常州市八年级上学期1月月考期末复习数学试卷 (解析版)

常州市八年级上学期1月月考期末复习数学试卷 （解析版）
一、选择题
1．下列四组线段a 、b 、c ，不能组成直角三角形的是( ) A ．4,5,3a b c === B ． 1.5,2, 2.5a b c === C ．5,
12,13a b c ===
D ．1,
2
,3a b c ===
2．下列实数中，无理数是（ ） A ．
227
B ．3π
C ．4-
D ．327
3．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为( )
A ．31︒
B ．62︒
C ．87︒
D ．93︒
4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝12，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分△BED 的面积是 （ ）
A ．18
B ．22.5
C ．36
D ．45 5．已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长为（ ） A ．10
B ．11
C ．10或11
D ．7
6．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A ．()a x y ax ay -=-
B ．()()3
11x x x x x -=+- C ．()()2
1343x x x x ++=++
D ．()2
2121x x x x ++=++
7．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案： 方案（一）：第一次提价%p ，第二次提价%q ； 方案（二）：第一次提价%q ，第二次提价%p ； 方案（三）：第一、二次提价均为2
%p q
+； 其中p ，q 是不相等的正数. 有以下说法：
①方案（一）、方案（二）提价一样；
②方案（一）的提价也有可能高于方案（二）的提价；
③三种方案中，以方案（三）的提价最多；
④方案（三）的提价也有可能会低于方案（一）或方案（二）的提价
.
其中正确的有（）
A．②③B．①③C．①④D．②④
8．如果0
a b
-<，且0
ab<，那么点(),a b在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（）
A．(3,4)
-B．(4,3)
-C．(4,3)
-D．()
3,4
-
10．若关于x的分式方程
2
1
1
x a
x
-
=
+
的解为负数，则字母a的取值范围为（）
A．a≥﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1且a≠﹣2二、填空题
11．17.85精确到十分位是_____．
12．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是_____．
13．在
3
11
，2π，
1
2
2
-，0，0.454454445…，3
1
9
中，无理数有______个.
14．在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y
的方程组11
22
y k x b
y k x b
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是________．
15．地球上七大洲的总面积约为149480000km2（精确到10000000 km2），用四舍五入法按要求取近似值，并用科学记数法为_________ km2．
16．若
171
a
+
=，则352020
a a
-+=__________．
17．3.145精确到百分位的近似数是____．
18．若直线y x m =+与直线24y x =-+的交点在y 轴上，则m =_______． 19．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 20．若等腰三角形的两边长是2和5，则此等腰三角形的周长是__．
三、解答题
21．如图，一次函数1y x b =+的图像与x 轴y 轴分别交于点A 、点B ，函数1y x b =+，与24
3
y x =-
的图像交于第二象限的点C ，且点C 横坐标为3-. （1）求b 的值；
（2）当120y y <<时，直接写出x 的取值范围； （3）在直线24
3
y x =-上有一动点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线1y x b =+于点Q ，当14
5
PQ OC =
时，求点P 的坐标.
22．如图，在ABC ∆中，110ACB ∠=，B A ∠>∠，D ，E 为边AB 上的两个点，且
BD BC =，AE AC =.
（1）若30A ∠=，求DCE ∠的度数；
（2）DCE ∠的度数会随着A ∠度数的变化而变化吗？请说明理由.
23．已知y 与2x -成正比例，且当1x =时，2y =-． （1）求y 与x 的函数表达式；
（2）当12x -<<时，求y 的取值范围．
24．直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为CB 延长线上一点，且BE CD =，连接DE . （1）如图1，求证2C E ∠=∠
（2）如图2，若6AB =、5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积.
25．已知，如图，//AB CD ，E 是AB 的中点，CE DE =，求证：AC BD =．
四、压轴题
26．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；
（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．
27．如图，已知等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A ＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与 BE 交于点 P ．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．
（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；
（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；
（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．
28．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．
（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．
①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．
（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；
（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．
29．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
（深入探究）
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作简要说明．
30．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝5
3
x相交于点B，与x轴相
交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于27
2
？请求
出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理，即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对每项进行计算判断即可.
解：A.22
22223491625,
525,a b c +=+==+=,
B.222221.52 2.254 6.25,2.5 6.25,a b c +=+==+=,
C.22222251225144169,13169,a b c +=+==+=,
222222123,39,.1D a b c +=+==+≠.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理，正确计算出每项的结果.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】
A.
22
7
是有理数，不符合题意； B.3π是无理数，符合题意；
C.=-2，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意. 故选：B. 【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据垂直平分线的性质，可以得到∠C=∠ABC ，再根据角平分线的性质，得到∠ABC 的度数，最后利用三角形内角和即可解决. 【详解】
∵DE 垂直平分BC ，
DB DC ∴=，
31C DBC ︒∴∠=∠=，
∵BD 平分ABC ∠，
262ABC DBC ︒∴∠=∠=， 180A ABC C ︒∴∠+∠+∠=，
180180623187A ABC C ︒︒︒︒︒∴∠=-∠-∠=--=
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质和三角形内角和，解决本题的关键是熟练掌握三者性质，正确理清各角之间的关系.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
易得BE=DE，利用勾股定理求得DE的长，利用三角形的面积公式可得阴影部分的面积．【详解】
根据翻折的性质可知：∠EBD=∠DBC．
又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴BE=DE．设BE=DE=x，∴AE=12﹣x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，即（12﹣x）2+62=x2，x=7.5，
∴S△EDB=1
2
×7.5×6=22.5．
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．同时也考查了勾股定理，利用勾股定理得到DE的长是解决本题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
可分3是腰长与底边，两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为：3、3、4，
能组成三角形，周长=3+3+4=10，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长=3+4+4=11，
∴三角形的周长为10或11．
故选择：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：A 、不是因式分解，故本选项不符合题意； B 、是因式分解，故本选项符合题意； C 、不是因式分解，故本选项不符合题意； D 、不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据提价方案求出提价后三种方案的价格，得到方案（一）、方案（二）、方案（三）提价情况，进行对比即可得解. 【详解】
∵方案（一）：(1%)(1%)1%%%%p q p q p q ++=+++ 方案（二）：(1%)(1%)1%%%%q p q p q p ++=+++ ∴方案（一）、方案（二）提价一样 ∴①对，②错； ∵方案（三）：2
(1%)(1%)1%%(%)222
p q p q p q p q +++++=+++ ∴可知：
21%%(
%)(1%%%%)2p q p q p q p q ++++-+++2(%)%%2
p q p q +=-2
(
%)2
p q -= ∵p ，q 是不相等的正数 ∴2
(
%)02
p q -> ∴方案（三）提价最多 ∴③对，④错 ∴①③对 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了销售问题中的增长率问题，熟练掌握增长率的相关知识及整式的乘法化简是解决本题的关键.
8．B
解析：B
【分析】
根据0a b -<，且0ab <可确定出a 、b 的正负情况，再判断出点(),a b 的横坐标与纵坐标的正负性，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】
解：∵0a b -<，且0ab <， ∴a 0,0b <> ∴点(),a b 在第二象限 故选：B 【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
9．C
解析：C 【解析】
分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案． 详解：由题意，得 x=-4，y=3，
即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．
点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y 轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x 轴的距离．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求出分式方程的解，由分式方程有意义的条件可知1x ≠-，即方程的解1≠-，由解为负数可知分式方程的解小于0，可得字母a 的取值范围. 【详解】
解：方程两边同时乘以（x +1），得2x ﹣a ＝x +1， 解得：x ＝a +1， ∵解为负数， ∴a +1＜0， ∴a ＜﹣1，
因为分式有意义，则10x +≠，1x ≠-，即11a +≠-，解得2a ≠- ∴a ＜﹣1且a ≠﹣2， 故选：D ．
本题考查了分式方程，根据分式方程解的情况确定参数的取值范围，解题过程中易忽视分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.
二、填空题
11．9．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
17.85精确到十分位是17.9
故答案为：17.9．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效
解析：9．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
17.85精确到十分位是17.9
故答案为：17.9．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
12．【解析】
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC= = ，∵CD=CB=1，∴AD=AC-CD= -1，∴AE= -1，∴点E表示的实数是 -1.
【解析】
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴
，∵CD=CB=1，∴ -
1，∴，∴点E
13．3
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行判断.
解：根据无理数的定义可知，，0.454454445…，为无理数，共3个.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键是掌握无
解析：3
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行判断.
【详解】
解：根据无理数的定义可知，2π，0.454454445
3个. 故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 14．．
【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k1x+b1与y ＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组的解是．
解析：21x y =⎧⎨=⎩
． 【解析】
【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
∵一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是21
x y =⎧⎨=⎩． 故答案为21x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15．5×108
【解析】
试题解析：将149480000用科学记数法表示为：1.4948×108≈1.5×108． 故答案为：1.5×108．
点睛：科学记数法的表示形式为的形式，其中 为整数．
解析：5×108
【解析】
试题解析：将149480000用科学记数法表示为：1.4948×108≈1.5×108．
故答案为：1.5×108．
点睛：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，
n 为整数． 16．2024
【解析】
【分析】
，代入a 值，根据乘法法则进行计算即可.
【详解】
=
=
=4+2020
=2024
故答案为：2024
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.掌握运算法则，运用乘法公
解析：2024
【解析】
【分析】
352020a a -+=()252020a a -+，代入a 值，根据乘法法则进行计算即可.
【详解】
352020a a -+=()2211520205202022a a ⎡⎤⎛⎫⎢⎥-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=52020⎤+⎥⎣⎦
=
2020 =4+2020
=2024
故答案为：2024
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.掌握运算法则，运用乘法公式是关键.
17．15.
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．3.145精确到百分位就是精确到数字4这一位，后一位数字5四舍五入即可.
【详解】
解：3.145≈3.15（精确到百分位）．
故答案为3.15．
解析：15.
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．3.145精确到百分位就是精确到数字4这一位，后一位数字5四舍五入即可.
【详解】
解：3.145≈3.15（精确到百分位）．
故答案为3.15．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
18．4
【解析】
【分析】
先求出直线与y 轴的交点坐标为（0，4），然后根据两直线相交的问题，把（0，4）代入即可求出m 的值．
【详解】
解：当x=0时，=4，则直线与y 轴的交点坐标为（0，4），
把（
解析：4
【解析】
【分析】
先求出直线24y x =-+与y 轴的交点坐标为（0，4），然后根据两直线相交的问题，把（0，4）代入y x m =+即可求出m 的值．
【详解】
解：当x=0时，24y x =-+=4，则直线24y x =-+与y 轴的交点坐标为（0，4）， 把（0，4）代入y x m =+得m=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．
19．5或
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：5
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴
或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用． 20．【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质分腰长为2和腰长为5两种情况讨论，选择能构成三角形的求值即可.
【详解】
解：①腰长为2，底边长为5，2+2＝4＜5，不能构成三角形，故舍去； ②腰长为5，
解析：【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质分腰长为2和腰长为5两种情况讨论，选择能构成三角形的求值即可.
【详解】
解：①腰长为2，底边长为5，2+2＝4＜5，不能构成三角形，故舍去；
②腰长为5，底边长为2，则周长＝5+5+2＝12．
故其周长为12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，已知两边长求周长，结合等腰三角形的性质，灵活的进行分类讨论是解题的关键.
三、解答题
21．（1）7b =（2）73x -<<-（3）点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-
【解析】
【分析】
（1）将点C 横坐标代入243y x =-
求得点C 的纵坐标为4，再把（-3，4）代入1y x b =+求出b 即可；
（2）求出点A 坐标，结合点C 坐标即可判断出当120y y <<时， x 的取值范围； （3）设P （a,-43
a ），可求出Q （473a --，43a -），即可得PQ=773a +，再求出OC=5，根据145
PQ OC =
求出a 的值即可得出结论. 【详解】 （1）把3x =-代入243y x =-
， 得4y =.
∴C （-3，4）
把点(3,4)C -代入1y x b =+，
得7b =.
（2）∵b=7
∴y=x+7，
当y=0时，x=-7,x=-3时，y=4，
∴当120y y <<时，73x -<<-.
（3）点P 为直线43
y x =-上一动点， ∴设点P 坐标为4(,)3
a a -. //PQ x ∵轴，
∴把43y a =-代入7y x =+，得473
x a =--. ∴点Q 坐标为447,3
3a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，
477733PQ a a a ∴=+
+=+ 又点C 坐标为()3,4-，
5OC ∴==
14145PQ OC ∴=
= 77143
a ∴+= 解之，得3a =或9a =-.
∴点P 坐标为(3,4)-或(9,12)-.
【点睛】
理解点在直线上则它的坐标满足直线的解析式．学会用坐标表示线段的长．
22．（1）35°;（2）DCE ∠的度数不会随着A ∠度数的变化而变化，是35°.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质求出∠ACE=∠AEC ，∠BCD=∠BDC ，得∠BCE=∠ACB-∠ACE =110°-75°=35°；再根据∠DCE=∠BCD-∠BCE 可得；
（2）解题方法如（1），求
∠ACE=∠AEC=180
∠2A ;∠BCD=∠BDC=()1807018022
A B --∠-∠=，
∠BCE=∠ACB-∠ACE ，所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=
1102A +∠-(110°-180∠2A ). 【详解】
因为BD BC =，AE AC =
所以∠ACE=∠AEC=
180180307522A -∠-== ; ∠BCD=∠BDC=180180407022
B -∠-==
所以∠BCE=∠ACB-∠ACE=110°-75°=35°
所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=70°-35°=35°;
（2）DCE ∠的度数不会随着A ∠度数的变化而变化，理由：
因为在ABC ∆中，110ACB ∠=，
所以18011070;B A A ∠=--∠=-∠
因为BD BC =，AE AC =
所以∠ACE=∠AEC=180
∠2A ;
∠BCD=∠BDC=()18070180110222
A B A --∠-∠+∠== 所以∠BCE=∠ACB-∠ACE=110°-
180∠2A 所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=1102A +∠-(110°-180∠2A )=35° 故DCE ∠的度数不会随着A ∠度数的变化而变化，是35°.
【点睛】
考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形边角关系是关键.
23．（1）y=2x-4；（2）-6＜y ＜0．
【解析】
【分析】
（1）设y=k （x-2），把x=1，y=-2代入求出k 值即可；
（2）把x=-1，x=2代入解析式求出相应的y 值，然后根据函数的增减性解答即可．
【详解】
解：（1）因为y 与x-2成正比例，可得：y=k （x-2），
把x=1，y=-2代入y=k （x-2），
得k （1-2）=-2，
解得：k=2，
所以解析式为：y=2（x-2）=2x-4；
（2）把x=-1，x=2分别代入y=2x-4，
可得：y=-6，y=0，
∵y=2x-4中y 随x 的增大而增大，
∴当-1＜x ＜2时，y 的范围为-6＜y ＜0．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
24．（1）见解析（2）
9613 【解析】
【分析】
（1）连接BD ，依题意得BD=CD ，所以∠C=∠CBD ，可证明∠CBD=2E ∠，进而可得结论； （2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥，根据已知求出CD=5，AC=10，由勾股定理求出BC=8，求出S △BCD =12
S △ABC ，再根据BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+，即111222
CD FN BC FM =⋅+⋅可求出FM ，从而可得结论. 【详解】
（1）连接BD
点D 为AC 中点，且90ABC ∠=︒，
12BD AC CD AD ∴===， CD BE =，
BE BD ∴=，
BDE E ∴∠=∠，
又BD CD ∴=，
C DBC ∴∠=∠，
2C DBC BDE E E ∴∠=∠=∠+∠=∠，
（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥.
CG 平分ABC ∠，
FM FN ∴=，
5BE =，
5,10CD AD BE AC ∴====，
又6AB = ∴在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，
8BC ∴= BD 为ABC ∆中线，
11111681222222
BCD ABC S S AB BC ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯=， 又BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+，
111222
CD FN BC FM ∴=⋅+⋅， 11581222
FM FM ∴⨯⨯+⨯⨯=， 2413
FM ∴=， 1124968221313BCF S BC FM ∆∴=
⋅=⨯⨯=，
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形中线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.
25．见解析
【解析】
【分析】
由CE=DE 易得∠ECD=∠EDC ，结合AB ∥CD 易得∠AEC=∠BED ，由此再结合AE=BE ，CE=DE 即可证得△AEC ≌△BED ，由此即可得到AC=BD.
【详解】
∵CE DE =，
∴ECD EDC ∠=∠，
∵//AB CD ，
∴AEC ECD ∠=∠，BED EDC ∠=∠，
∴AEC BED ∠=∠，
又∵E 是AB 的中点，
∴AE BE =，
在AEC 和BED 中，AE BE AEC BED CE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEC ≌BED ．
∴AC BD =．
【点睛】
熟悉“等腰三角形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定方法”是解答本题的关键.
四、压轴题
26．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．
【解析】
【分析】
（1）①先证明△ACE ≌△CBD 得到∠ACE=∠CBD ，再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF ；②先证明△ACE ≌△CBD 得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA ；
（2）证明△AEC ≌△CDB 得到∠E=∠D ，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【详解】
（1）如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60．
（3）如图③中，
∵点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，
∴OC=OA ，
∴∠EAC=∠DCB=α，
∵AC=BC ，AE=CD ，
∴△AEC ≌△CDB ，
∴∠E=∠D ，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
27．（1）56°；（2）y=454x +
；（3）36°或1807
°. 【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454
x +
解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，
∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠BDC=90°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE=34°，
∴∠BPD =90-34=56°；
（2）∵∠A =x °，
∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902
x -
）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -
）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454
x +
； （3）①若EP=EC ，
则∠ECP=∠EPC=y ，
而∠ABC=∠ACB=902x -
，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454
x +， ∴902x -+902x --（454
x +）=90°， 解得：x=36°；
②若PC=PE ，
则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902
y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454
x +， 解得：x=
1807
°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，
由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454
x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或
1807°. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.
28．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC 的表达式为：y ＝﹣x+3或y ＝x+1；（3）m 的
取值范围为﹣3≤m ≤﹣或2m ≤3．
【解析】
【分析】
（1）①由矩形的性质即可得出结果；
②由矩形的性质即可得出结果；
（2）过点A （1，2）作直线y ＝﹣1的垂线，垂足为点G ，则AG ＝3求出正方形AGCH 的边长为3，分两种情况求出直线AC 的表达式即可；
（3）由题意得出点M 在直线y ＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD ＝OE ＝12DE ＝
1，EF ＝DF ＝DE ＝2，得出OF OD
①当点N 在边EF 上时，若点N 与E 重合，点M ，N 的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N 与F 重合，点M ，N 的“相关矩形”为正方形，则
点M的坐标为（﹣2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣
≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（22）；得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣
≤m≤1；即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵b＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：
∵点A的坐标为（1，2），
∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，
故答案为：6；
②如图2﹣2所示：
由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，
∴|b﹣1|＝4，
∴b＝5或b＝﹣3，
故答案为：5或﹣3；
（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，
∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，
∴正方形AGCH的边长为3，
当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：
CG＝3，
则C（4，﹣1），
设直线AC的表达式为：y＝kx+a，
则
2
14
k a
k a
=+
⎧
⎨
-=+
⎩
，
解得；
1
3
k
a
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；
当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，
则C（﹣2，﹣1），
设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，
则
2
12
k b
k b
=+
⎧
⎨
-=-+
'
'
⎩
，
解得：
k1 b1
=
⎧
⎨
=
'
⎩
，
∴直线AC的表达式为：y＝x+1，
综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）∵点M的坐标为（m，2），
∴点M在直线y＝2上，
∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），
∴OD＝OE＝1
2
DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，
∴OF＝3OD＝3，
分两种情况：如图4所示：
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（﹣2+3，2）或（2﹣3，2）；
∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（2﹣3，2）或（﹣2+3，2）；
∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3；
综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3．
【点睛】
此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．
29．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC不全等．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
【详解】
（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．
（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角
∴G、H分别在AB、DE的延长线上．
∵CG⊥AG，FH⊥DH，
∴∠CGA＝∠FHD＝90°．
∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，
∴∠CBG＝∠FEH．
在△BCG 和△EFH 中，
∵∠CGB ＝∠FHE ，∠CBG ＝∠FEH ，BC ＝EF ，
∴△BCG ≌△EFH ．
∴CG ＝FH ．
又∵AC ＝DF ．∴Rt △ACG ≌△DFH ．
∴∠A ＝∠D ．
在△ABC 和△DEF 中，
∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF ．
（3）如图②，△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
30．（1）点B （3，5），k ＝﹣43
，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478） 【解析】
【分析】
（1）53
y x =
相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）53
y x =相交于点B ，则点(3,5)B ， 将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43k =-
，9b =； （2）设点4(,9)3
Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，
故点Q （0，9）或（6，1）；
（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，
则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，
当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m
或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =
； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478
）. 【点睛】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。