高一数学上册课时练习题

章末检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：A ＝{1,2}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{2,4}
∴A ∪B ＝{1,2,4}，∴∁U (A ∪B )＝{3,5}．
答案：B
2．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,6}，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )
A ．{1,6}
B ．{0,6}
C ．{0,1}
D ．{0,1,6}
解析：∵A ∩B ＝{1}，∴1∈A,1∈B ，∴a ＋1＝1，∴a ＝0，b ＝1.∴A ＝{0,1}，B ＝{1,6}，∴A ∪B ＝{0,1,6}．
答案：D
3．已知f (x )＝ax ＋b x (a ，b 为常数)，且f (1)＝1，则f (－1)＝( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不能确定
解析：∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－1.
答案：B
4．f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，则f (3)＝( ) A ．3
B ．－3
C ．0
D ．6
解析：∵3≥0，∴f (3)＝32－2×3＝3.
答案：A
5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，f (1)＝2，则f (3)等于( )
A ．10
B ．6
C ．12
D ．16
解析：令x ＝y ＝1得f (2)＝f (1)＋f (1)＋2＝6，
令x ＝2，y ＝1得f (3)＝f (1)＋f (2)＋2×2＝2＋6＋4＝12.
答案：C
6．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝
f (2x )x －1
的定义域是( ) A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ．[0,1)∪(1,4]
D ．(0,1) 解析：要使g (x )有意义，则⎩⎨⎧
0≤2x ≤2，x －1≠0，
解得0≤x <1，故定义域为[0,1)，选B. 答案：B 7．设f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x >0，
0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数， 则f (g (π))的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．π
解析：∵g (π)＝0，∴f [g (π)]＝f (0)＝0，选B.
答案：B
8．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由已知得⎩⎨⎧ a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，⇒⎩⎨⎧
a 2－4a ＋2＝0，
b 2－4b ＋2＝0， ∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0两个根，
∴a ＋b ＝4.
答案：D
9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( )
A ．－3≤m ≤4
B ．－3<m <4
C ．2<m ≤4
D ．m ≤4
解析：由题设可知B ⊆A .
(1)当B ＝∅，即m ＋1≥2m －1，m ≤2时满足题设 (2)B ≠∅时，⎩⎨⎧ 2m －1>m ＋1，
m ＋1≥－2，
2m －1≤7，
解得2＜m ≤4 综上所述，m 的取值范围是m ≤4. 答案：D
10．y ＝1x －2
＋1在[3,4]的最大值为( ) A ．2 B.32
C.52 D ．4
解析：y ＝1x －2
＋1在[3,4]上是减函数， ∴y 的最大值为
13－2＋1＝2. 答案：A
11．奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，函数f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝－x (1－x )
B ．f (x )＝x (1＋x )
C ．f (x )＝－x (1＋x )
D ．f (x )＝x (x －1)
解析：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，由于函数f (x )是奇函数，
故f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．
答案：B
12．若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )
A ．(－2,0)∪(0,2)
B ．(－∞，－2)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：因为函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f (x )的图象，如图所示．
因为x ·f (x )<0，所以⎩⎨⎧ x >0f (x )<0或⎩⎨⎧ x <0f (x )>0
，结合图象，x 的范围是(－2,0)∪(0,2)． 答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．已知f (2x ＋1)＝x 2，则f (5)＝________.
解析：f (5)＝f (2×2＋1)＝22＝4.
答案：4
14．已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9且g (－2)＝3，则f (2)＝________.
解析：g (－2)＝f (－2)＋9＝3，∴f (－2)＝－6，
又∵f (x )是奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝6.
答案：6
15．已知U ＝{0,2,3,4}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{2,3}，则实数m ＝________.
解析：由题设可知A ＝{0,4}，故0,4是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴x 1＋x 2＝4＝－m ，
∴m ＝－4.
答案：－4
16. 已知f (x )＝⎩⎨⎧ (3－a )x －4a ，x ＜1，(x －1)2，x ≥1，
若f (x )是R 上的增函数，则实数a 的范围是________．
解析：⎩⎨⎧
3－a >0(3－a )×1－4a ≤(1－1)
2解得35≤a ＜3.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫35，3 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值．
解析：∵B ⊆A ，A ≠∅，
∴B ＝∅或B ≠∅.
当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.
当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝{－1a }，
∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.
综上所述，a ＝0或a ＝12.
18．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，求f (x )在R 上的解析式f (x )．
解析：设x <0，则－x >0，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，
f (x )＝f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，
∴f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－2x ，x ≥0x 2＋2x ，x ＜0. 19．(本小题满分12分)某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？ 解析：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，
由题意得y ＝⎩⎨⎧ 5，0＜x ≤2
5＋1.6×(x －2)，2＜x ≤8，
14.6＋2.4×(x －8)，x >8
即y ＝⎩⎨⎧ 5，0＜x ≤2
1.8＋1.6x ，2＜x ≤8，
2.4x －4.6，x >8
因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费
y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)．
所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．
20．(本小题满分12分)奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，
且f (1－a )＋f (2a －1)<0，求实数a 的取值范围．
解析：由f (1－a )＋f (2a －1)<0，得f (1－a )<－f (2a －1)，
∵f (x )是奇函数，∴f (1－a )<f (1－2a )
又∵f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，
∴⎩⎨⎧ －1<1－a <1
－1<1－2a <1，
1－a >1－2a
解得0＜a ＜1， 即所求实数a 的取值范围是0＜a ＜1.
21．(本小题满分13分)已知f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，解析式为f (x )＝
2x ＋3x ＋1
. (1)求f (x )在R 上的解析式；
(2)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上为减函数．
解析：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－2x ＋3－x ＋1
. 又因为f (x )是R 上的奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )＝－2x ＋3－x ＋1，所以f (x )＝－2x ＋3x －1. 又奇函数在0点有意义，所以f (0)＝0，
函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3x －1，x <0，0，x ＝0，
2x ＋3x ＋1，x >0.
(2)设∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋3x 1＋1－2x 2＋3x 2＋1
＝(2x 1＋3)(x 2＋1)－(2x 2＋3)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)
＝－x 1＋x 2(x 1＋1)(x 2＋1)
. 因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，
所以x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1>0，
所以f (x 1)－f (x 2)>0，
所以f (x 1)>f (x 2)，
所以函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数．
22．(本小题满分13分)设函数f (x )的定义域为R ，并且图象关于y 轴对称，
当x ≤－1时，y ＝f (x )的图象是经过点(－2,0)与(－1,1)的射线，又在y ＝f (x )的图象中有一部分是顶点在(0,2)，且经过点(1,1)的一段抛物线．
(1)试求出函数f (x )的表达式，作出其图象；
(2)根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数．
解析：(1)当x ≤－1时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由已知
得⎩⎨⎧ －2a ＋b ＝0，－a ＋b ＝1，
解得⎩
⎨⎧ a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x ＋2(x ≤－1)． 由于函数图象关于y 轴对称，则由x ≥1，得－x ≤－1，f (－x )＝－x ＋2， 且f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝－x ＋2(x ≥1)．
当－1<x <1时，设f (x )＝mx 2＋2，由已知得m ＝－1，即f (x )＝－x 2＋2(－1<x <1)，
所以函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2
，x ≤－1，－x 2＋2，－1<x <1，
－x ＋2，x ≥1，图象如图所示．
(2)从图象可看出，函数f (x )的单调区间有(－∞，－1]，(－1,0]，(0,1)，[1，＋∞)． 其中，f (x )在区间(－∞，－1]和(－1,0]上是增函数；在区间(0,1)和[1，＋∞)上是
减函数．。