2017届高考数学第一轮知识点阶段滚动检测30

一、选择题
1．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( ) A.π2 B ．－π2 C.π4 D ．－π4
2．(2015·福州质检)在△ABC 中，满足|AC
→|＝|BC →|，(AB →－3AC →)⊥CB →，则角C 的大小为( )
A.π3
B.π
6 C.2π3 D.5π6
3.如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)
的图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，
若PM →·PN
→＝0，则ω的值为( ) A.π8 B.π4
C ．4
D ．8
4．(2015·绍兴质量检测)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，
OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2
，2π)，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )
A ．－43
B ．－45 C.45 D.34
5．(2015·山西太原五中月考)在△ABC 中，AB →＝(－cos 18°，－sin 18°)，
BC →＝(2cos 63°，2cos 27°)，则△ABC 的面积为( ) A.24 B.22 C.32 D. 2
二、填空题
6．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则
tan θ＝________.
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·
AC →＝3，则△ABC 的面积为________． 8．函数y ＝2sin(π4x ＋3π2)的部分图象如图所示，则(OA →－OB →)·AB
→等于________．
第8题图 第9题图
9．(2015·徐州第三次质量检测)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M ，N 分别为半径OP ，OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，
则AM →·AN →的取值范围是__________．
三、解答题
10．已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x 4)．
(1)若m ·n ＝1，求cos(2π3－x )的值；
(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，
且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．
答案解析
1．A [由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a ·b ＝0， 而|a |＝|b |＝1，故a ·b ＝0，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝0，
即cos(α－β)＝0，
由于0<α<β<π，
故－π<α－β<0，
所以α－β＝－π2，
即β－α＝π2.]
2．C [设△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
由(AB →－3AC →)⊥CB →，
可得(AB →－3AC →)·CB →＝(AB →－3AC →)·(AB →－AC →)
＝c 2＋3b 2－4AB →·AC →＝c 2＋3b 2－4cb cos A
＝c 2＋3b 2－2(b 2＋c 2－a 2)＝0，
即b 2－c 2＋2a 2＝0.
又由|BC →|＝|AC →|可得a ＝b ，则c 2＝3a 2，
由余弦定理可得cos C ＝a 2
＋b 2－c 2
2ab
＝a 2＋a 2－3a 22a 2＝－12，
所以△ABC 的内角C ＝2π3，选择C.]
3．B [因为PM →·PN
→＝0，所以PM ⊥PN ， 又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点， 所以PM ＝PN ，y P ＝2，所以MN ＝4，
所以T ＝2πω＝8，所以ω＝π4.]
4．A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0， 即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，
上述等式两边同时除以cos 2α，
得6tan 2α＋5tan α－4＝0，
由于α∈(3π2，2π)，
则tan α<0，解得tan α＝－43，故选A.]
5．B [∵|AB
→|＝(－cos 18°)2＋(－sin 18°)2＝1， |BC →|＝4cos 263°＋4cos 227°＝2，
cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|
＝2sin 45°2＝22， 又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝45°，
∴S △ABC ＝12|AB |·|BC |·sin ∠ABC ＝22.] 6.12
解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0，
∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，
∵0<θ<π2，∴cos θ>0，
∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.
7．2
解析 由cos A 2＝255，可得cos A ＝2cos 2A 2－1＝35， 从而sin A ＝45，
∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC
→|cos A ＝3， ∴|AB →|·|AC
→|＝5. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×5×45＝2.
8．－2 解析 因为y ＝2sin(π4x ＋3π2)，
令y ＝0， 得2sin(π4x ＋3π2)＝0，可得π4x ＋3π2＝k π(k ∈Z )，
即x ＝－6＋4k (k ∈Z )，由图象可知A (2,0)，
即OA
→＝(2,0)． 同理，令y ＝1，得2sin(π4x ＋3π2)＝1，
再结合图象可求得B (3,1)，即OB
→＝(3,1)． 所以AB
→＝(1,1)， (OA →－OB →)·AB →＝BA →·AB
→＝－AB →2＝－2. 9．[32，52]
解析 建立如图所示直角坐标系，则A (2cos θ，
2sin θ)(0°≤θ≤120°)，
M (－12，32)，N (1,0)，
AM →＝(－12－2cos θ，32
－2sin θ)， AN
→＝(1－2cos θ，－2sin θ)， 所以AM →·AN →＝(－12－2cos θ)(1－2cos θ)＋(32－2sin θ)·(－2sin θ)＝72
－2sin(θ＋30°)．
因为0°≤θ≤120°，
所以30°≤θ＋30°≤150°，
12≤sin(θ＋30°
)≤1，32≤AM →·AN →≤52. 10．解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4 ＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12
＝sin(x 2＋π6)＋12.
(1)∵m ·n ＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12，
cos(x ＋π3)＝1－2sin 2(x 2＋π6)＝12，
cos(2π3－x )＝－cos(x ＋π3)＝－12.
(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，
由正弦定理得(2sin A －sin C )·cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，
∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，
∴cos B ＝12，
又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.
∴0<A <2π3.
∴π6<A 2＋π6<π2，
12<sin(A 2＋π6)<1.
又∵f (x )＝m ·n ＝sin(x 2＋π6)＋12，
∴f (A )＝sin(A 2＋π6)＋12，
故1<f (A )<32.
故函数f(A)的取值范围是(1，3
2)．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。

莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。