河南省驻马店高中2019届高三一模数学(理)试题

河南省驻马店高中2019届高三第一次模拟试卷（数学）
本试卷满分150分，考试用时120分钟
☆祝考试顺利☆
合题目要求的. 1．（理）设11()(
)()()11n n
i i f n n N i i
+-=+∈-+，则集合{}()x x f n =中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.无穷多个
（文）复数3
1()1i i +=
- （ ）
A. l B ．-1 C ．i D ．-i
2．已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆2
2
20x x y -+=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( ) A
．(- B
．( C
．( D ．11
(,)88
- 3. 条件:||1p x >，条件:2q x <-，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则
P Q =I ( ）
A ．｛〔1，1〕｝
B ．｛〔-1，1〕｝
C ．｛〔1，0〕｝
D ．｛〔0，1〕｝
5、（理）将函数)32sin(π
+
=x y 的图像经怎样平移后所得的图像关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,12π中心对称（ ）
． .A 向左移
12π .B 向左移6π .C 向右移12π .D 向右移6
π
（文） 如右图所示，点
P
是函数
)s i n (2ϕω+=x y (x ∈R ，0>ω)的图像的最高点，M 、N
是图像与轴
的交点，若0=⋅PN PM ，则=ω
A ．8
B ．
8
π
C ．
4
π
D ．
2
π 6.若(54)n
x +展开式中各项二项式系数之和为n a
，2(3n x +展开式中各项系数之和为n b ，则
2lim
34n n
n n n
a b a b →∞-=+（ ）
A.
13 B. 17- C. 12 D. 1
2
- 7．如图,函数()y f x =是圆心在原点的单位圆的两段圆弧，则不等式()()f x f x x <-+的解集为（ ） A
．{|01}x x x <<≤ B
．{|11}x x x -≤<<≤ C
．{|10x x x -≤<<< D
．{|0}x x x <≠ 8.设O 为坐标原点，M （2，1），点N （x,y ）满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≤-125533
4x y x y x ，则OM ⋅的最大值是（ ）
A 、9
B 、2
C 、12
D 、14 9.（理）已知数列{a n }满足1
1
1121,1,2++--⋅-=⋅-==n n n n n n n n a a a a a a a a a a 且(n≥2,n ∈N) ，则此数列的第12项
为（ ）
A ．16
B ．112
C ．11
12
D ．12
1
2
（文科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（ ）
A ．1
B 5
3
C .- 2
D 3 10.设与
是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有
成立，则称
和
在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”.
若
与
在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）
A. [1，4]
B. [2，4]
C. [3，4]
D. [2，3] 11. 设)(x f 是R 上的连续偶函数，且当0>x 时)(x f 是单调函数，则满足)4
3
()(++=x x f x f 的所有之和为（ ）
A. －3
B. 3
C. －8
D. 8
12. 已知抛物线2
2y px =（p ＞0）与双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是两
曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率
A
B
1 C
1
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．=︒-︒15cot 15tan 。

14．（理）设⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤+-≤-+033042022y x y x y x ，则目标函数2
2y x z +=取得最大值时，=+y x 。

（文）不等式2
x x >的解集是_______________。

15．设定义在上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =
16．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足条件)()23
(x f x f -=+，且函数)4
3(-=x f y 是奇函数，给出以下四个命题：
①函数)(x f 是周期函数； ②函数)(x f 的图象关于点)0,4
3
(-对称； ③函数)(x f 是偶函数； ④函数在R 上是单调函数。

在上述四个命题中，真命题的序号是 （写出所有的真命题的序号）。

三 解答题 ：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程活演算步骤。

17、（本小题满分10分）已知向量a =(sin(2π
+x
x )，b =(sin x ,cos x ), f (x )= a ·
b . ⑴求f (x )的最小正周期和单调增区间；
⑵如果三角形ABC 中，满足f (A
)=，求角A 的值．
18、（本小题满分12分）如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =．
（1）求证：⊥AM 平面EBC ；
（2）求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小；
（3）求二面角C EB A --的大小．
19．（本小题满分12分）某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x 米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持21()63a x x +米的距离，其中a 为常数且1
12a ≤≤，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧
道所用时间为y (秒) ．
（1）将y 表示为x 的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．
20. （本小题满分12分）
（理）已知抛物线C ：x y 42=，过点A （-1，0）的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AQ AP λ=. （Ⅰ）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ;
（Ⅱ）若],[2
1
31∈λ，求当PQ 最大时，直线PQ 的方程.
(文科) 已知函数
32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间213
3⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
内是减函数，求的取值范围．
21. （本小题满分12分） 设函数()2ln q f x px x x =-
-，且()2p
f e qe e
=--（为自然对数的底数）. （Ⅰ）求实数与的关系；
（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设2()e
g x x
=
，若存在[]01,x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数的取值范围.
22．（本小题满分12分）
（理）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是椭圆
=1（a>b>0）上的两点，已知向量m(
) ,n(
),
若m·n=0且椭圆的离心率e=
，短轴长为2，O 为坐标原点：
(Ⅰ)求椭圆的方程：
(Ⅱ)若直线AB 过椭圆的焦点F(0,c)，(为半焦距)，求直线AB 的斜k 率的值：
(Ⅲ)试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明：如果不是，请说明理由。

（文科）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
x =（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2
2
5x y +=上，
求m 的值.
参考答案
1—5 C （文D ）CBAC （文C ） 6—10 DACA （文C ）D 11—12 CB 13．32- 14．理
511
文
(-∞,0)∪(1,+∞)
15
2
13
16．①②③ 17解：⑴f (x )= sin x cos x
+
+cos2x = sin(2x+3π
)+………3分
T=π，2 k π-2π≤2x+3π≤2 k π+2π
，k ∈Z,
最小正周期为π，单调增区间[k π-512π,k π+12π
],k ∈Z.……………………6分
⑵由sin(2A+3π)=0,3π<2A+3π<73π
,……………9分
∴2A+3π=π或2π，∴A =3π或56π
……………………10分
18.. (Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形，
EC AM AC EA ⊥⊥∴,． ………………………1分
∵平面⊥ACDE 平面ABC ，又∵AC BC ⊥，
⊥∴BC 平面EAC ． ……………………2分
⊂AM 平面EAC ，⊥∴BC AM ．……………3分 ⊥∴AM 平面EBC ． ………………4分
(Ⅱ)连结BM ，
⊥AM 平面EBC ，
ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角．……5分
设a BC AC EA 2===，则
a AM 2=，a AB 22=， ………………………6分 21
sin =
=
∠∴AB AM ABM ， ︒=∠∴30ABM ．
即直线AB 与平面EBC 所成的角为︒30…8分
（Ⅲ）过作EB AH ⊥于H ，连结HM ． ……………………9分
⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴．⊥∴EB 平面AHM ．
AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． ……10分
∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ．
⊥∴EA AB ．
在EAB Rt ∆中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ⋅=⋅． 由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得
a AB 22=，a EB 32=， 322a
EB AB AE AH =⋅=
∴． ………………10分
23
sin ==
∠∴AH AM AHM ．︒=∠∴60AHM ．
∴二面角C EB A --等于︒60． ……………………12分 19. 【解析】（1）y =21
21501055()(551)
63a x x x +⨯++-
=27001
918.(020,1)
2ax x a x ++<≤≤≤．………………………………………………5分 （2）当3
1
4a ≤≤时，y
≥1818= 当且仅当2700
9ax
x =，即x
时取等号
即当x
时，min 18y =；………………………………………………8分
当1324a ≤<时，2270090
y a x '=-+<，故y = f (x )在(0，20]上是减函数，
故当x = 20时，
min 2700
1801820y a =
++=153 + 180a ．……………………………10分
答：若1324a ≤<，则当车队速度为20m/s 时，通过隧道所用时间最少；若3
14a ≤≤时， 则当车队速
m/s 时，通过隧道所用时间最少．…………………………12分
20.解： （理）（Ⅰ）112211(,).(,),(,).P x y Q x y M x y -设∵AQ AP λ=
∴)1(121+=+x x λ，21y y λ=，∴2
22
2
1y y λ=12
14x y =22
24x y =22
1x x λ=
∴)1(1222
+=+x x λλ，)1()1(2-=-λλλx ∵1≠λ，∴λλ==
1
21
x x ，， （3分） 又)01(，F ，∴y y y x λλ
λλλ=-=-=-=)11
()1()1(2211，，，
∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F
（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知21121
,,1x x x x λλ
=
==得，1616212
221
==⋅x x y y ，021>y y ，421=y y ，则2212212
)()(y y x x PQ -+-=)(221212
2212221y y x x y y x x +-+++=
12)1
(4)1
(2-+
++
=λ
λλ
λ16)21
(2-++
=λ
λ
（9分）
],[2
1
31∈λ，⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈+
310251
，λλ，当3101=+λλ，即31=λ时，2PQ 有最大值9112 PQ 的最大值为
3
7
4，
（11分）
此时)323(±，
Q ， 2
3
±=PQ k ，则PQ ：0323=+±y x
（12分）
（文）解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2
()321f x x ax '=++。

1分
当2
3a
≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在上递增 。

2分
当2
3a >，()0f x '=求得两根为3
a x -= 。

3分
即()f x 在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭
递减，
⎫
+∞⎪
⎪
⎝⎭
递增。

6分
（2
）
2
3
1
3
-
-
，。

6分
且23
a>解得：
7
4
a≥。

12分
21. 解：（Ⅰ）由题意，得()2
ln
2-
-
=
-
-
=
e
p
qe
e
e
q
pe
e
f，
化简得()0
1
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
e
e
q
p，q
p=
∴. ………………………………………………………………2分（Ⅱ）函数()x
f的定义域为()
+∞
,0.由（Ⅰ）知，()x
x
p
px
x
f ln
2
-
-
=，
()
2
2
2
2
2
x
p
x
px
x
x
p
p
x
f
+
-
=
-
+
=
'. (3)
分
令()p
x
px
x
h+
-
=2
2，要使()x
f在其定义域()
+∞
,0内为单调函数，只需()x
h在()
+∞
,0内满足()0≥
x
h或()0≤
x
h恒成立.
（1）当0
=
p时，()0
2<
-
=x
x
h，()0<
'
∴x
f.
()x f
∴在()
+∞
,0内为单调减函数，故0
=
p符合条件. (4)
分
（2）当0
>
p时，()
p
p
p
h
x
h
1
1
min
-
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=.只需0
1
≥
-
p
p，即1
≥
p时()0≥
x
h，此时()0≥
'x
f.
()x f
∴在()
+∞
,0内为单调增函数，故1
≥
p符合条件. (6)
分
（3）当0
<
p时，()()p
h
x
h=
=0
max
.只需0
≤
p，此时()0≤
'x
f.
()x f
∴在()
+∞
,0内为单调减函数，故0
<
p符合条件.
综上可得, 1
≥
p或0
≤
p为所求. (8)
分
（Ⅲ）()x
e
x g 2=
在[]e ,1上是减函数，e x =∴时，()2min =x g ；1=x 时，()e x g 2max =. 即()[]e x g 2,2∈. ……………………………………………………………………………………………9分
（1）当0≤p 时，由（Ⅱ）知，()x f 在[]e ,1上递减，()()201max <==f x f ，不合题意. ………10分
（2）当10<<p 时，由[]e x ,1∈知，01≥-x x .()x x x x x x p x f ln 21ln 21--≤-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=∴.
由（Ⅱ）知，当1=p 时，()x x
x x f ln 21
--
=单调递增， ()221
ln 21<--≤--
≤∴e
e x x x x
f ， 不合题意. …………………………………………………10分 （3）当1≥p 时，由（Ⅱ）知()x f 在[]e ,1上递增，()201<=f ， 又()x
g 在在[]e ,1上递减，()()2min max =>∴x g x f . 即2ln 21>-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
e e e p ，1
42
->∴e e
p . 综上，的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,142
e e .………………………………………………… 22.（（本小题满分12分）
（理）（1）2 2.1, 2.c b b e a e a ====
=⇒==椭圆的方程为14
22
=+x y ………………3分 （2）设AB 的方程为3+=kx y
由………………5分
由已知
43)(43)41()3)(3(410212122121221221++++=+++=+=x x k x x k kx kx x x a
y y b x x ………………6分
±=++-⋅++-+=k k k k k k 解得,4
343243)41(4422
2………………7分
（Ⅲ）
（2）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1
当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b 42042)4(14
22122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y b kx y 得到 4
42221+-=k b x x ………………10分 :04
))((0421212121代入整理得=+++⇔==b kx b kx x x y y x x 4222=+k b ………………10分
41644|||4)(||21||||212222122121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S 1|
|242
==b k 所以三角形的面积为定值. ………………12分
（文科）
（Ⅰ）由题意，得2a c
c a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得1,a c == ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2
2
12y x -=. 。

4分 （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由2
2120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩
得22220x mx m ---=（判别式0∆>）,。

4分 ∴12000,22
x x x m y x m m +===+=, ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，
∴()2225m m +=，∴1m =±. 。

12分。