三明市2020高三数学上学期期末质量检测试题理含解析

【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，取 的中点为 ， 为双曲线的另一个焦点,连接 、 ，设 ， ，利用圆的几何性质可得 与 的关系，再由双曲线的几何性质可得 的关系，从而得到双曲线的离心率。
【详解】如图所示，取 的中点为 ， 为双曲线的另一个焦点，连接 、 、 ，
设 ， ，则 .
因为 为圆的弦，故 ，故 ，
又 平面 ，所以 ,故 。
由（1）得 ， ,故 为二面角 的平面角。
因为 为等边三角形且 ，故 ，同理 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，故 .
所以平面 与平面 所成锐二面角的值为 。
【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明与二面角的计算,前者需通过线面垂直得到,后者需构造二面角的平面角并通过余弦定理来求，本题有一定的综合度,属于稍难题.
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积的最值，后者需构建面积关于边长的函数后才能求得最值，本题属于中档题.
A. B。 C。 3D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
由 可得数列 是周期数列且周期为2，故根据 可得 ，求得 的值后可得 的值。
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
所以数列 是周期数列且周期为2，因为 ，故 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查周期数列及指定项的计算，注意根据递推关系寻找数列的性质,本题属于容易题.
3. 考试结束后,考生必须将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 ， ，则 （ )
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
试题分析:集合 ，集合 ，所以 ,故选D.
考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算。
【分析】
（1）根据余弦定理可求 的长,得到三边的边长后可得所求的周长。
(2)求出 的面积最大值后可判断面板构件能否满足该客户需求.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ,故 ，所以 ，三角形的周长为 。
(2)设 ，则 ，
由余弦定理得 ，因为 ，
所以 ，
故
，当且仅当 时，等号成立.
因为 ，故该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求。
2。设 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C。 第三象限D。 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简 后可得其对应的点，从而可得正确的选项。
【详解】 ，该复数对应的点为 ，它在第一象限，
故选：A。
【点睛】本题考查复数的乘法、除法及复数的几何意义,本题属于基础题。
解得 ，故 .
又 ，故 .
因为 、 分别为 、 的中点，故 ，
由双曲线的定义可知 ，
故 即 ，
整理得到 ，解得 .
故答案为: 。
【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算，根据圆的几何性质和双曲线的定义构建 的关系是关键，本题属于难题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
6。已知向量 ， 满足 ， , ，则 ， 的夹角为（ ）
A. B.
C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将 两边平方后求出 ，再利用数量积的定义可求 、 的夹角.
【详解】由 可以得到 ,所以 ，
所以 ，解得 ，
因 ,故 .
故选：D.
【点睛】本题考查向量的数量积和向量的夹角，注意数量积有两个应用：(1）计算长度或模长,通过用 ；（2)计算角, 。特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 。
A。 B. C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 的图象关于点 对称可得 ,从而原不等式可化为 ，利用函数的单调性可得关于 的不等式，从而可得 的取值范围。
【详解】因为 的图象关于点 对称，所以 .
因为 ,故 ，
所以 .
因为 是定义在 上的增函数，故 即 ,
解得 ,故原不等式的解集为 ，
故选：B。
当动直线 过 时, 有最大值且最大值为 .
故答案为:10.
【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值,求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如 表示动直线 的横截距的三倍 ,而 则表示动点 与 的连线的斜率．
15.已知直线 过原点且倾斜角为 ,其中 ,若 在 上，且满足条件 ，则 的值等于______.
(一）必考题：共60分。
17。在各项均为正数的等比数列 中，已知 ， 。
（1)求数列 的通项公式；
（2）设 ,求数列 的前 项和 。
【答案】(1） ， 。（2) ，
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列通项公式表示出已知等式，可得关于公比 的方程，解方程求得 ，根据等比数列通项公式求得结果；
（2）由(1)可得 通项公式，利用分组求和的方式，对两部分分别采用等比数列求和和等差数列求和的方法求得结果.
由 可得 ，所以 。
又 ,当 时等号成立，故 的最小值为2，
所以 面积的最小值为4。
故选：A。
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的三角形面积的最值问题，注意根据抛物线的形式假设合理的直线方程，本题属于基础题.
11。已知函数 是定义在 上的增函数，且其图象关于点 对称，则关于 的不等式 的解集为（ ）
【答案】x-y—2=0
【解析】
解:因为曲线
在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x—y-2=0
14。已知实数 ， 满足约束条件 ,则 的最大值为______。
【答案】10
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的可行域，平移动直线 到 后可得 的最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：
由 可得 ，故 。
10.已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线与抛物线交于 ， ,点 在线段 上，点 在 的延长线上，且 。则 面积的最小值为（ ）
A. 4B。 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 可得 ，设直线 ，用 表示 后可求 的最小值。
【详解】因为点 在 的延长线上，且 ，所以 。
因为 ，故设直线 ， ,
19.某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形，设顶点为 ， ， ,已知 ,且 （单位： ）。
(1)若 ,求 的周长；
（2)根据某客户需求， 的面积至少为 .请问该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户需求？说明理由.
【答案】（1)10；（2）该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求。。
【解析】
3。已知函数 ，则 的值为（ ）
A。 1B。 C. 2D。
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 ，再求 的值后可得正确的选项。
【详解】 ，
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小代入相应的解析式中计算函数值，本题属于基础题。
4.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
【答案】
【解析】
【分析】
求出 的值后可得 ,再利用同角的三角基本关系式可求 的值。
【详解】因为 ，故 ，
所以 或 ，所以 或 .
因为 ，故 ，所以 ，
所以 ，解得 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查直线的倾斜角和同角的三角函数的基本关系式，注意根据角的范围对所求的三角函数值进行取舍，本题属于基础题。
16。已知 是双曲线 的一个焦点， 是 上的点，线段 交以 的实轴为直径的圆于 ， 两点，且 ， 是线段 的三等分点，则 的离心率为______。
(1）求证: ;
（2)若 ,求平面 与平面 所成锐二面角的大小.
【答案】（1）见解析；(2） .
【解析】
【பைடு நூலகம்析】
(1）取 的中点 ，连接 ，可证 平面 ，从而可证 。
（2）设平面 平面 ，可证 为二面角 的平面角，根据 可求 的大小，从而可得所求得锐二面角的大小.
【详解】（1） 四边形 中连接 ，在四棱锥 中连接 .
福建省三明市2020届高三数学上学期期末质量检测试题 理（含解析）
注意事项：
1。 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名"与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2。 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.非选择题用0。5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效。
【点睛】本题考查函数不等式，注意根据函数图象的对称性和函数的单调性把函数不等式转化为一元二次不等式，本题属于中档题。
12。已知三棱锥 外接球的表面积为 , ， ，直线 与平面 所成角为 ，则 等于（ ）
A。 1B. 2C。 3D。 4
【答案】B
【解析】
【分析】
取 的中点为 ,可以证明 为外接球的球心,利用勾股定理可求 的长。
【答案】C
【解析】
【分析】
依据奇函数的定义可排除B，依据图象过第四象限可排除A、D，从而可得正确的选项.
【详解】对于B的函数，令 ,其定义域为 ,而则 ，
故 为不是奇函数，故B不正确.
对于A中的函数 ，当 时, ，
故该函数的图象不过第四象限，故A不正确。
对于D中的函数 ，当 时， ，
故该函数的图象不过第四象限，故D不正确。
5.函数 图象的一条对称轴方程是( )
A。 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ，解出 后可得函数图象的对称轴方程的一般形式,取 可得正确的选项。
【详解】令 ，解得 ,
当 时，函数图象的一条对称轴为直线 .
故选:C。
【点睛】本题考查正弦型函数的图象的对称轴，注意利用整体思想来求对称轴，本题属于基础题。
对于C中的函数 ，令 ，该函数的定义域为 ,
又 ，故 为奇函数.
又 的值域为 ，当 时, ，故图象经过第四象限，故C正确。
故选：C。
【点睛】本题考查具体函数的奇偶性、值域及函数值符号的讨论,函数值符号的讨论需结合解析式的特征来考虑，必要时需对解析式变形以便定号，本题属于中档题.
9。已知数列 满足 ，且 ，则 的值为（ ）
因为外接球的表面积为 ,故 ，故 ，
所以 .
故选:B。
【点睛】本题考查线面角的计算、三棱锥外接球的表面积，注意线面角的计算需根据线面垂直构造线面角,而三棱锥的外接球问题需根据球心的几何特征（到各顶点的距离相等)确定球心的位置，本题属于中档题。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线 在点 处的切线方程是______。
第四次判断 的奇偶性前， ；
此时判断后， ，终止循环，输出 。
故选：B.
【点睛】本题考查程序框图的理解，这类问题可以按程序运行的模式逐次计算各变量的值即可得到程序终止的条件、输出的结果等，本题属于基础题.
8.下列函数中，同时满足条件“①奇函数；②值域为 ；③图象经过第四象限”的是（ ）
A。 B。
C. D。
【详解】
取 的中点为 ，连接 ，过 作 ，交 于 。
因为 ，所以 ，故 .
又 ,所以 ，同理 ，
因为 ,故 平面 。
因为 平面 ，故平面 平面 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，故 平面 ,
所以 为直线 与平面 所成的角，因此 ,
故 为等边三角形，故 。
因为 ，所以 ，同理 ，故 ，
所以 为外接球的球心且 为球的半径。
如图，在四边形 中，因为 ,故四边形 为平行四边形，
又 ,所以四边形 为菱形，同理四边形 为菱形,
故 ，所以 ,故 为等边三角形，
所以 也为等边三角形.
在四棱锥 中，取 的中点 ,连接 。
因为 为 的中点，所以 ，同理 ,
因为 ，所以 平面 ，因 平面 ,故 。
（2）设平面 平面 ，
由（1）可知 ，而 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
A。 B. C。 4D。 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱,根据三视图中的数据结合棱柱的体积公式可得正确的选项.
【详解】由三视图可知，几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形,其腰长为 ，
棱柱 高为 ,故其体积为 ，
故选：C。
【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积,注意根据三视图合理复原几何体，本题属于基础题。
【详解】（1）设等比数列 的公比为
，又
解得： ，
（2）由（1)知：
。
数列 的前 项和为 ，
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前 项和的问题；涉及到等差数列和等比数列求和公式的应用，属于常考题型.
18.如图1,在四边形 中, ， ， 为 中点,将 沿 折到 的位置，连结 ， ，如图2.
7.若在如图所示的程序框图中输入 ，则输出的 的值是（ )
A。 3B。 4
C。 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图逐次计算每次判断 的奇偶性前各变量的值，结合 的值判断循环何时终止,从而得到输出的 的值.
【详解】第一次判断 奇偶性前， ；
第二次判断 的奇偶性前, ；
第三次判断 的奇偶性前, ;