八年级数学三角形全等模型要点

三角形全等模型巩固
三角形全等--------角平分线模型（角平分线做两边垂直、作与角平分线垂直的线段、截长补短、作平行线）
图1 （角平分线做两边垂直）图2（作与角平分线垂直的线段）
图3 截长补短图4截长补短
图5作平行线得到等腰三角形（△OEF为等腰三角形）
1、 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积
相等，求证：AD 平分∠BAC 。

2、如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F
为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。

求证：BE －AC=AE 。

B C A
D E F
F E D
C B
A
图9
3、AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．
求证：AF FB =．
4、如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，
EF AC =． 求证：EF ∥AB （角平分线模型+倍长中线模型）
D
E C F
B A
F
A
C D E B
5、已知：在△ABC 中，B ∠的平分线和外角ACM ∠的平分线相交于,,D DF BC 交AC 于
,,E AB F 交于求证：EF BF CE -=
三角形全等———垂直模型
图1 直角都在腰内图2 直角都在腰内
结论：△ABD全等三角形AOA
DO=DB-CO
结论：△ABE全等△BCD，EC=AB-DC 图3直角都在腰内
图4 两直角在腰外图5 两直角在腰外
结论：△BDC全等△ACO，AO+BD=DO
模型特点：含有等腰直角三角形，三个直角，垂直模型又分为腰在内，腰在外的情况
如图1和图2，三个直角在两等边内侧，AB=AC。

A点过Y轴，两端点作Y轴垂线。

得到△AOC全等△ABD。

如图3，三个直角在两等边内侧，等腰的两个端点，其中一个端点作第三条边的垂线，另外一条边作直角边的垂线。

，得到△ABE全等△BCD
如图4和图5，2个直角在两等边外侧，等腰的两端点分别作X轴的垂线，可得到△AOB全等△BCD
6、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，AB=AC，E是AB的中点，
90
CE⊥BD.
①求证：BE=AD ；
②求证：AC是线段ED的垂直平分线；
③△BCD是等腰三角形吗？请说明理由.
7、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证∠ADC=∠BDE。

三角形全等---倍长中线模型
【基础知识】
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中AD是BC边中线
延长AD到E，使DE=AD，连接BE ，得到△ACD全等△EBD
作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE，得到△CFD全等△BED
延长MD到N，使DN=MD，连接CD，得到△BMD全等△CND
8、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
A
D
9、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．
求证：∠AEF =∠EAF ．
10、.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．
求证：AD 为△ABC 的角平分线．
F
E
D C
B A
G
F
E D C B
A
三角形全等————手拉手模型
模型特点：1、有公共的顶点
2、公共的顶点引出两个等角的等腰三角形
3、两个等腰三角形的端点互相连接
4、（左手拉左手，右手拉右手）
图一图二
图三图四图五
图六图七
结论1:拉手线和顶点围成的三角形全等
结论2：拉手线所围成的角（其中一个角）等于顶角
结论3：拉手线所围成的角的被拉手线的交点和顶点所连接的线段平分
11、如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．
（1）求证：≌ACD BCE ；
（2）求证：ACF BCG ≌
（3） 求证GF 平行BD
12、如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．（1）求证：AE＝DC；
（2）求∠BFE的度数；
（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
三角形全等-------半角模型
图1 图2
模型特点:等腰的直角，内嵌一个45°的角（或者等腰的顶角，内嵌一个顶角一半的角）。

并且腰的两个端点角互补。

通过旋转三角形构造出一对全等的三角形。

如上图1，四边形ABCD为正方形，∠MAN=45°，旋转三角形三角形ADN得到三角形ABF，从而得到△AFM全等△ADM。

或者旋转△ABM得到△ADE，从而得到△AMN全等△AEN。

∠BAE，旋转△BAE得到如上图2，四边形ABCD为不规则的四边形，知道AE=AD，∠EAF=1
2
△AB”D,可以得到△AEF全等△AB”F。

13、如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，
AF ，EF ．
（1）如图①，AB AD =，120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；
（2）如图②，120BAD ∠=︒，当AEF 周长最小时，求AEF AFE +∠∠的度数；
（3）如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、
CD 上，且45EAF ∠=︒，若3BE =，2DF =，请求出线段EF 的长度．
14、如图，ABC 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．
15、如图，AB ＝AD ＝BC ＝DC ，∠C ＝∠D ＝∠ABE ＝∠BAD ＝90°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，过点A 作∠GAB ＝∠FAD ，且点G 在CB 的延长线上．
（1）∠GAB 与∠FAD 全等吗？为什么？
（2）若DF ＝2，BE ＝3，求EF 的长．
三角形全等------一线三等角模型
图一 图二
模型特点：三个等角在一条直线上+一个等腰三角形
16、已知AE ∠AB 且AE =AB ，BC ∠CD 且BC =CD ，点E ，B ，D 到直线l 的距离分别为6，3，4， 求则图中实线所围成的图形的面积
17、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，3）且AO =BO ，∠AOB =90°
求点B 的坐标
C D
E
B
A
18、如图，在∠ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDE＝115°时，∠BAD＝°，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，∠ABD∠∠DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，∠ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于多少时，∠ADE 是等腰三角形．
全等三角形------------对角互补模型
共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。

主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。

解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.
19、如图，在四边形ABCD 中，
,90,AB BC ABC CDA BE AD ︒=∠=∠=⊥于,10ABCD E S =四边形，则BE 的长为____________
20、如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________．
21、如图，∠ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．
（1）当DF∠AC时，求证：BE=CF；
（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。