2023-2024学年广东省佛山市南海区高二下册第一次段考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省佛山市南海区高二下册第一次段考数学
模拟试题
一、单选题
1．数列4567
,,,,3456-- 的一个通项公式为n a =（
）
A ．
()1(1)2121n n n +-⋅++B ．
()(1)2121n n n -⋅++C ．
()1(1)32
n n n +-++D ．
()(1)32
n n n -++【正确答案】C
【分析】利用观察法即得一个通项公式..
【详解】因为数列4567
,,,,3456
-- ，
所以它的一个通项公式为()1(1)32
n n n a n +-+=+．
故选：C ．
2．已知函数()()32
152f x x f x x '=+-+，则()1f -=（
）
A ．3-
B ．2-
C ．7
D ．8
【正确答案】D
【分析】由题可得2()32(1)5f x x f x ''=+-，令1x =可得(1)2f '=，进而即得.
【详解】因为()()32
152f x x f x x '=+-+，
所以2()32(1)5f x x f x ''=+-，所以(1)32(1)5f f ''=+-，解得(1)2f '=，
则()32
252f x x x x =+-+，
故()112528f -=-+++=.故选：D.
3．在等比数列{}n a 中，141,4a a ==，则16是{}n a 中的（）
A ．第6项
B ．第7项
C ．第8项
D ．第9项
【正确答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式结合条件即可得出．【详解】设等比数列{an }的公比为q ，因为141,4a a ==，∴34q =，解得2
32q =．
则该数列的通项()2
1132n n n a q --==，由)2
13216n n a -==，可得7n =，
即16是{}n a 中的第7项.故选：B ．
4．
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的
方法，如()
000e 1e 1e lim lim lim 11x x x x x x x x
'→→→'--===，则21ln 1lim 2x x x x x →+-=+-（）
A ．1
2
B ．
2
3
C ．1
D ．2
【正确答案】B
【分析】利用洛必达法则直接求解即可.
【详解】()()'
'21112
11ln 1ln 12lim lim lim 2213
2x x x x x x x x x x x x x →→→++-+-===+-++-.故选：B.
5．在等差数列{}n a 中，34545612,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的公差是（）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．1
【正确答案】C
【分析】根据等差数列的性质结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
因为34544565312,183a a a a a a a a ++=++===，所以454,6a a ==，故2d =，即数列{}n a 的公差为2.故选：C.
6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩
法中，用n a 表示解下()9,N n n n +≤∈个圆环所需要移动的最少次数，数列{}n a 满足11a =，
且121,22,n n n
a n a a n +-⎧=⎨+⎩为奇数
为偶数，则58a a +=（
）A ．287B ．272
C ．158
D ．143
【正确答案】D
【分析】根据已知递推公式，利用代入法进行求解即可.
【详解】因为数列{}n a 满足11a =，且121,22,n n n
a n a a n +-⎧=⎨+⎩为奇数
为偶数，
所以21324354211,224,217,2216a a a a a a a a =-==+==-==+=，
6576872131,2264,21127a a a a a a =-==+==-=,
所以5816127143a a +=+=.故选：D.
7．已知A 是函数()2
ln f x x x =-图象上的任意一点，B 是直线30x y +-=上的动点，则,A B
之间的最短距离是（）A
．
2B
．C
．D
．
2
【正确答案】A
【分析】先设00(,)A x y 为函数()2
ln f x x x =-上一点，且以点00(,)A x y 为切点的直线与直线
30x y +-=平行，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可得解.
【详解】设00(,)A x y 为函数()2
ln f x x x =-上一点，且以点00(,)A x y 为切点的直线与直线
30x y +-=平行，
由()2ln f x x x =-，则()'
12f x x x
=
-，由已知有()'
000121f x x x =-=-，
解得01x =或01
2
x =-(舍去)，
则,A B 之间的最短距离为点(1,1)A -到直线30x y +-=
的距离，由点到直线的距离公式
2
d =
，故选：A.
8．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数记为()f x '，若()y f x =为奇函数且(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '+<，则不等式()0f x <的解集是（）
A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞
B ．(1,1)
-C ．(,1)(0,1)
-∞-⋃D ．(1,0)(1,)
-⋃+∞【正确答案】D
【分析】设()(),0g x xf x x =>，根据题意求得函数()g x 在(,0)-∞为单调递增函数，然后分
0x =，0x >和0x <三种情况进行求解即可
【详解】设()(),0g x xf x x =>，则()()()g x f x xf x ''=+，
因为当0x >时，()()0f x xf x '+<成立，所以()0g x '<，()g x 为递减函数，又因为函数()y f x =为奇函数，可得()()f x f x -=-，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，所以函数()g x 在(,0)-∞为单调递增函数，
因为(1)0f -=，所以(1)0f =，(1)0g =，(1)0g -=，当0x =时，由()y f x =为奇函数可得()0f x =不满足题意；当0x >时，由()0f x <可得()()()01g x xf x g =<=，所以1x >；
当0x <时，由()0f x <可得()()()01g x xf x g =>=-，所以1x >-，此时10x -<<，综上所述，不等式()0f x <的解集是(1,0)(1,)-⋃+∞故选：D
二、多选题
9．下列求导正确的是（
）
A ．若3ln y x x =，则223ln y x x x ='+
B ．若21
1
x y x -=
+，则21(1)y x +'=
C ．若sin2y x =，则cos2y x '=
D ．若1y x
=，则2
1y x '=-【正确答案】AD
【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.
【详解】对于A ，3ln y x x =的导数为223ln y x x x ='+，故选项A 正确；对于B ，21
1
x y x -=
+的导数为222(1)(21)3(1)(1)x x y x x +--==++'，故选项B 错误；
对于C ，sin2y x =的导数为(sin2)2cos 2y x x ''==，故选项C 错误；对于D ，1y x
=的导数为2
1
y x '=-，故选项D 正确，故选：AD.
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若130a =，1219S S =，则（）
A ．2d =-
B ．15n S S ≤
C ．150a =
D ．300
S =【正确答案】AB
【分析】由等差数列前n 项和公式求出d ，再结合通项公式和前n 项和公式逐项辨析即可.【详解】方法一：
∵等差数列{}n a 满足130a =，1219S S =，∴由等差数列前n 项和公式有12111918
1230193022
d d ⨯⨯⨯+
⨯=⨯+⨯，解得2d =-，∴232n a n =-+，2
31n S n n =-+，
对于A ，2d =-，故选项A 正确；
对于B ，2
2
319613124n S n n n ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，当n 取与312最接近的整数即15或16时，n S 最大，
∴15n S S ≤，故选项B 正确；
对于C ，152153220a =-⨯+=≠，故选项C 错误；
对于D ，2
30303130300S =-+⨯=≠，故选项D 错误.
方法二：
∵等差数列{}n a 满足1219S S =，
∴1912131415161718191670S S a a a a a a a a -=++++++==，∴160a =对于A ，1611530150a a d d =+=+=，∴2d =-，故A 正确；
对于B ，1300a =>，20d =-<，160a =，∴1516n S S S =≥，故选项B 正确；对于C ，151620a a d =-=≠，故选项C 错误；对于D ，()()()13015163030303020300222
a a a a S ⨯+⨯+⨯+===
=≠，故选项D 错误.
故选：AB.
11．已知函数()2
e
x x f x =，则下列选项正确的是（
）
A ．函数()f x 在0x =处取得极小值0
B ．()()
e 3
f f >C ．若函数()f x m ≤在[]1,3上恒成立，则3
9
e m ≥D ．函数()()12
h x f x =-有三个零点【正确答案】ABD
【分析】求函数的导数，判断其单调性，可确定函数的极值点，判断A;根据函数的单调性即可判断B;根据函数的导数以及函数的单调性的判断，求得其极大值即最大值，可判断C;作出函数的大致图象，数形结合，判断D.【详解】由题意得：()()
2e x
x x f x -'=
，A ．(),0x ∈-∞，()0f x '<，f （x ）单调递减；()0,2x ∈，()0f x ¢>，f （x ）单调递增，故函数在0x =处取得极小值，A 正确；B ．当2x >时，()()
20e
x
x x f x -'=
<，f （x ）在()2,+∞上单调递减，故()()e 3f f >，B 正确；
C ．由以上分析可得在[1,3]上max 2
4()(2)e f x f ==
，故若函数()f x m ≤在[]1,3上恒成立，则24
e
m ≥，C 错误；
D ．由以上分析可作出函数()f x 的大致图象：
由f （x ）的大致图象可知()2
e
x x f x =的图象与12y =有三个交点，
故函数()()12
h x f x =-有三个零点，D 正确，
故选：ABD
12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n
n S b n
=
，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”，且1
2n n
b =，则下列选项正确的是（）
A ．318
a =-
B ．数列{}n a 是递增数列
C ．数列{}2n
n a ⋅是等差数列
D ．当32m ≥
时，对任意的*n ∈N ，不等式2
3104
n m m a --+≥恒成立【正确答案】ACD
【分析】先根据n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，根据数列项的特点并结合数列的单调性逐一判断各选项.【详解】已知n n S b n =，12
n n b =，则2n n n
S =.
当1n =时，11
2
a =
；当2n ≥时，()11222222
11n n n n n n n n n n n a n S S ------=-=-==；综上，22
n n n a -=
，*
n ∈N .对于A ，31
8
a =-，故A 正确；
对于B ，()1
11222
2123
n n n n n n a n n a +++-+--=
--
=，当3n ≤时，10n n a a +-≤，即1n n a a +≤，数列{}n a 单调递减；
当4n ≥时，10n n a a +->，数列1n n a a +≥，数列{}n a 单调递增，故B 错误；
对于C ，22n
n a n =⋅-，数列{}2n n a ⋅是等差数列，公差为-1，故C 正确；
对于D ，令2
3()14
f m m m =--，32m ≥，
对称轴38m =
，函数()f m 在3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，则31
()28
f m f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭.
由B 选项推理可知当3n =时，n a 取最小值，则1
8
n a ≥-，
当32m ≥
时，对任意的*n ∈N ，不等式2
3104
n m m a --+≥恒成立，故D 正确.故选：ACD.
三、填空题
13．等比数列{}n a 中，32a =，78a =，则5a =__________【正确答案】4
【分析】由等比数列的性质求解
【详解】由题意得2
537·16a a a ==，而530a a >，故5a 只能取4．
故4
14．若函数()ln f x x a x =-的图象在点()()1,1f 处的切线恰好经过点（2，3），则a ＝______．【正确答案】-1
【分析】先求导，然后分别求出()()1,1f f '，表示出切线方程，最后将点（2，3）代入切线方程即可求出答案.
【详解】由题可知()1a
f x x
'=-，则()11f a '=-．
又()11f =，所以()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()111y a x -=--，即
()1y a x a =-+．因为点（2，3）在切线上，所以322a a =-+，解得1a =-．
故-1.
15．已知函数()()2
3(2)f x a x x =--，当2x =时，()f x 有极小值，则满足条件的一个a 的值
为__________.
【正确答案】7（答案不唯一，满足6a >即可）【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.【详解】由题意得，
()()()()()()()()2
32322236262926f x x a x x x x a x x x a '=--+-⨯-=--++-=----，
令()0f x '=,解得2x =或26
9
a x +=，当
2629a +>，即6a >时，()f x 在(),2-∞上单调递减，在262,9a +⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增，
所以()f x 在2x =处取极小值，所以a 的一个取值可取7a =，故7（答案不唯一，满足6a >即可）.
16．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()22
1110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则它的通项公式
n a =______.
【正确答案】
1n
【分析】由条件有()()1110n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦，由数列{}n a 为正项数列，即得
()101n n n a na ++-=，然后利用累乘法可求出数列的通项公式.
【详解】由()22
1110n n n n n a na a a +++-+⋅=，则()()1110
n n n n n a na a a ++⎡⎤+-+=⎣⎦又数列{}n a 为正项数列，即0n a >，11a =所以()101n n n a na ++-=，即
11
n n a a n
n +=+所以1211211211
112n n n n n a a a n n a a a a a n n n
-----=
⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=- 故
1
n
本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查累乘法，属于中档题.
四、解答题
17．已知函数()32
242x x f x x =--+.
(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[]1,3-上的值域.
【正确答案】(1)()f x 的单调递增区间为2,3
⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
，()2,+∞；
(2)946,27⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦.
【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间；（2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得.
【详解】（1）因为()32
242x x f x x =--+．
所以()()()2
344322x x f x x x =--=+-'，
由()0f x '=，可得2
3x =-或2x =，
()f x '，()f x 的变化情况如下：x 2,3⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭2
3-
2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
2()
2,+∞()
f x '+0
-
+
()
f x 递增
9427
递减6-递增
所以函数()f x 的单调递增区间为2,3
⎛⎫
-∞- ⎪⎝
⎭
，()2,+∞；
（2）由（1）知，()f x 在21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在[]2,3上单调递
增．
所以2
3x =-为极大值点，2x =为极小值点，又()13f -=，
294
327
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()26f =-，()31f =-，
所以()f x 在[]1,3-上的值域为946,27⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦.
18．小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存10000元，以后每个月在前一个月
的基础上增加20%.记小华第一个月（今年4月）存入的金额为1a 元，小华第n 个月当月存入的金额为n a 元.
(1)求小华前3个月的总存款金额；
(2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月钱才能全款购买这辆汽车.（取6781.2 2.99,1.2 3.58,1.2 4.30===）
【正确答案】(1)3.64万元；
(2)7.
【分析】（1）根据已知数列{}n a 是首项为1a ，公比为1.2的等比数列，进而即得；（2）利用求和公式求得n S ，然后根据条件列不等式，进而即得.
【详解】（1）依题意，()211120% 1.2a a a =+=元，321.2a a =元，
1 1.2n n a a +=元，
则1 1.2n n a a +=，即数列{}n a 是首项为1a ，公比为1.2的等比数列，
所以111.2n n a a -=，又11a =万元，
所以小华前3个月的总存款金额为211111.2 1. 3.64 3.642a a a a ++==万元；
（2）因为111.2n n a a -=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，
则()
1 1.2111.2n n S a =--，由 1.21112
1 1.n
≥--，可得1.2 3.2n ≥，又6781.2 2.99,1.2 3.58,1.2 4.30===，
所以7n ≥，
即小华至少要存7个月钱才能全款购买这辆汽车.
19．公差不为0的等差数列{}n a ，满足24139220,,,a a a a a +=成等比数列.
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)记12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【正确答案】(1)2n a n =；
(2)()1122n n T n +=-+．
【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意列出关于1,a d 的两个方程，求出1,a d ，从而可求出通项公式；
（2）利用错位相减法即得.
【详解】（1）设{}n a 的公差为,0d d ≠，因为24139220,,,a a a a a +=成等比数列，
则()()121
11372028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，又0d ≠，解得12a =，2d =，
故()2212n a n n =+-=；
（2）由（1）知122n n n n b a n -==⋅，
则212222n n T n =⨯+⨯++⋅ ，
231212222n n T n +=⨯+⨯++⋅ ，所以()1221112222222
212212
n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=---L ，所以()1122n n T n +=-+．20．在数列{}n a 中，11232422n n n a a a a n -++++=⋅ .
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)若(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
【正确答案】(1)1n a n =+；
(2)2n S n =.
【分析】（1）运用数列的递推式，求得首项，再将n 换为n 1-，两式相减，即可得到所求通项公式；
（2）由题可得()(1)1n n b n =-+，根据分组求和法即得．
【详解】（1）∵1123242
2n n n a a a a n -++++=⋅ ，当1n =时，12a =，
当2n ≥时，()211231242
12n n n a a a a n ---++++=-⋅ ，所以()112122n n n n n a n --⋅-⋅=-，即1n a n =+（2n ≥），
又∵12a =也适合，
∴1n a n =+；
（2）由（1）知()(1)(1)1n n n n b a n =-=-+，
()()()223452212345221n S n n n n n ==-+-+--++-++-+++-++=
，∴2n S n =.
21．已知函数()22ln 3f x x x x =-+.
(1)求()f x 的极值；
(2)设函数()()3143
g x f x x x m =+-+，讨论()g x 的零点个数.【正确答案】(1)极大值为()22ln22f =+，无极小值；
(2)详见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与函数极值的关系即得；
（2）求出函数的单调区间及极值，结合函数的单调性，极值讨论函数的零点个数即可．
【详解】（1）因为()22ln 3,0f x x x x x =-+>，则
()()()2212222323x x x x f x x x x x
-+--+'=-+==，由()0f x ¢>，可得02x <<，由()0f x '<，可得2x >，
所以函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，
所以函数在2x =处有极大值，极大值为()22ln22f =+，无极小值；
（2）因为()3212ln ,03
g x x x x x m x =+--+>，
所以()()()()32211222221,0x x x x x x g x x x x x x x
+----+'=+--==>，由()0g x '>，可得01x <<或2x >，由()0g x '<，可得12x <<，
所以函数()g x 在()0,1和()2,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，
当1x =时，函数有极大值()513g m =-，当2x =时，函数有极小值()1022ln 23
g m =+-，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞
→+∴当()5103g m =-<或()1022ln 203g m =+->，即53m <或102ln 23
m >-时，()g x 有一个零点，
当()5103g m =-
=或()1022ln 203g m =+-=，即53m =或102ln 23m =-时，()g x 有两个零点，
当()5103g m =->且()1022ln 203g m =+-<，即5102ln 233
m <<-，()g x 有三个零点，综上：当53m <或102ln 23m >-时，()g x 有一个零点；53m =或102ln 23m =-时，()g x 有两个零点；5102ln 233
m <<-，()g x 有三个零点.利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
22．已知数列{}n a 的首项123
a =，且满足121n n n a a a +=+．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
为等比数列;
(2)设数列{}n b 满足**11,2,N 22,21,N 2n n n t t a b n n n t t n
n ⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪+-=-∈⎪+⎩，求最小的实数m ，使得
122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．
【正确答案】(1)证明见解析(2)7
3
【分析】（1）根据题意，将递推公式代入即可证明；
（2）根据题意和（1）的结论，利用分组求和法求得12272132134k k
b b b k +++=--+⨯ ，然后利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为121n n n a a a +=+，所以111112111211n n n n n
a a a a a ++--==--．又111102a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是一个首项为12，公比为12的等比数列.（2）由()1知，当n 为偶数时，1112n n n
b a =
-=，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+-=-++故()()
1221321242k k k b b b b b b b b b -+++=+++++++ 242222222111133521212
22k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++++ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211127212221213213412
k k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+=--++⨯-，当N k *∈时，2102134k
k +>+⨯，则7217321343
k k --<+⨯，所以m 的最小值为73．。