第二讲 圆幂定理讲解学习

第二讲圆幂定理
第三讲 直线与圆的位置关系
一、知识扫描
（一）、直线与圆的位置关系
设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：
（二）、切线的性质及判定 1、切线的性质
（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点
③过圆心
①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥．
②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ．
③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．
2、切线的判定
（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．
l
3、切线长和切线长定理
（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
二、考点聚焦
考点题型1、直线与圆位置关系的确定
例1、在Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，
12cm
AC=，16cm
BC=，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎样的位置关系？为什么？
⑴9cm
r=；⑵10cm
r=；⑶9.6cm
r=．
例2、如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45
AOB
∠=︒，点P在数
轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP x
=，则x的取值范围是A．0≤x2B．2
-≤x2
C．－1≤x≤1D．x2
P
B
O
A
例3、如下左图，在直角梯形ABCD
中，AD BC
∥，90
C=︒
∠，且
AB AD BC
>+，AB是O
e的直
O
O
O
l l
径，则直线CD与O
e的位置关系为( )
A．相离B．相切 C．相交 D．无法确定
O
B
C
D A
巩固练习：
如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O
e的切线AD，
BA DA
⊥，10
BC=，4
AD=，那么直线CE与以点O为圆心，
5
2
为半径的圆的位置关系
是．
考点题型2、切线的性质与判断
例4、（1）如图，Rt ABC
∆中，9043
C AC BC
∠=︒==
，，，以BC上一点O为圆心作
O
⊙与AB AC
、相切，又O
⊙与BC的另一交点为D，则线段BD的长为_____________．
（2）AB是圆的直径，BC是它的弦，过C作圆的切线CD，过B作BE CD
⊥交CD于
E，求证：ABC EBC
∠=∠．
A O B
C
D
E
例5、已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，
切线DE AC ⊥，垂足为点E ．求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）1
3
AE CE =．
E
C
B
巩固练习：
在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于
点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ．
（1）求证：BD BF =； （2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．
O F
E D C B
A
例6、（1）如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．
（2）已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O e 的切线．
（3）如下图所示，以Rt ABC 的直角边BC 为直径作半圆O ，交斜边于D ，OE AC ∥交AB 于E ，求证：DE 是O ⊙的切线；
（4）如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B ．
①求证：AD 是⊙O 的切线．
②若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．
A
B
C
D
O
巩固练习：
1、如图所示在Rt ABC
∆中，90
B
∠=︒，A
∠的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE DC
=，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是D
⊙的切线；（2）AB EB AC
+=．
2、如图，AB是O
⊙的直径，C点在圆上，CD AB
⊥于D．P在BA延长线上，且PCA ACD
∠=∠．求证：PC是O
⊙的切线．
O
D
C
B
A
P
3、如图，O
⊙是Rt ABC
∆的外接圆，90
ABC
∠=︒，点P是圆外一点，PA切O
⊙于点A，且PA PB
=．
（1）求证：PB是O
⊙的切线．
（2）已知31
PA BC
==
，，求O
⊙的半径．
考点题型3、切线长定理
例7、（1）如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形
上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D C E
，，．若半圆O
的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是________．
（2）如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．
（3）如图，O ⊙是ABC ∆的内切圆，D E F ，，是切点，18cm 20cm 12cm AB BC AC ===，，，又直线MN 切O ⊙于G ，交AB AC 、于MN ，则
BMN ∆的周长为______________．
巩固练习：
1、等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．
2、如图，PA PB ，切O e 于A B ，，MN 切O e 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．
例8、（1）如图，以正方形ABCD 的BC 边为直径作半圆O , 过点D 作直线切半圆于点
F , 交AB 边于点E . 则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为________．
（2）梯形ABCD 中，//,AB CD O 是AB 上一点，以O 为圆心的半圆与,,AD CD BC 都相切。

已知6,4AD BC ==，求AB 的长。

例9、（1）如图, AB 是⊙O 直径, CB AB ⊥于B ,AC 交⊙O 于D ,DE 切⊙O 于D ,交
BC 于E .求证① BE CE =;② 21
4
DE CD CA =⋅
（2）（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，,AD BC 分别切⊙O 于,A B 两点，CD 切⊙O 于点,E AD 与CD 相交于,D BC 与CD 相交于C ，连接,OD OC ，对于下列结论：①2
OD DE CD =⋅；②AD BC CD +=；③OD OC =④1
2
ABCD S CD OA =⋅梯形；⑤90DOC ︒
∠=，其中正确的是________．
综合提升
例10、如图，AB为O
⊙的直径，D是»BC的中点，DE AC
⊥交AC的延长线于E，O
⊙的切线BF交AD的延长线于点F．
（1）求证：DE是O
⊙的切线；
（2）若3
DE=，O
⊙的半径为5，求BF的长．
O
C D F
A B
例11、已知，如图在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的圆O与
AD AC
、分别交于点E F
、，ACB DCE
∠=∠．
（1）判断直线CE与O
⊙的位置关系，并证明你的结论；
（2）若
2
tan2
ACB BC
∠==
，，求O
⊙的半径．
例12、已知：在O
e中，AB是直径，AC是弦，OE AC
⊥于点E，过点C作直线FC，使FCA AOE
∠=∠，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是O
e的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若2
OG=，求O
e半径的长；
（3）在（2）的条件下，当3
OE=时，求图中阴影部分的面积．
例13、如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠． （1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：1
2
BC AB =
； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若4AB =，求MC 的值．
对应练习：
1、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． （1）求证：CD 与O ⊙相切．
（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．
2、如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB ⊥于点G ．
（1）求证：点E 是»BD
的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线； （3）若4
sin 5
BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．
3、如图，AB是O
e的直径，30
∠=︒，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于
BAC
点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECF E
∠=∠．
（1）证明CF是O
e的切线；
（2）设O
e的半径为1，且AC CE
=，求MO的长．
第四讲圆幂定理
一、知识扫描
1、弦切角定理
⑴定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

⑵弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AB是弦，则∠PAB
＝∠ACB。

证明：
2、相交弦定理
圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。

即：PA PB PC PD
⋅=⋅
证明：
3、切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

4、割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图，PT 是⊙O 的切线，T 是切点，PAB 、PCD 是割线，则PT 2＝PA ·PB ，PA ·PB ＝PC ·PD 。

证明：
小结：（圆幂定理）
过圆所在平面内任一点作直线，与圆交于两点，则点与圆上两点的距离之乘积等于点心距与半径的平方差的绝对值.
即2
2
AP BP OP R ⋅=- (因2
2
OP R -叫做P 点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理)．
二、方法技能平台
例1、（1）已知：如图 ，PA 、PB 切⊙O 于,A B 两点，AC 为直径，则图中与PAB ∠相等的角的个数为 ．
（2）已知：如图，直线BC 切⊙O 于B 点，AB AC =，AD BD =，那么
A ∠= ．
（3）如图，AB 为⊙O 直径，CE 切⊙O 于点C ，AB CD ⊥，D 为垂足，
ο3012=∠=B cm AB ，，则
=∠ECB __________;=CD _________. （4）已知：如图，三角形ABC 的
90C ∠=o ，内切圆O 与ABC ∆的三边分别切
于D ，
E ，
F 三点，56DEF ∠=o ，那么
B ∠= ．
对应练习：
如图，ABC ∆内接于⊙O ，BC 是直径，∠B ＝35°，MN 是过A 点的切线，则∠C ＝____，∠CAM ＝ 。

例2、(1)如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于点C ，AD ⊥M N 于D ，AD 交⊙O 于E ，AB 的延长线交MN 于点P ，求证：2
AC AE AP =⋅。

(2)已知：ABC
∆内接于⊙O，AE切⊙O于A，BD平分∠ABC交⊙O于D，交AE于E，
DF⊥AE于F，求证：①AB AE
AD DE
=;②2
AC AF
=.
(3)如图，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线。

求证：AD BC CD AB
⋅=⋅
拔高训习：
如图，PA 为圆的切线，A 为切点，PBC 为割线，APC ∠的平分线PF 交AB 于点E ，交AC 于点F ．
求证：（1）AE AF =；（2）AB AF AC BE ⋅=⋅；（3）若:1:2,PB PA M =是»BC 上的点，AM 交BC 于D ，且PD DC =，试确定M 点在»BC
上的位置，并证明你的结论．
例3、（1）如图，⊙O 的弦AB 与CD 相交于点P ，PA ＝3cm ，PB ＝4cm ，PC ＝2cm ，那么PD ＝_____cm 。

（2）如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，若AM ＝1.5，BM ＝4，则OC 的长为____。

⑶如图，在⊙O 中，P 为弦AB 上一点，PO ⊥PC ，PC 交⊙O 于C ，那么( ) A ．2
OP PA PB =⋅ B ．2
PC PA PB =⋅ C ．2
PA PB PC =⋅ D ．2
PB PA PC =⋅
（4）如图，在直径为6的半圆»
AB 上有两动点,M N ，弦,AM BN 相交于点P ，则AP AM BP BN ⋅+⋅=
例4、如图，OA 和OB 是O e 的半径，并且,OA OB P ⊥是OA 上任一点，BP 的延长线交O e 于点Q ，过点Q 的O e 的切线交OA 延长线于点R ． （Ⅰ）求证：RP RQ =；
（Ⅱ）若1OP PA ==，试求PQ 的长．
对应练习：
如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 的延长线与过C 点的切线GC 相交于点,D BE 与AC 相交于点F ，且CB CE =．
求证：（1）//BE DG ； （2）2
2
CB CF BF FE -=⋅．
例5、（1）如图，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与O e 相切于点C ，
AB CD ⊥，垂足为D ，连接OC BC AC 、、，那么下列结论中：
①2
PC PA PB =⋅；
②PO OC PC CD ⋅=⋅； ③2
OA OD OP =⋅．
正确的有________________
（2）已知如图，O e 的内接四边形ABCD ，AD 、BC 的延长线交于P 点，PT 切O
e 于T 点，946===AD PC PT ，，，则=BC __________;
=AB
CD
__________. （3）如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线，AB ＝12，CD ＝9，则MD ＝__________.
例6、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交⊙O 于F ，如果PF ＝7，FC ＝13，且PA ∶AE ∶EB ＝2∶4∶1，那么CD 的长是________。

例7、如图，AC 是⊙O 的直径，OB ⊥AC ，M 是AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 得延长线于P ， ①求证：2
PM PA PC =⋅; ②若⊙O 的半径为23，3OA OM =
,求PMN ∆的周长.
例8、如图，PA 是⊙O 的切线，从PA 的中点B 作割线BCD ，分别交⊙O 于C 、D ，连结PC 、PD ，分别交⊙O 于E 、F ，求证：∠APD ＝∠EFD 。

例9、如图，已知P 是⊙O 直径AB 延长线上一点，割线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦
AB DF ⊥于H ，CF 交AB 于点E ；
(1)连接DO ，求证：AOD DCF ∠=∠ (2)求证：PB PA PO PE ⋅=⋅；
(3)若ο15,=∠⊥P CF DE ，⊙O 的半径为2，求CF 的长。

（备用图）。