重庆市2017届高三第二次月考数学试题(理科)有答案AKnnMP

重庆2017学部2016—2017学年度下期第2次月考
理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分） 1.若复数
i
i
a 213++(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为（ ） A.2
3 B.23
- C.6 D.-6
2.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合
B C U ⋂A ＝( )
A.{2,5}
B.{3,6}
C.{2,5,6}
D.{2,3,5,6,8}
3.已知向量)21(，-=a ，)1-(，m b =，)23(-=，c ，若c b a ⊥-)(，则m 的值是（ ）
A.2
7 B.35
C.3
D.-3
4.直线2:+=my x l 与圆02222=+++y y x x 相切，则m 的值为（ ）
A.1或-6
B.1或-7
C.-1或7
D.1或7
1
-
5.甲盒子中装有2个编号分别为1,2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出的两个小球的编号
之和为奇数的概率为（ ）
A.32
B.21
C.31
D.6
1
6.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）
A.280
B.292
C.360
D.372
7.设0>w ，函数2)3sin(++=π
wx y 的图象向右平
移
3
4π
个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（ ） A.
32 B.34 C.2
3
D.3 8.如果执行右面的程序框图，输入46==m n ，，那么输出的p
等于（ ）
A.720
B.360
C.240
D.120 9.若5
4
cos -
=α，α是第三象限的角，则
2
tan
12tan 1α
α-+=( )
A.-21
B.2
1
C.2
D.-2
10.在区间],[ππ-内随机取两个数分别记为b a ，，则函数222)(b ax x x f -+= +2
π有零点的概率（ ） A.8
-1π
B.4
-
1π
C.2
-
1π
D.2
3-
1π
11.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.)20(， B.)12
2
(， C.)21(， D.)2(∞+，
12.记函数)(x f （
e x e
≤<1
，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为)('x f ，函数)(')1()(x f e
x x g -
=只有一个零点，且)(x g 的图象不经过第一象限，当e x 1
>时，
e
x x x f 11ln 1ln 4)(>++
+，0]1ln 1
ln 4)([=+++x x x f f ，下列关于)(x f 的结论，成立的是（ ）
A.)(x f 最大值为1
B.当e x =时，)(x f 取得最小值
C.不等式0)(<x f 的解集是（1，e ）
D.当11
<<x e
时，)(x f ＞0
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.在△ABC 中，若3
1
sin 45==
∠=A B b ，，π
，则=a . 14.正方体1111D C B A ABCD -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为. 15.由直线03
23
==
=
y x x ，，π
π
与x y sin =所围成的封闭图形的面积为 ______. 16.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=10ln
1ln )(x x
x x x x x f ，，，若}{n a 是公比大于0的等比数列，且1543=a a a ，若
16212)(...)()(a a f a f a f =+++，则1a = ______ ．
三、解答题(70分)
17.已知等差数列{}n a 满足：267753=+=a a a ，，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ．（2）令n b =
2
1
1
n a -(*N n ∈)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y
75
80
77
70
81
（1（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.
19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱
形，AB=2，60BAD ∠=o . （1）求证：BD PAC ⊥平面；
（2）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
20.设(,)P a b 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的动点，
21F F ，为椭圆
的左右焦点且满足212||||.PF F F = （1）求椭圆的离心率e ；
（2）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22(1)(3)16++-=x y 相交于M ，N
两点，且5
||||8
MN AB =，求椭圆的方程.
21.已知函数1
()[1(2)1(2)]2
f x t n x n x =+-- , 且()(4)f x f ≥恒成立。

（1）求t 的值. （2）求x 为何值时, ()f x 在 3, 7] 上取得最大值; （3）设)()1ln()(x f x a x F --= , 若)(x F 是单调递增函数, 求a 的取值范围。

请考生在第2 2~2 3两题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。

22.在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C
的极坐标方程为)0(cos 2sin 2
>=a a θθρ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
2422
2（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若102||=AB ，求a 的值． 23.设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （1）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值.
重庆2017学部2016—2017学年度下期第2次月考
理科数学参考答案
一、选择题
DADBB CCBAB CA 二、填空题
○
133
2
5○1436○151 ○162e 三、解答题
17.（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
2,326
10272111==⎩⎨
⎧=+=+d a d a d a 解得
所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)
3n+
22
⨯=2n +2n . （2）由（1）知2n+1n a =，所以b n =
2
1
1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1
⋅， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-L =11
(1-)=
4n+1⋅n 4(n+1)
， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
. 18.（1）由题意知，抽取比例为71
9814=，则乙厂生产的产品数量为3575=⨯（件）； （2）由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为5
2
.由此估计乙厂生产的优等品的数量为145
2
35=⨯
（件）
； （3）由（2）知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.ξ的取值为0，1，2. P(ξ
=0)=1032523=C C , P(ξ=1)=53
10625
1213==C C C , P(ξ=2)=101252
2=C C .
从而分布列为
数学期望E(ξ)=012105105
⨯
+
⨯+⨯=. 19.(1)因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又
PA AC A,⋂=所以BD ⊥平面PAC.
(2)设AC BD O =I .因为060,2BAD PA AB ∠===，所以1,BO AO CO ===，如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，
则(0,2),(0,P A
，(1,0,0),B C
，所以2),(0,PB AC =-=u u u r u u u r
.设
PB 与AC 所成角为θ
，则cos ||4||||PB AC PB AC θ⋅===
u u u r u u u r u u u r u u u r . (3)由（2
）知(BC =-u u u r
，设(0,)(0)P t t >.
则(1,)BP t =-u u u r
，设平面PBC 的法向量
(,,)m x y z =u r ，则0,0BC m BP m ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r
，所以0
x x tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
，令y =63,x z t ==
，所以
6)m t =u r .同理，
平面PDC
的法向量6
()n t =-r .因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以0m n ⋅=u r r ，即2
36
60t -+
=
，解得t =所以
. 20.（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，
所以2c =，整理得22()10,1c c c a a a
+-==-得（舍），或11
,.22c e a ==所以
（2）由（Ⅰ）
知2,a c b ==，得椭圆方程为2223412x y c +=，直线PF 2
的方程为).=-y x c
A ，B
两点的坐标满足方程组222
3412,
).
⎧+=⎪⎨=-⎪⎩x y c y x c 消去y 并整理，得2580-=x cx .
解得128
0,5
x x c ==，
得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y c ⎧=⎪=⎧⎪⎪
⎨⎨
=⎪⎪⎩=⎪⎩
不妨设8()5A c
，(0,)B ，
所以16
||.5
AB c == 于是5||||2.8MN AB c ==
圆心(-到直线PF 2的距离||2|
.22
+=
=c d
222||(
)42MN d +=Q ，223
(2)16.4
∴++=c c
整理得2
712520+-=c c ，得267
=-c （舍），或 2.c =所以椭圆方程为22
1.1612x y +=
21.(1)∵函数)]2ln()2ln([2
1
)(--+=x x t x f ，且)4()(f x f ≥恒成立
∴)(x f 的定义域为(2，+∞)，且)4(f 是)(x f 的最小值
又∵)212(21)('--+=x x t x f ∴0)2
1
6(21)4('=-=t f ，解得3=t
∴4
4
)2123(21)('2
--=--+=x x x x x f ∴当42<<x 时，0)('<x f ，当4>x 时，0)('>x f ∴)(x f 在(2,4)上是减函数，在(4，+∞)上是增函数 ∴)(x f 在3,7]上的最大值应在端点处取得
∴0)729ln 625(ln 2
1
)5ln 9ln 3(21)7()3(<-=-=-f f
∴)7()3(f f <，故当7=x 时，)(x f 取得在3,7]上的最大值. （2）∵)(x F 是单调增函数， ∴0)('>x f 恒成立
∵)
4)(1()1(45)1(441)('222--+-+-=----=x x a x x a x x x a x F ∴在)(x f 的定义域(2，+∞)上，0)4)(1(2>--x x 恒成立 ∴0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立
下面讨论0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立时，a 的解的情况： 当01<-a 时，不可能有0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立 当01=-a 时，0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立 当01>-a 时，又有两种情况：
○10)1)(1(1652<=-+a a ○
22)
1(25
<--a ，且0)1(425)1(2>+-⨯+-a x a
由○
1得09162<+a ，无解；
由○
2得4
1->a ，∵01>-a ，∴1>a ； 综上所述，当1≥a 时，0)1(45)1(2>+-+-a x x a 在(2，+∞)上恒成立
22.（1）曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2acos θ（a ＞0）可得ρ2sin 2θ=2a ρcos θ． 可得：曲线C 的普通方程为：y 2=2ax ；
直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+-=+-=t y t
x 2
2422
2（t 为参数），普通方程为x -y -2=0； （2）直线与曲线联立可得y 2-2ay -4a =0，
∵|AB|=210， ∴10216422=+⋅a a ，解得a =-5或1． 23.（1）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥. 由此可得 3x ≥或1x ≤-.
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. (2) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤，
此不等式化为不等式组⎩⎨⎧≤+-≥03x a x a x 或⎩⎨⎧≤+-≤03x x a a x 即⎪⎩⎪⎨
⎧≤≥4a a a x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤2-a a a x 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a
x x ≤-.由题设可得2
a
-
=1-，故2a =.。