高二(理科)数学第一学期期中试卷.doc

高二（理科）数学第一学期期中试卷
（试卷I ） 命题 邱形贵 审核 刘水明
一、选择题（每题只有一个正确答案，把选项代号填入答卷．．中每题5分。

满分60分） 1．不等式“2a b c +>”成立的一个充分条件是（ ）
A ．c b c a >>或
B ．c b c a <>且
C ．c b c a >>且
D ．c b c a <>或 2．设定点1F （－3，0）、F （3，0），动点P 满足条件126PF PF +=，
则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．不存在 C ．椭圆或线段 D ．线段
3． 在ABC ∆中,若,sin sin cos 2C A B = 则ABC ∆的形状一定是（ ）
A. 等腰直角三角形
B.等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形 4．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且387,n S S S S ==，则n 为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
5．设集合y x y x y x A --=1,,|),{(是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若01a <<，01b <<，则a b +，2ab ，22
a b +，2ab 中最大一个是 （ ）
A ．a b +
B ．2ab
C ．22
a b + D ．2ab
7．“22
0a b +≠”的含义为（ ）
A ．a 、b 都不为0
B ．a 、b 至少有一个为0
C ．a 、b 至少有一个不为0
D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0
8．满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤222
y x y x 的2z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[2,6]
B ．[2,5]
C ．[3,6]
D ．[3,5]
9. 到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ） A ．x y = B ．||x y =
C ．2
2
x y =
D ．0
2
2=+y x
10．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ,直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
2
1
B ．22
C ．23
D ．13-
11．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 成立，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322a -<<
D ．3122
a -<< 12．已知a ，
b 都是负实数，则b
a b
b a a ++
+2的最小值是 ( ) A ．6
5
B ．2(2-1)
C ．22-1
D ．2(2+1)
二、填空题(4小题．只要求在答卷．．
中直接填写结果，每题填对得4分．共16分) 13．已知命题p ：3x ≥，命题q ：2
540x x -+<，又p ∧q 为真，则x 范围为
14．命题P ：3
,1x Z x ∃∈<。

则P ⌝
为
15．与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 16．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数 表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈N*）是位于 这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数， 如4,2a ＝8．则63,54a 为
1
2 3
4
5
6
7 8 9 10
…………………………
班级 座号 姓名_________________成绩_____ __
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
泉州一中07—08学年度第一学期期中试卷
高二（理科）数学（试卷II ） 命题 邱形贵 审核 刘水明
一、 选择题(60分，每题5分)
二、填空题（20分，每题4分）
13 ；14． ；
15． ；16． 三、解答题（本题共6小题，共74分.在答卷．．中应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现
测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高
AB 。

(12分)
18．△ABC中，BC＝7，AC＝3，∠A＝120o，求以点B、C为焦点且过点A的椭圆方程。

(12分)
A
19．现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成。

轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元。

已知轮船速度为20海里/小时的全程运输成本为30000元。

(12分)
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x(海里/小时)的函数；
（2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？
20．数列{}n a 中0n a >，且由下列条件确定：*1110,
(),2n n n
m
a m a a n N a +=>=+∈．(12分) （1）证明：对n ≥2，总有n a ≥
（2）证明：对n ≥2，总有1n n a a +≥．
21．y 轴上两定点120,(0,)B b B b -()、，x 轴上两动点M N ，。

P 为B 1M 与B 2N 的交点，点M ，
N 的横坐标分别为X M 、X N ，且始终满足X M X N ＝2
a (0a
b >>且为常数），试求动点P 的轨迹方程。

(12分)
22．已知数列{}n x 满足121x x ==，并且11
,(n n n n x x
x x λλ+-=为非零常数，2,3,4,...).n =(14分) （1）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；
（2）设01λ<<，证明：3*
5343
12...().1n n x x x n N x x x λλ
++++<∈-
A
泉州一中07—08学年度第一学期期中试卷 高 二（理科） 数 学 参考答案
二、 选择题(60分，每题5分)
13． [3,4) 14．3
,1x Z x ∀∈≥ 15．
22
12520
y x += 16． 2007 三、解答题（本题共6小题，共74分.在答卷．．中应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现
测得75,60BCD BDC CD s ∠=∠==，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高
AB 。

(12分)
解：在BCD △中，180756045CBD ∠=--= 2分
由正弦定理得
sin sin BC CD
BDC CBD
=
∠∠ 5分 所以sin sin 606
sin sin 45CD BDC s BC CBD ∠⋅=
==∠． 8分
在ABC Rt △中，2
tan tan 302
AB BC ACB s s =∠=⋅=
． 12分 18．△ABC 中，BC ＝7，AC ＝3，∠A ＝120o ，求以点B 、C 为焦点且过点A 的椭圆方程。

(12分)
解：由余弦定理得：2
2
2
2cos BC AB AC AB AC A =+-∠ 2分
即2
4993AB AB =++
得8AB =-（舍去）或 5AB = 4分 以BC 为x 轴，BC 垂直平分线为y 轴建立直角坐标系 6分 由椭圆定义知28a AB AC =+=，27c BC == 8分 知2
2
2
2
15
16,4
a b a c ==-=
10分
故椭圆方程为
22
115164
x y += 12分 19．现有一批货物用轮船甲地运往乙地距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每
小时运输成本由燃料费用和其他费用组成。

轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元。

已知轮船速度为20海里/小时的全程运输成本为30000元。

(12分)
（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x(海里/小时)的函数； （2）为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？
解：（1）由题意得，每小时燃料费用为2
(045)kx x <≤,全程所用时间为
500
x
小时。

2分 则全程运输成本y=2
500500
960
kx
x x +，(0,45]x ∈. 4分 当x=20时,y=30000得：k=0.6 5分 故所求的函数为y=1600
300()x x
+
,(0,45]x ∈ 7分 (2)y=1600
300()x x
+30024000≥⨯=, 10分 当且仅当1600
x x
=
，即x=40时取等号。

11分 故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小。

12分 20．数列{}n a 中0n a >，且由下列条件确定：*1110,(),2n n n
m
a m a a n N a +=>=+∈．(12分) （1）证明：对n ≥2
，总有n a ≥
（2）证明：对n ≥2，总有1n n a a +≥． 解：（1）证明：由10,a m =>及11(),2n n n
m
a a a +=
+ 0n a >
从而有11()).2n n n m a a n N a +=
+≥=∈ 4分 所以，当n ≥2，总有n a
. 6分 （2
）证法一：当112,0,()2n n n n
m
n a a a a +≥≥
>=
+时因为
所以2
111()0,22n
n n n n n n
m a m a a a a a a +--=+-=⋅≤ 10分
故当12,.n n n a a +≥≥时成立
12分 证法二：当112,0,()2n n n n
m
n a a a a +≥≥
>=
+时因为
所以222
122
1()2122n n n n n n
n n n n
m
a a a a m a a a a a ++++==≤= 10分 故当12,.n n n a a +≥≥时成立. 12分
21．y 轴上两定点120,(0,)B b B b -()、，x 轴上两动点M N ，。

P 为B 1M 与B 2N 的交点，点M ，
N 的横坐标分别为X M 、X N ，且始终满足X M X N ＝2
a (0a
b >>且为常数），试求动点P 的轨迹方程。

(12分)
解：设(),P x y ，(,0)m M x ，(,0)n N x 2分 由M ，P ，B 1三点共线，知
000
m y b b
x x --=-- 4分 所以m bx
x b y
=
- 6分 同理得n bx
x b y =+ 9分
m n x x =22
22
2
b x a b y
=- 10分 故点P 轨迹方程为22
221x y a b
+= 12分
（或由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M 坐标可相应给分） 22．已知数列{}n x 满足121x x ==，并且11
,(n n n n x x
x x λλ+-=为非零常数，2,3,4,...).n =(14分)
（1）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；
（2）设01λ<<，证明：3*
5343
12...().1n n x x x n N x x x λλ
++++<∈- 解：（1）由
3221
x x
x x λλ== 得3x λ= 2分 由
22342321
x x x
x x x λλλ=== 得3
4x λ= 3分
由
23353424321
x x x x
x x x x λλλλ==== 得6
5x λ= 4分 由已知2315()x x x =得26
λλ=（λ为非零常数）
故1λ=± 6分 （2）由01λ<< 又2333231211111211(
)()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x λλλλ+++-+-+---++-÷===== 2,n ≥且n N ∈ 9分
故数列3n n x x +⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以34
1
x x λ=为首项，以3λ为公比的等比数列 10分 设5
3412...n n n x x x T x x x +=+++＝333
(1)1n λλλ-- 11分 01λ<<
301n λ∴<< 12分
则333
*33
(1)()11n n T n N λλλλλ
-=<∈-- 14分 （另
333321121()n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x λ+++++++== 又
21
1112
12
1
n n n n n n n n x x x
x x x x x λλλλ--+---===== 33n n n
x x λ+∴
=）（或由111,n n n n n n n x x x b x x x λ+--==，则n b 看成等比数列也可相应给分）。