【K12学习】圆锥曲线的统一定义 教案(苏教版选修2-1)

圆锥曲线的统一定义教案(苏教版选修
2-1)
2．5 圆锥曲线的统一定义
●三维目标 1．知识与技能
(1)圆锥曲线统一定义及其应用． (2)圆锥曲线的准线及其应用． 2．过程与方法
(1)通过对圆锥曲线的统一定义的研究，体会三种曲线的内在统一性，培养学生归纳、总结能力．(2)通过对圆锥曲线统一定义的应用，培养学生对圆锥曲线的准线的理解，培养学生转换角度，认识问题的能力．(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决问题的能力．体会特殊到一般，具体到抽象的认识规律．
3．情感、态度与价值观
在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神．
●重点难点
重点：圆锥曲线统一定义的推导．难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用．
(教师用书独具)
●教学建议
以前已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识．本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和掌握坐标法．
通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确本节的重难点，主动思考，发现问题，在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学生主讲，学生板书，学生点评，当堂进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学目标．引导学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成
良好学习习惯和思维习惯．
●教学流程
设置情景，导入新课．上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的(F不在l上)距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？师生x－c2＋y2c
互动，探求新知．思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：＝a.
a2－xc同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学
生学会从多个角度(如代数的、几何的角度)认识同一个对象．学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．设计说明：使学生对圆锥曲线的共同性质有理性的认识．通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法，领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统一定义中的重要性．通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的目的．利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方程．通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程．通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成力
基
本
能.
课标解读 1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点) 2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点) 【问题导思】圆锥曲线的统一定义如何求圆锥曲线的统一方程呢？
【提示】如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，圆锥曲线的统一定义可知M∈{M||FM|＝e|MH|}．
取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点M的坐标为(x，y)，则|OM|＝x2＋y2. |MH|＝|x＋p|. x2＋y2＝e|x＋p|. 两边平方，化简得
(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.
这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程．
1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
当01时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线． x2y2a2y2x2
2．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，2＋2＝1(a＞b＞0)的准线方程为y
abcaba2
＝±. c
x2y2a2
双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±。

abc
①②
设直线l的方程为x＝－p，则把①、②代入|OM|＝e|MH|，得
y2x2a2
双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为y＝±. abc 已知准线求圆锥曲线的方程双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经
过A(26，3)，求双曲线的方程．
【思路探究】
设出标准形式→待定系数法求解
x2y2
【自主解答】 (1)若焦点在x轴上，则双曲线的方程设为2－2＝1(a>0，b>0)，已
ab
a－b＝1，知得2a
c＝4.
222
249
∴a2＝2c，b2＝c2－a2＝c2－2c。

249
代入2－2＝1，整理得c2－14c＋33＝0。

ab∴c＝3或c＝11.∴a2＝6，b2＝3或a2＝22，b2＝99. x2y2x2y2
∴双曲线的方程为－＝1或－＝1.
632299
y2x2
(2)若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为2－2＝1(a>0，
b>0)．
ab924
已知得2－2＝1.
ab
924
将a2＝2c，b2＝c2－2c代入2－2＝1得2c2－13c＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解．
abx2y2x2y2
综合(1)(2)可知，双曲线的方程为－＝1或－＝1.
632299
2a2
1．本例中，两准线间的距离是一个定值，不论双曲线位置如何，均可使用．
c2．已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个，(1)利用统一定义，(2)直接列出基本量a，b，c，e的关系式．
25
(20XX·成都高二检测)点M(x，y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是33
常数，求点M的轨迹方程．
5
【解】题设及圆锥曲线的统一定义知，M点的轨迹是椭圆，且右焦点F(3,0)，相应25
的右准线l：x＝。

3
a22516c3∴－c＝－3＝且＝. c33a5
a16
－c＝c3
2
c3＝a5
解得c＝3，a＝5.
∵c＝3且右焦点F(3,0)。

∴椭圆的中心在原点，焦点在x轴上， x2y2
故方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．
aba＝5，c＝3，得b＝4.
x2y2
故所求点M的轨迹方程为＋＝1.
2516
圆锥曲线统一定义的应用 x2y2
已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
259
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
5
(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标．
4【思路探究】 (1)利用椭圆的定义进行转化求解．
45MA
(2)注意e＝，则MA＝＝d(d为点M到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解．
54e
x2y2
【自主解答】 (1)如图所示，＋＝1得a＝5，b＝3，c ＝4.
259所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点．因为MA＋MF＝2a＝10。