2.3双曲线同步练习及答案解析

5.已知 P 是双曲线
x2 a2

y2 9
1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x－y＝0.设 F 、F
12
分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF |1 ＝________.
6.过双曲线 x 2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直 a2 b2
y2 b2
1,
a2
41 3，
再由 a2 b2

c2Βιβλιοθήκη 得 b2 1，故双曲线的方程为
x2 3
y2 1
.
(2）将 y kx 2 代入 x2 y2 1得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0 .
3

1 3k 2 0,
由直线与双曲线交于不同的两点得
4
9 81
4
当 λ ＜时，2 - 9λ = 6 ，解得 λ ．此时，所求的双曲线的方程为 y 2 - x 2 = 1 ．
94
8. 解：(1)由 16x －9y ＝144得
2
2
∴
x2 y2 1， 16
9
a＝3，b＝4，c＝5.
5
4
焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，离心率 e＝ ，3 渐近线方程为 y＝± x.3


(6
2k)2 36(1 3k 2 ) 36(1 k 2 ) 0,
k 2 1,
1 k 1,
即
k 2

1, 3
解得
k
3 且k 3
3. 3
由题意，得解得
所以焦点在轴上的双曲线的方程为 x2 9
y2 81 = 1 ．
4
同理可求焦点在轴上的双曲线的方程为 y2 - x2 = 1 ．
94
方法二：设以 y = ± 3 x 为渐近线的双曲线的方程为 x2 - y2 = λ(λ ¹ 0).
2
49
当 λ ＞时，2 4λ = 6 ，解得 λ 9 ．此时，所求的双曲线的方程为 x 2 - y2 = 1 ．
(2)由题意，得||PF |－1 |PF ||＝6，
PF1 2 PF222 F1F2 2
cos∠F P1 F ＝ 2
2 PF1 PF2
( PF1 PF2 )2 2 PF1 PF2 F1F2 2
2 PF1 PF2
36＋64－100
＝
64 ＝0.
∴ ∠F P1F ＝90°.
2
9.解：设双曲线方程为

y2 b2
1
(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 、F ，若 P 为其上一点，且|PF |
12
1
＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A．(1,3)
B．(1,3]
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
4．我们把离心率为 e＝
5＋1
x2
2 的双曲线 a 2

y2 b2
1
(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几
的左、右顶点分别是的左、右焦点. (1）求双曲线的方程； (2）若直线与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，求的范围
2
一、选择题
1. A
解析：由已知，直线的方程为.原点到直线的距离为
3 ，则有 4
ab = a2 + b2
3c. 4
又，所以，两边平方，得.两边同除以，并整理，得
，所以或
4 3
个说法：
2y2 ①双曲线 x2－ 5 1 ＝1 是黄金双曲线；
②若 b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③如图，若∠F B1 A ＝90°，则该双曲线是黄金双
曲线；
④如图，若∠MO1N2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二、填空题（每小题 5 分，共 10分）
1
又∵ S△PF1F2 ＝2 3，∴
21
π
2|PF1|·|PF |·si2n 3 ＝2 3.
∴ |PF1|·|PF |＝8.∴ 4c 2＝4a2＋8，即 b2＝2.
2
c
2
又∵ e＝ a ＝2，∴ a 2＝3.∴ 双曲线的方程为
3x2 y2 ＝1. 22
10.
解：（1）设双曲线的方程为
x2 a2

4.D
解析：①e＝
1
b2 a2
＝
1＋
5＋1 2＝
5＋3 5＋1 2 ＝ 2 ，双曲线是黄金双曲线．
5＋1 ②由 b2＝ac，可得 c2－a2＝ac，两边同除以 a2，即 e2－e－1＝0，从而 e＝ 2 ，双曲线是黄
金双曲线．
③|F B |1 2＝b2＋c2，|A2B 1| 2＝b2＋a2，|F A |2＝(a＋c)2，注意到∠F B A ＝90°，所以 b2＋c2＋ b2＋a12＝(a＋c) 2，即 b2＝ac，由②可知双1 2曲线为黄金双曲线． 1 1 2 二、填空题
5. 5
解析：∵ 双曲线
x2 y2 1的渐近线方程为 3x－y＝0，∴ a＝1.又 P 是双曲线右支 a2 9
上一点， |PF2|＝3，|PF |－1 |PF |＝2，∴ |PF |＝51. 2
6.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为 MN为圆的直径且点 A 在圆上，所以 F 为圆的
圆心，且所以，即由
.而，得
a2 + b2 a2
=
1+
b2 a2
＞
2，所以.故（负
值舍去）．
2．C 解析：双曲线的一条渐近线方程为即所以双曲线的右焦点则焦点到直线 l 的距离为
3.B 解析：∵ |PF |－1 |PF |＝2|PF |＝22a，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点， ∴ 有 c－a≤2a，∴ 1<e≤3，故选 B.
2.3 双曲线同步练测
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、选择题（每小题 5 分，共 20分）
1.
设双曲线的半焦距为，直线过两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为
（）
A.2
B. C.
D.
2．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则双曲线的焦点到直线的距离为( )
A．2
B.
C. D.
x2 3．已知双曲线 a2
三、解答题
7. 解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为 x2 - y2 (
)
a2 b2 = 1 a > 0,b > 0 ．
由题意，得解得
所以双曲线的方程为 x2 y2 64 - 36 = 1 ．
（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为 x2 - y2 (
)
a2 b2 =1 a > 0,b > 0 .
x2 a2

y2 b2
1
(a>0，b>0)，F (－c,0)，F (c,0)，P(x ，y )．
1
2
00
在△PF F1 中，由余弦定理，得
2
π
|F F |2 2＝|PF1| 2＋|PF2| 22|PF |·|PF |·co2 s
1
1
3
＝(|PF |－|PF |)2 2＋|PF |·|PF |. 2 即 4c2＝1 4a2＋|PF |·|PF |. 1
9. （15分）如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F 、1 F 分别为左、右焦点，
π
2
双曲线的左支上有一点 P，∠F P1 F ＝2 3，且△PF F1的2 面积为 2 3，又双曲线的离心率为 2，求
该双曲线的方程．
P
10. （20分）已知椭圆的方程为 x42 y 2 1 ，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而
径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于
.
三、解答题(共 70分) 7.（15分）求适合下列条件的双曲线的方程：
（1）焦点在轴上,虚轴长为 12，离心率为 5 ； 4
（2）顶点间的距离为 6，渐近线方程为
8.（20分）已知双曲线的方程是 16x2－9y2＝144. (1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设 F 1和 F 是2 双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且|PF |·1|PF |＝322，求∠F PF 的1大2 小．