八年级数学平行四边形、菱形、中心对称图形湘教版知识精讲

初二数学平行四边形、菱形、中心对称图形湘教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
平行四边形、菱形、中心对称图形
教学目标：
1. 知识与技能
（1）能用综合法证明平行四边形的性质，菱形的性质，探索并掌握识别它们的方法及相关题目的证明。

（2）会利用平行四边形和菱形的性质与识别进行简单的说理。

（3）在探索与归纳中，得出中心对称的特征及识别两个图形成中心对称的方法。

（4）掌握并会证明三角形的中位线定理，并能运用三角形中位线定理证明相关的题目。

2. 过程与方法：
（1）经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

（2）重视三角形中位线定理的猜测、探索、证明的过程，为探究能力的提高奠定良好基础。

（3）在具体情境中掌握中心对称的概念，了解中心对称的含义。

（4）从直观的感知，动手操作为主要方式来研究菱形的性质与识别。

（5）体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

3. 情感、态度与价值观
（1）通过对平行四边形、菱形性质的识别与探索，使学生获得成功的体验，增强学习的信心。

（2）通过本节课学习，能主动运用已学知识，对平行四边形、菱形、中心对称、三角形中位线等进行逻辑证明，并能运用这些知识到生活中解决实际问题，体现新课标中学习“生活中的数学”的理念，培养数学应用意识。

二. 重点、难点：
重点：平行四边形、菱形、中心对称、三角形中位线的性质。

难点：平行四边形、菱形的识别及其应用。

知识要点归纳：
（一）平行四边形
1. 平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边分别平行且相等
（2）平行四边形的对角分别相等
（3）平行四边形的对角线互相平分，且对角线的交点为对称中心
2. 平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3. 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（二）中心对称图形
1. 中心对称图形的定义
在平面内，如果一个图形G绕一个点O旋转180°，所得到的像与原来的图形G互相重合，那么图形G叫做中心对称图形，点O叫做图形G的对称中心，此时也可称图形G关于点O对称。

强调指出：中心对称图形是特殊的旋转对称图形，它是旋转180°后能与自身重合的图形。

2. 中心对称图形的特征
中心对称图形中，每一对对应点的连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3. 中心对称图形与中心对称的区别
中心对称是指两个图形的位置关系。

中心对称图形指一个图形的一部分与另一部分的位置关系。

（三）三角形的中位线
1. 三角形中位线的定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

3. 三角形中位线的应用
顺次连结各类四边形中点得到的新四边形与原四边形对角线有关。

例如：菱形的对角线互相垂直，则所得的新四边形是矩形；对角线没有特殊关系的，得到的四边形则都是平行四边形。

（四）菱形
1. 菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

2. 菱形的性质
（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角
（3）菱形既是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点，又是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线
3. 菱形的判定
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形
（3）四条边都相等的四边形是菱形
（五）四边形
1. 四边形的概念
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2. 四边形的分类
凸四边形：把四边形的任一边向两方延长，如果其他各边都在延长线所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，反之则叫凹四边形；以后如果没有特别说明教材中所说的四边
形都是指凸四边形。

3. 四边形的有关概念
（1）四边形的对角线：
在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

（2）四边形的顶点、边、角、外角、周长、面积的定义同三角形概念类似。

（六）两条平行线间的距离
1. 定义
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

2. 夹在两平行线间的平行线段相等。

（七）平行四边形和菱形的面积公式
1. S ah 平行四边形底边长高=⨯=
其中a 是平行四边形任一边长，h 必须是a 边与其对边的距离。

2. 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

3. 菱形的面积计算可用平行四边形面积公式。

4. 菱形的面积还有特别的一个公式：
S ab 菱形=12
其中a 、b 分别表示两条对角线的长。

【典型例题】
（一）平行四边形的性质与判别的综合应用
例1. 如图，平行四边形ABCD 中，E 、G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE ＝CF ，BG ＝DH ，试问：EF 和GH 是否互相平分？为什么？
A H D
E
F
B G C
解：EF 和GH 互相平分 A H D
理由如下：
连结EG 、GF 、FH 、HE
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB
又∵BG ＝DH
∴AD －DH ＝CB －BG
即AH ＝CG
在△AEH 与△CFG 中
AE CF A C AH CG =∠=∠=⎧⎨⎪⎩
⎪
∴≅∆∆AEH CFG SAS ()
∴HE ＝GF
同理可证EG ＝FH
∴四边形EGFH 为平行四边形
∴EF 与GH 互相平分
点评：此题用到了平行四边形的性质和判定，同时还用到了三角形全等的判定，是一道综合知识的几何证明题。

（二）三角形中位线的应用
例2. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、BC 与MN 的延长线交于E 、F ，求证：∠AEM ＝∠
BFM
分析：题中要证的两个角不在同一个三角形中，故我们可以考虑把两个角平移到同一个三角形中，其方法是：连结AC 并取AC 中点P ，再连结PM 、PN ，因此可证得PM ＝PN ，从而可得出∠1＝∠2，再证∠1＝∠AEM ，∠2＝∠BFM
即可证得∠AEM ＝∠
BFM
下面我们写出其详细的证明过程：
证明：连结AC ，并取AC 中点P ，连结PM 、PN
∵M 、N 分别是AB 、CD 的中点
∴PN//AD ，PM//BC
PN AD PM BC ==1212
， 又∵AD ＝BC
∴PN ＝PM
∴∠1＝∠2
又∵∠1＝∠AEM ，∠2＝∠BFM
∴∠AEM ＝∠BFM
点评：此题添加了辅助线，象这样的题目添加辅助线的方法是：当遇到中点或中线时，可考虑是否将中线延长一倍或作中位线，因此本题巧妙地利用中位线，把题中所要证的两个角移到同一个三角形中，从而使问题迎刃而解，希望同学们通过此题真正能够体会这种作辅助线的精妙所在。

（三）中心对称图形
例3. 如图所示的图形是由两个半圆组成的图形，已知点B 是AC 的中点，画出此图形关于点B 成中心对称的图形。

A B C
分析：画一个图形关于某点成中心对称的图形的关键是先画该图形各顶点关于该点成中心对称的点，然后按图形的连结方式将各对称点连结成图。

画法：
1. 在小半圆中，点A 关于点B 的中心对称点为C
2. 在小半圆上，任取一点D 找到关于点B 的中心对称点D’
3. 画弧，即为小半圆关于点的中心对称图形BD C B '⋂
4. 同上方法可画出大半圆关于点B 的中心对称图形
点评：中心对称图形是特殊的旋转对称图形，而中心对称是指两个图形的位置而言。

（四）菱形的性质与判定的综合应用
例4. 如图，在△ABC 中，点P 自点A 向点C 运动，作PE//CB ，交AB 于点E ，作PF//AB ，交BC 于点F ，是否存在点P ，使四边形PEBF 是菱形？若存在，请作出来，并说明理由；若不存在，说明理由。

A
E P
B F C
分析：此题是一道探索性的题目。

从已知条件PE//CB，PF//AB，可得到四边形PEBF 为平行四边形，又由角平分线的性质和平行线的性质，我们很易想到只要作∠B的平分线，就能满足BE＝PE，问题因此得以解决。

解：存在一点P，使四边形PEBF是菱形
只要作∠B的平分线，交AC于点P，点P就能使四边形PEBF为菱形。

理由是：∵PE//BC，PF//AB
∴四边形PEBF是平行四边形
又∵BP平分∠B
∴∠ABP＝∠CBP
∵PE//CB
∴∠EPB＝∠CBP
∴∠ABP＝∠EPB
∴EB＝EP
∴四边形PEBF是菱形
（五）综合知识能力提高题
例5. 两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么样的四边形？
分析：因为这个四边形ABCD的两组对边分别在纸条的边缘上，它们彼此平行，因此是平行四边形，分别以一组邻边为底写出这个平行四边形的面积（底×高），再由纸条等宽
即它们的高相等，便可得到这组邻边相等。

解：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC
∵纸条边缘相互平行
∴四边形ABCD 为平行四边形
∵两张纸条的宽度相等
∴DE ＝DF
又菱形 S AB DE BC DF ABCD =⋅=⋅1212
∴AB ＝BC
∴四边形ABCD 是菱形
点评：此题综合考查了平行四边形的判定，两平行线间的距离相等，及菱形的判定。

例6. 已知：a 4＋b 4＋c 4＋d 4＝4abcd ，以a 、b 、c 、d 为边的四边形是菱形吗？试说明理由。

分析：此题的已知条件是一个代数方程式，而结论则要证明四边形是菱形，因此是一个几何代数综合题。

解： a b c d a b c d 4444
4+++=
∴+-++-++-=()()()a b a b c d c d a b c d abcd 442244222222222240 ∴-+-+-=()()()a b c d ab cd 22222220
()()()a b c d ab cd 2222222000-≥-≥-≥，，
∴-=-=-=()()()a b c d ab cd 22222220020，，
∴===a b c d ab cd 2222，，
又∵a 、b 、c 、d 都是正数
∴a ＝b ＝c ＝d
∴以a 、b 、c 、d 为边的四边形是菱形
点评：此题是用代数的方法解决几何的问题，我们巧妙地运用配方法配成完全平方式，这也是证明四条边相等的一种思路。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题
1. 下列四个命题中，其中正确的个数是（ ）
（1）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
（2）一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
（3）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
（4）对角线交点到各边距离相等的四边形是菱形
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
2. 能够判断一个四边形是菱形的条件是（）
A. 对角线相等且互相平分
B. 对角线相等，且对角相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角相等且一条对角线平分一组对角
3. 过等边三角形一边高线的中点，且平行于该边的直线，将三角形的周长分为（）两部分
A. 1：2
B. 1：4
C. 1：3
D. 以上都不对
4. 如果平行四边形的边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是（）
A. 2<m<14
B. 10<m<22
C. 5<m<10
D. 2<m<22
5. 已知菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的周长为（）
A. 20
B. 10
C. 15
D. 25
6. 菱形中较大角是较小角的3倍，高为5cm，则这个菱形的边长为（）cm
A. 5
B. 52
C. 2
D. 10
7. 在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）
A. 以60cm为一条对角线，20cm，34cm为两条邻边
B. 以6cm，10cm为对角线，8cm为一边
C. 以20cm，36cm为对角线，22cm为一边
D. 以6cm为一条对角线，3cm，10cm为两条邻边
8. 如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC＝BC＋AD，则∠ACB的度数是（）
A D
B C
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
9. 一个n边形的内角和不超过1500°，那么n的最大值是（）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
二. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是BD上两点，且BE＝DF，那么四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？
A D
F
E
B C
三. 如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，且AC＝24，BD＝10，CD＝13
（1）AC、BD有什么位置关系？说明理由。

（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
D C
O
A B
四. 如图所示，菱形OABC的边长为4cm，∠AOC＝60°，动点P从O点出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O点出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB线上以每秒2厘米的速度沿O→A→B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y厘米，请回答下列问题：
（1）当x＝3时，y的值是多少？
（2）就下列各种情形，求y与x之间的关系式？
①0≤x≤2 ②2≤x≤4
③4≤x≤6 ④6≤x≤8
O P A
①②
③④
【试题答案】
一. 选择题
1. C
2. D
3. A
4. B
5. A
6. B
7. C
8. C
9. B
二. 解：四边形AECF 是平行四边形
理由如下：
连结AC ，交BD 于O
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴OA ＝OC ，OB ＝OD
又∵BE ＝DF
∴OB －BE ＝OD －DF
即OE ＝OF
∴四边形AECF 是平行四边形
三. 解：（1）∵ABCD 是平行四边形
∴==
=O D OB BD 125 OA OC AC ==
=1212 又∵CD ＝13
∴===CD OD OC 22216925144，， ∴=+CD OD OC 222
∴∠=C O D 90
∴⊥AC BD
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC ⊥BD
∴四边形ABCD 是菱形
四. 解：（1）∵OABC 是菱形，∠AOC ＝60° ∴△OAC 是等边三角形
又过P 、Q 的直线平行于AC
∴题图①中阴影部分的三角形也是等边三角形 ∴当x ＝3时，图形如题图②
y cm =⨯-=3318
（2）①当0≤x ≤2时（如题图①） y ＝3OP ＝3x
即y ＝3x
②当2≤x ≤4时（如题图②）
y OP OQ x x x =-=--=+33222() 即y x =+22
③当4≤x ≤6时（如题图③）
y OA AP OQ PB =+-+2()
=--+-=22810x x x ()()
即y ＝10
④当6≤x ≤8时（如题图④）
AQ x x =--=-224212[()]
y AB AQ PB =--3()
=----342128[()]()x x
=-+540x
即y x =-+540
指出：过P 、Q 点作AC 的平行线和菱形两边的交点与点O 构造了两个等边三角形是解此题的关键。