运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析

运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
定理4、最优性
若原问题和对偶问题都有可行解,则它们都有最优解。
最优性判别定理：
若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y*b，则 X*、Y*分别是问题 P和D 的最优解。
定理5、对偶性
若原问题有最优解,则对偶问题也一定有最优解，且目 标函数值相等。
例1、
maxZ x1 2x2 3x3 4x4
（P）
x1 2x2 2x3 3x4 20 2x1 x2 3x3 2x4 20 x14 0
试验证弱对偶性原理。
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
解：
min W 20 y 1 20 y 2
（D）
y1 2 y2 1
2 2
2x1
+x3 3
x1- 2x2 + 3x3 4
x1，x2 0 ， x3 无非负限制
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练习2、已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中 x4、x5为松弛变量。试： （1）写出线性规划原问题。 （2）写出对偶问题。 （3）求对偶问题的最优解。
XB x1 x2 x3 x4 x5 b x3 0 1/2 1 1/2 0 5/2 x1 1 -1/2 0 -1/6 1/3 5/2 δj 0 -4 0 -4 -2
试用对偶性质证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因此，对偶问题 不可行，由定理3推论可知，原问题无界。
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练习：试用对偶理论讨论下列原问题是否有最优解？
（1）
max Z 2 x1 2 x2
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练习1答案 解: 对偶问题为：
max z = y1-2y2 +3y3 +4y4 s.t. y1+ 2y3 + y4 3
2y1 +2y2 - 2y4 -2 -y2+ y3 +3y4 = 1
y2 0 ，y3, y4 0 ，y1 无非负约束
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3y1+ y2 2 5y1+7y2 3 y1 0， y2 0
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例2：写出下列线性规划问题的对 偶问题
min S = 2x1 + 3x2 - 5x3
s.t. x1+ x2 - x3 5
2x1
+ x3 = 4
x1，x2 ， x3 0
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__
可行解，则 C X是（D）的目标函数最小值的一个下界；
是（Y__Pb ）的目标函数最大值的一个上界。
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maxZ x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
2x1 x2 3x3 2x4 20
x14
0
min W 20 y 1 20 y 2
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
决策变量数：n个 第j个变量≥0 第j个变量≤0 第j个变量是自由变量
约束条件数：n个 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“=”
综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情 况之一出现： ①.若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优 解，且目标函数的最优值相等，即有CX* =Y*b； ②. 一个问题无界，则另一个问题无可行解； ③.两个都无可行解。
2、对偶理论与灵敏度分析
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2.1 线性规划的对偶问题的提出 及其数学模型
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例1 生产计划问题（资源利用问题） 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子
售价50元/个，椅子销售价格30/个，生产桌子 和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产 一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产 一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每 个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50 小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售 收入最大？
原问题与对偶问题之间没有严格的 界限，它们互为对偶。
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(P) 例1.1
MaxZ 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t.44
x1 x2
16 12
x1, x2 0
例1.2
(D)
MinW 8y1 16 y2 12 y3 y1 4 y2 2
s.t.2 y1 4 y3 3 y1, y2, y3 0
练习2答案： （1）先求出C1=6,C2=-2,C3=10; 再求出初始单纯形表(A|b)矩阵.于是原问题为：
max Z 6x1 2x2 10 x3
x2 2x3 5
s.t.3x1 x2 x3 10
x1
,
x2 ,
x3
0
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2.2 对偶问题的基本定理
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模型(2.1)和模型(2.2) 既有区别又有 联系。联系在于它们都是关于家具 厂的模型并且使用相同的数据，区 别在于模型反映的内容是不同的。 模型(2.1)是站在家具厂经营者立场 追求销售收入最大，模型(2.2)是则 站在家具厂对手的立场追求所付的 租金最少。
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如果模型(2.1)称为原问题（P）， 则模型(2.2)称为对偶问题（D）。 任何线性规划问题都有对偶问题。
4 y1 + 2y2 50
3 y1 + y2 30
y1, y2 0
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于是得到数学模型： min g = 120 y1 + 50 y2 s.t. 4 y1 + 2y2 50 (2.2) 3 y1+ y2 30 y1, y2 0
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定理1、对称性定理： 对偶问题的对偶是原问题。
maZxCX PX AX0b
miW nYb DY YA 0C
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定理2、弱对偶定理（弱对偶性）：设 X__和
__
Y分别是问
题（P）和（D）的可行解，则必有
__ __
n
m
CXYb,即cjxj yibi
j1
i1
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数学模型
max S= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 (2.1)
2x1 + x2 50 x1,x2 0
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如果我们换一个角度，考虑另外 一种经营问题。 假如有一个企业家 有一批等待加工的订单，有意利用该 家具厂的木工和油漆工资源来加工他 的产品。因此，他要同家具厂谈判付 给该厂每个工时的价格。可以构造一 个数学模型来研究如何使自己付的租 金最少，又使家具厂觉得有利可图肯 把资源出租给他？
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例1：写出下列线性规划问题的对 偶问题
min S = x1 + 2x2 + 3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2
3x1+ x2 + 7x3 3
x1，x2 ， x3 0
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该问题的对偶问题：
max z = 2 y1 + 3y2 s.t. 2y1+3y2 1
s.t.
x1 x 2 x1
2 x2
x3 x
2 3 1
x1 , x2 , x3 0
（2）
min f x1 2 x2 x3
s
.t
.
2 x1 x1 2
x x
2 2
x3 6
4
x1 , x2 , x3 0
答案：（1）无最优解（无界解） （2）有最优解
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MinW bY
(D)
s.t.YYA
C 0
这两个式子的变换关系称为“对称形式的对偶关系”。
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怎样写出非对称形式的对偶问题？ 根据对应规律（参见对偶关系表）直接 写出；
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原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
目标函数 MinW
y1 y1
3
y2 y2
2 3
3
y1
2
y2
4
y 1 0 , y 2 0
__
__
由观察可知： X=（1.1.1.1）， Y=（1.1），分别是
（P）和（D）的可行解。C
__
X
=10
__
CX
＜
__
Y
b，弱对偶定理成立。
，__
Y
b
=40，故有
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定理2推论: 若 和X__分别Y_是_ 问题（P）和（D）的
该问题的对偶问题为：
max z = 5 y1 + 4y2
s.t. y1 + 2y2 2
y1
3
-y1+ y2 -5
y1 0 ，y2 无非负约束
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练习1：写出下列线性规划问题的对 偶问题
min S = 3x1 - 2x2 + x3
s.t. x1+2x2
=1
2x2 - x3 -2
①. P有最优解的充要条件是D有最优解。
②.若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解，则它
们分别是P和D 的最优解的充要条件是 CX* =
Y* b。
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思考：根据定理4如何判断 原问题有（或者没有）最优解？
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定理3 无界性：在一对对偶问题（P）和（D） 中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则 另一个问题不可行；反之不成立。
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原问题与对偶问题：
P（D）
D（P）
目标函数系数 c ←→右端常数项 b
系数矩阵 A ←→系数矩阵 A T
约束条件 ←→ 变量
（个数）（符号）
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对称形式的对偶关系
（1）若原问题是
MaxZ CX
(P)
AX b
s.t.
X
0
(2) 其对偶问题为
MinZ 250x1 350x2 MaxW 250 y1 300 y2 700 y3
5x1 6x2 250
s.t.180x1x162x02
x2
300 700
5 s.t.6
y1 y1
8 y2 6 y2
10 y3 20 y3
250 300
y1, y2 , y3 0
x , x 0 1 2
无可 行解
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例2、已知
P : max Z x1 x 2
x1 x2 1
x1
x2
1
x1 , x 2 0
D : min W y1 y2
y1 y2 1
y1
y2
1
y1 ,
y2
0
显然，这两个问题都无可行解。
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推论：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可 行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的 问题无界。
y1 2 y2 1
2 2
y1 y1
3
y2 y2
2 3
3
y1
2
y2
4
y 1 0 , y 2 0
__
__
由观察可知： X =（1.1.1.1），Y =（1.1），分别是
（P）和（D）的可行解。CX=10 ，Yb=40。
由推论可知，W 的最小值不能小于10，Z 的最大值不
能超过40。
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练习：（1）
p : max Z 2 x1 2 x2
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 x3 1 x1, x2 , x3 0
D : min W 2 y 1 来自y 2y1 2 y2 2
y1 y1
y2 2 y2 0
y 1 , y 2 0
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关于无界性有如下结论：
原问题 问题无界
无可 行解
对偶问题 无可 行解
问题无界
如：
（P）
max Z 2 x 1 x 2
x1 x2 4
x
1
x2
2
x1
0,
x2
0
无界
min W 4 y 1 2 y 2
（D）
y1 y2 2
y1
y2
1
y 1 0 , y 2 0
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假设 y1, y2 分别表示每个木工 和油漆工工时的租金，则所付租金 最小的目标函数可表示为：
min s = 120 y1 + 50 y2 目标函数中的系数 120，50 分别表 示可供出租的木工和油漆工工时数。
运筹学第1章5对偶理论与灵敏度分析
该企业家所付的租金不能太低， 否则家具厂的管理者觉得无利可图 而不肯出租给他。因此他付的租金 应不低于家具厂利用这些资源所能 得到的利益：