错误!，等号在a ＝1，b ＝2时成立．
4．（2013·哈六中三模)在坐标平面内，不等式组错误!所表示的平面区域的面积为（ ）
A ．2错误!
B 。

错误! C.错误!
D ．2 ［答案] B
[解析］ 通过解方程组可得A (－错误!，错误!），B (2,3)，C (0，－
1),E （0,1)，如图可知，S △ABC ＝S △ACE ＋S △BCE ＝错误!×|CE ｜×（x B －x A )＝错误!.
5．(文)若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．[2,＋∞）B．（－∞，－6］
C．［－6,2］D．（－∞，－6]∪[2，＋∞)
[答案] D
(理）已知函数f（x)＝错误!则满足不等式f(3－x2）〈f(2x)的x的取值范围为（)
A．(－3，－错误!）B．（－3,1）
C．[－3，0) D．（－3，0）
[答案］D
[解析］当错误!时，满足2>x2－3＋2，∴x∈∅；
当错误!时，满足2<－2x＋2，∴－错误!≤x〈0；
当错误!时，满足x2－3＋2<－2x＋2，
∴－3<x 〈－错误!.
综上可知x 的取值范围为(－3,0)．
6．（文）(2012·西安八校联考）若实数x 、y 满足不等式组错误!则w ＝错误!的取值范围是( )
A ．［－1，错误!]
B ．[－错误!，错误!］
C ．［－12
，＋∞） D ．[－错误!,1)
[答案］ D
［解析］ 作出不等式组表示的平面区域如图所示．据题意，即求点M (x ，y )与点P （－1,1）连线斜率的取值范围．
由图可知w min ＝错误!＝－错误!,w max 〈1,
∴w ∈［－错误!，1)．
（理）（2012·日照模拟）如果不等式组错误!表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（ ）
A.错误!或错误!
B.错误!或错误!
C.1
5
或错误!D。

错误!或错误!
[答案］C
［解析] 画出错误!表示的平面区域，直线kx－y＋1＝0过定点（0,1）,则k＝0或k＝－错误!，
如图所示:A(错误!，错误!)，B(错误!，1），
∴所求三角形的面积为1
5
或错误!.
二、填空题
7．已知b〉0,直线b2x＋y＋1＝0与ax－（b2＋4）y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．
[答案］4
［解析] ∵k1＝－b2，k2＝
a
b2＋4，
∴k1·k2＝－错误!＝－1，∴ab2＝b2＋4,
∴ab＝b＋错误!≥2错误!＝4（b＝2时取等号）．
8．设变量x、y满足约束条件错误!则目标函数z＝x2＋y2的最大值为________．
［答案］41
[解析］约束条件错误!画出可行域如图，
易知x＝4，y＝5时,z有最大值，z＝42＋52＝41.
三、解答题
9．(2013·杭州质检）已知函数f(x)＝－x3＋ax(a〉0)．
（1)当a＝1时，求过点P（－1,0）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；
（2)当x∈［0，1］时，不等式错误!x－错误!≤f(x)≤错误!x＋错误!恒成立，求a的取值集合．
[解析] (1)a＝1时，f(x）＝－x3＋x，则f′（x)＝－3x2＋1，
设切点T (x 0，y 0），则f ′(x 0)＝－3x 错误!＋1,
∴切线方程为y －y 0＝f ′（x 0）(x －x 0),
即y －(－x 30＋x 0)＝（－3x 错误!＋1）(x －x 0)．
把(－1，0)代入得（x 0＋1)2（2x 0－1)＝0,
∴x 0＝－1或x 0＝12。

当x 0＝－1时，切线方程为y ＝－2x －2;
当x 0＝错误!时，切线方程为y ＝错误!x ＋错误!。

(2)不等式错误!x －错误!≤f (x ）≤错误!x ＋错误!，
即错误!x －错误!≤－x 3＋ax ≤错误!x ＋错误!，
①当x ＝0时，不等式显然成立．
②当x ∈（0,1］时，不等式化为错误!－错误!＋x 2≤a ≤错误!＋错误!＋x 2，
设g （x )＝14－14x
＋x 2, h (x )＝错误!＋错误!＋x 2， 则g ′(x ）＝错误!＋2x 〉0，∴g (x )在(0,1］上单调递增,
∴g （x )max ＝g （1)＝1，h ′(x ）＝错误!，
∴h (x ）在（0，错误!］上单调递减，在(错误!，1］上单调递增,
∴h （x ）min ＝h (12
）＝1，
∴1≤a≤1，∴a＝1.
综上知,a的取值集合为｛1｝。

能力提高训练
一、选择题
1．(2012·东北三校联考)设全集U＝R，集合A＝｛x｜2x－x2>0｝，集合B＝{y|y＝e x＋1}，则A∩B＝( )
A．{x|1≤x〈2｝B．{x｜x>2}
C．｛x|x〉1｝D．{x|1〈x<2}
［答案] D
[解析］∵A＝｛x｜0〈x〈2}，B＝｛y｜y>1},
∴A∩B＝｛x｜1〈x〈2｝．
2．(2013·重庆文，7）关于x的不等式x2－2ax－8a2〈0(a>0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝（）
A。

错误! B.错误!
C.15
4
D。

错误!
[答案］A
[解析] ∵a〉0,∴不等式x2－2ax－8a2〈0化为(x＋2a)（x－4a）〈0，∴－2a〈x〈4a，
∵x2－x1＝15,∴4a－(－2a）＝15，∴a＝错误!.
3．（2013·天津文，7)已知函数f(x）是定义在R上的偶函数，且在区间［0,＋∞）上单调递增，若实数a满足f(log2a）＋f(log错误!a)≤2f （1）,则a的取值范围是（)
A．[1,2］B．(0,错误!]
C．[错误!,2］D．(0,2］
[答案］C
[解析] 因为log错误!a＝－log2a,所以f（log2a）＋f(log错误!a）＝f(log2a）＋f(－log2a）＝2f(log2a），原不等式变为2f(log2a）≤2f（1)，即f(log2a）≤f(1)，又因为f（x)是定义在R上的偶函数，且在[0,＋∞)上递增，所以|log2a｜≤1，即－1≤log2a≤1,解得错误!≤a≤2，故选C.
4．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R;命题乙：0<a 〈1,则命题甲是命题乙成立的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 若a＝0，则不等式ax2＋2ax＋1>0恒成立，即解集是R；若a≠0，则不等式ax2＋2ax＋1>0的解集是R时,a〉0且4a2－4a<0，即0〈a〈1，故不等式ax2＋2ax＋1〉0的解集是R时，0≤a〈1.所以
甲是乙的必要不充分条件．
5．(文）若直线2ax＋by－2＝0(a、b∈R）平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则错误!＋错误!的最小值是（）
A．1 B．5
C．4错误!D．3＋2错误!
[答案] D
[解析］直线平分圆,则必过圆心．
圆的标准方程为（x－1)2＋（y－2)2＝11。

∴圆心C(1,2）在直线上⇒2a＋2b－2＝0⇒a＋b＝1。

∴错误!＋错误!＝(错误!＋错误!)(a＋b)＝2＋错误!＋错误!＋1＝3＋错误!＋
错误!≥3＋2错误!，故选D.
(理)已知命题P：∃a、b∈（0，＋∞），当a＋b＝1时，错误!＋错误!＝3;命题Q：∀x∈R，x2－x＋1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是（）
A．（P）∨（Q）B．(P）∧(Q)
C．(P)∨Q D．（P)∧Q
［答案］B
［解析] 对命题P：由于(错误!＋错误!)·(a＋b）＝2＋错误!＋错误!≥2＋2错误!＝4，当且仅当a＝b＝错误!时取得等号,故错误!＋错误!＝3为假命
题；命题Q：由于x2－x＋1＝(x－1
2
)2＋错误!≥0，故命题为真命题．从
而P真,Q为假,故(P）∧（Q）为假．
6．（文）(2013·东北三校联考）如果实数x、y满足错误!目标函数z＝kx＋y的最大值为12，最小值为3,那么实数k的值为( ) A．－2 B。

错误!
C．2 D．不存在
[答案］C
［解析] 作出不等式组表示的可行域如图．可行域中的最优解可能是A(5,2），B(1，错误!），C(1，1）．若k＝－2，目标函数z＝kx ＋y取得最大值的最优解是B（1，错误!），取得最小值的最优解是A(5，2),有12＝－2×1＋错误!成立与3＝－2×5＋2不成立，排除选项A.若k＝2，目标函数z＝kx＋y取得最大值的最优解是A（5，2)，取得最小值的最优解是C（1，1），有12＝12×5＋2与3＝2×1＋1都成立,所以选C。

（理）(2013·惠州调研）已知A（3，错误!)，O是原点，点P（x，y）的坐标满足错误!若z为错误!在错误!上的投影,则z的取值范围是（）A．[－错误!，错误!] B．[－3,3]
C．［－错误!，3］D．［－3，错误!]
［答案] B
［解析] z＝错误!＝|错误!｜cos∠AOP＝2错误!cos∠AOP，∵∠AOP∈［错误!,错误!］，∴当∠AOP＝错误!时，z max＝2错误!cos错误!＝3；当∠AOP＝错误!时，z min＝2错误!cos错误!＝－3，∴z的取值范围是[－3，3]．
二、填空题
7．（文）（2013·合肥质检）不等式组错误!表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k＝________。

［答案] ±1
[解析］本题可以通过画图解决，如图直线l:x－ky＋k＝0过定点（0，1)．当k＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．
（理）(2012·东北三校联考）已知O是坐标原点，点A（－1，－2)，若点M（x，y）是平面区域错误!上的一个动点，使错误!·(错误!－
错误!)＋错误!≤0恒成立，则实数m的取值范围为________．[答案] （－∞,0)∪[错误!，＋∞）
［解析] 不等式组错误!表示的平面区域为图中阴影部分,∵
错误!·（错误!－错误!)＝错误!·错误!，要使错误!·错误!＋错误!≤0恒成立，即错误!≤－错误!·错误!恒成立，令t＝－错误!·错误!，只要错误!≤t min即可,由图知
错误!·错误!〈0，当M与点B（1，1）重合时,t min＝3,∴错误!≤3，∴m〈0或m≥错误!。

8．(文）(2012·杭州模拟)设x,y∈R，a〉1，b>1，若a x＝b y＝3,a ＋b＝2错误!,则错误!＋错误!的最大值为________．
［答案］1
[解析] ∵a x＝b y＝3，
∴x＝log a3，y＝log b3,
∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝log3a＋log3b
＝log3ab≤log3(错误!）2＝1，当且仅当a＝b＝错误!时等号成立．故错误!＋错误!的最大值为1.
(理)（2012·龙岩质检)在平面直角坐标系中,不等式组错误!(a>0）表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域,则m 的最大值是________．
［答案] 错误!
[解析］易求得A(a，2a)，B（a，－错误!）,由条件得错误!×［2a－(－错误!）］×a＝5,
∴a＝2。

∴A（2,4)，B(2，－1)，
直线mx－y＋m＝0过定点P（－1,0），k PA＝4
3
，k PB＝－错误!,
∴－错误!≤m≤错误!，∴m的最大值为错误!。

三、解答题
9．（文)(2012·汕头模拟）已知函数f(x)＝错误!ax3－错误!x2＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0）＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1）求a,c,d的值；
（2)若h(x）＝错误!x2－bx＋错误!－错误!，解不等式f′(x)＋h(x）〈0。

[解析] (1)∵f（0)＝0，∴d＝0，
∵f′(x)＝ax2－错误!x＋c.
又f′（1）＝0，∴a＋c＝错误!.
∵f′(x）≥0在R上恒成立，
即ax2－错误!x＋c≥0恒成立，
∴ax2－错误!x＋错误!－a≥0恒成立,
显然当a＝0时，上式不恒成立．
∴a≠0,∴错误!
即错误!
即错误!
解得:a＝错误!，c＝错误!.
（2)∵a＝c＝1 4 .
∴f′（x）＝1
4
x2－错误!x＋错误!.
f′（x）＋h(x）<0，
即错误!x2－错误!x＋错误!＋错误!x2－bx＋错误!－错误!〈0，
即x 2－(b ＋错误!）x ＋错误!<0,
即（x －b ）(x －错误!）<0，
当b >12时，解集为（12
，b )，当b <错误!时，解集为(b ，错误!），当b ＝错误!时，解集为∅。

(理)(2012·陕西文,21）设函数f （x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b 、c ∈R ）．
(1)设n ≥2,b ＝1，c ＝－1，证明:f （x ）在区间（错误!，1）内存在唯一零点;
（2）设n 为偶数，｜f （－1)|≤1,｜f （1）|≤1，求b ＋3c 的最小值和最大值；
（3)设n ＝2，若对任意x 1、x 2∈［－1,1］，有|f (x 1）－f （x 2）｜≤4，求b 的取值范围．
［分析］ (1）利用零点存在性定理先判断f (12
）．f （1)的正负，再用导数判断函数的单调性；
（2)利用线性规划或构造不等式均可解决；
(3)对任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有错误!≤4,即f (x )的最大值与最小值的差M ≤4.
[解析] (1）当b＝1,c＝－1，n≥2时，f(x)＝x n＋x－1。

∵f(错误!）f（1)＝（错误!－错误!）×1〈0,
∴f（x）在(错误!,1）内存在零点．
又当x∈（错误!,1）时，f′（x）＝nx n－1＋1〉0，
∴f(x）在（错误!，1）上是单调递增的，
∴f（x)在(错误!，1）内存在唯一零点．
(2)解法1：由题意知
错误!即错误!
作出可行域如图，
由图形知,b＋3c在点（0,－2）处取到最小值－6,
在点(0，0）处取到最大值0，
∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法2：由题意知
－1≤f(1）＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①
－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②
①×2＋②得
－6≤2（b＋c)＋(－b＋c）＝b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0。

解法三：由题意知错误!
解得b＝错误!，c＝错误!，
∴b＋3c＝2f（1）＋f(－1）－3.
又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1）≤1，
∴－6≤b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6;
当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
所以b＋3c的最小值为－6,最大值为0.
(3）当n＝2时，f(x）＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈［－1，1]都有｜f（x1)－f(x2)｜≤4等价于f(x)在[－1，1］上的最大值与最小值之差M≤4。

据此分类讨论如下：
（ⅰ)当|b
2
|〉1,即|b|>2时,M＝|f（1)－f(－1）｜＝2｜b｜〉4，
与题设矛盾．
学必求其心得，业必贵于专精
（ⅱ)当－1≤－错误!〈0,即0〈b≤2时，
M＝f（1)－f（－错误!）＝（错误!＋1)2≤4恒成立．(ⅲ）当0≤－错误!≤1，即－2≤b≤0时，
M＝f(－1)－f（－错误!)＝（错误!－1）2≤4恒成立．综上可知，－2≤b≤2.
注：（ⅱ)，（ⅲ)也可合并证明如下：
用max｛a，b}表示a、b中的较大者．
当－1≤－错误!≤1，即－2≤b≤2时,
M＝max｛f（1)，f（－1)｝－f(－错误!）
＝错误!＋错误!－f(－错误!)
＝1＋c＋｜b｜－（－错误!＋c)
＝（1＋|b｜
2
)2≤4恒成立．
[点评］本题综合考查了零点存在性理论的应用、线性规划及不等式恒成立问题,题目立意新颖,尤其(3）问中的等价转化思想及分类讨论思想的应用体现了本题丰富的数学思维．。