插值法(拉格朗日插值)
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)
CN插i 次jn值i拉(x多格项x朗j )式日
li (xi ) 1
Ci
ji
( xi
1 xj)
j0
li ( x)
n ji
(x xj) (xi x j )
j0
n
Ln ( x) li ( x) yi i0
➢ 插值余项 /* Remainder */
用简单的插值函数L n(x)代替原复杂函数f(x),其 精度取决于截断误差,即插值余项.
x1
x2
利用
x0
6
,
x1
4
L1
(
x
)
x /
/ 6
4 /
4
1 2
x /
/ 4
6 /
6
1 2
sin
而
50内0 插L1(通518常) 优0于.77外61推4 。这选里择f (x) 12要端s0计in.点0算1x3,1的9插23x,值R所1(效R51在18(果x)的)较区f0好(.220间)(0!。7x的6) (2x
定理 (插值多项式的存在唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n
的 n 阶插值多项式是唯一存在的。
证明: ( 利用Vandermonde 行列式论证)
a0 a1x0 ... an x0n y0 a0 a1x1 ... an x1n y1 ...
a0 a1xn ... an xnn yn
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 2时16 分20.12. 1214:1 6December 12, 2020
•
8、业余生活要有意义,不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 2时16 分39秒1 4:16:39 12 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰,也仍要自 强不息 。下午 2时16 分39秒 下午2时 16分14 :16:392 0.12.12
P1 ( x) y0 称 x为y11 拉xy氏00 (基x 函x数0 )
= x x1 x0 x1
y0 +
x x0 x1 x0
1
y1 i0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
线性插值
直线方程的两点式: L1(x) x x1 y0 x x0 y1
1
x0 x1
x1 x0
L1(x) i0 li ( x) yi
sin x , f (2)
6
)(
x
4
sin
( x ) )
50
sin x
,
x
(6
,
3
)
= 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
x1
4
,
x2
3
sin 50 0.76008,
0.00538
R~1
5 18
0.00660
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
数解).:因为11.75更接近12,故应取11,12,13三点作二次
插值.先作插值基函数.
已知x0=11,y0=2.397 9,x1=12,y0=2.484 9 ,x2=13,y2=2.564 9
l0
(x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
(x
12)(x 2
13)
l1 ( x)
l (x)
l (x)
抛物插值
L2(x)
( x x1)(x x2) y0 (x x0)(x x2) y1 ( x x0)(x x1) y2
( x0 x1)(x0 x2)
( x1 x0)(x1 x2) ( x2 x0)(x2 x1)
l0(x)
l1(x)
l2(x)
n1
n次多项式
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
但绝对不是次数越 高就越好,嘿 嘿……
• 拉格朗日插值多项式编程容易,只需双重循环
n n
Ln(x) (
(x x j ) ) yi
i0 ji ( xi x j )
第三章 插值法 /* Interpolation */
• 问题的提出 • 拉格朗日插值
• 埃尔米特插值 • 曲线拟合的最小二乘法
§1问题的提出
函数y = f(x) 1)解析式未知;2)虽有解析式但表达式较复杂,
通过实验计算得到的一组数据,即在某个区间 [a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi),
因此, Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).
Taylor展开方法就是一种插值方法.
泰勒插值要求提供 f(x) 在点x0处的各阶导数,这仅 仅适用于 f(x) 相当简单的情况.
§1.2 Lagrange插值
• 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有定义,且给出 一系列点上的函数值yi=f(xi) (i=0,1,2,…,n),求 作n次多项式pn(x) 使得
• 10、你要做多大的事情,就该承受多大的压力。12/12/
2020 2:16:39 PM14:16:392020/12/12
• 11、自己要先看得起自己,别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 2:16 PM12/12/2020 2:16 PM20.12.1220.12.12
• 12、这一秒不放弃,下一秒就会有希望。12-Dec-2012 December 202020.12.12
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
(x
11)( x 1
13)
l2 (x)
(x (x2
x0 )(x x1 ) x0 )(x2 x1 )
(x
11)( x 2
12)
L2(x)=
(x
12)(x 2
13)
2.397
9
(x
11)(x 1
13)
2.484
9
(x
11)( x 2
1 i j
希望找到li(x),i = 0, …, n 使得 li(xj)=0 i j ;然后令
n
Pn ( x )
li( x )
y i
,则显然有Pn(xi) = yi 。
i0
li(x)
每个与li节有点n 个有根关,x0而…与xi li (x) Ci (x x0)...(x xi
f …无x关n )...(x xn
多项式
p(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1.1Taylor插值
函数y = f(x)在点x0处展开有Taylor 多项式:
pn (x)
f (x0 )
f ' (x0 )(x x0 )
f
'
' ( x0 2!
)
(
x
x0
)2
...
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
可见: Pn(k)(x0)= f (k)(x0) k=0,1,…,n
pn (xi)= yi (i=0,1,2,…,n)
函数pn (x)为f(x)的插值函数;称x0,x1,… xn称为插值
节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为
插值区间。pn (xi)= yi 称为插值条件。
构造的n次多项式可表示为: Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+…+ anxn
• 13、无论才能知识多么卓著,如果缺乏热情,则无异 纸上画饼充饥,无补于事。Saturday, December 12, 2020
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。14:1 6:3914: 16:3914 :1612/ 12/2020 2:16:39 PM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 214:16: 3914:1 6Dec-20 12-Dec-20
•
4、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的 错儿。 14:16:3 914:16: 3914:1 6Saturday, December 12, 2020
设节点 a x0 x1 xn b ,且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) f ( x) Ln( x)
f (n1) ( ) n
Rn (x)
(n 1) !
(x xi )
i0
即Rn (x)
f (n1) ( )
可知 Rn( x) 0 ,即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
例:已知
sin
6
1 2
,
sin
4
1 2
,
sin
3
3 2
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50
并估计误差。
500 5
18
解: n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x0
j0
• 如果发现当前的插值方法不够精确,就要增 加插值点的个数,则拉格朗日插值基函数 li(x)都 将重新计算。
• 牛顿插值法将讨论该问题。
例:已知数据表
xk
10
11
12
13
f(xk) 2.302 6 2.397 9 2.484 9 2.564 9
试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小
•
5、知人者智,自知者明。胜人者有力 ,自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1214:1 6:3914: 16:39D ecembe r 12, 2020
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 2时16 分39秒1 4:16:39 20.12.1 2
3)列表函数
x
x0 x1 x2 …… xn
y=f(x) y0 y1 y2 …… yn
问题:无法求出不在表中的点的函数值,也不能 进一步研究函数的其他性质,如函数的积分和导 数等。因此需寻找y = f(x)的近似函数p(x),但要求 p(xi) = f(xi) 。——插值问题
已知精确函数 y = f(x) 在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn),由此构 造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x),满足 条件p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 p(x) 称 为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 …?
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件:无重合节点,即 i j xi x j
n= 1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ,求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
这是一个关于a0 , a1 ,… an 的n+1元线性方程组,其系
数行列式:
n i1
Vn (x0, x1,..., xn )
(xi x j )
i1 j0
由于i ≠j时, xi ≠ xj ,因此 Vn (x0 , x1,..., xn ) 0,即方程组有
唯一解.
§2 拉格朗日插值公式
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an xn 使得
(n 1)!
(
x
x0
)(
x
x1
)(
x
x2
)(
x
xn
)
其中 [a,b]
——拉格朗日余项定理
注: 通常不能确定 , 而是估计 f (n1)( x) Mn,1x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
n
| x xi
i0
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时, f (n1)( x) 0,
解:L2(x) =
(x–x1)(x–x2) (x0–x1)(x0–x2)
f(x0) +
(x–x0)(x–x2) (x1–x0)(x1–x2)
f(x1)
+
(x–x0)(x–x1) (x2–x0)(x2–x1)
f(x2)
x0=1, x1=4, x2=9 f(x0)=1, f(x1)=2, f(x2)=3
12)
2.564
9
f(11.75)L2(11.75)=(11.75
12)(11.75 2
13)
2.397
9
(11.75
11)(11.5 1
13)
2.484
9
(11.75 11)(11.75 12) 2.564 9 2.463 8 2
例 已知x=1,4,9的平方根值,用拉格朗日插值公式求71/2
(7–4)(7–9)
(7–1)(7–9)
L2(7) = (1–4)(1–9) * 1 + (4–1)(4–9) * 2
+
(7–1)(7–4) (9–1)(9–4)
*3
= 2.7
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
n= 2
L2 ( x)
(x
(
6
4
4
)( x
)(
6
3
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1 2
(x
(
3
6
6
)( x
)(
3
4
)
4
)
3 2
sin 50 0
L2
(
5
18
)
0.76543
R2 ( x)
cos x
3!
(
x
6
)( x
பைடு நூலகம்
4
)( x
3
)
;
1 2