(常考题)人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试卷(有答案解析)(3)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
2．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．4
3．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点Р是对角线BD 上一动点（不与D ，B 重合），PF CD ⊥于点F ，PE BC ⊥于点E ，连接AP ，EF ．则下列结论错误的是（ ）
A ．2PD EC =
B ．AP EF =，且AP EF ⊥
C ．四边形PECF 的周长是8
D ．12
BD EF AB ≤< 4．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为EBD △．下列说法错误的是（ ）
A ．AE CE =
B ．12AE BE =
C ．EB
D EDB ∠=∠ D ．△AB
E ≌△CDE 5．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．菱形
D ．正方形 6．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）
A ．OA
B OBA ∠=∠；
B ．OAB OB
C ∠=∠； C ．OAB OC
D ∠=∠； D ．OAB OAD ∠=∠．
7．已知点()0,0A ，()0,4B ，()3,4C t +，()3,D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为（ ）
A ．6、7
B ．7、8
C ．6、7、8
D ．6、8、9 8．如图，直线L 上有三个正方形,,a b c ，若,a c 的边长分别为1和3，则b 的面积为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
9．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周
长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．
A ．103
B ．53
C ．10
D ．20
11．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（ ）
A ．70︒
B ．75︒
C ．80︒
D ．85︒
二、填空题
13．如图，在平行四边形ABCD 中，10,AB BAD =∠的平分线与BC 的延长线交于点E ､与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点M ，交AE 于点N ，连接DE ．若6DM =，则DE 的长为_______．
14．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．
15．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．
16．如图，将ABCD 沿对角线AC 进行折叠，折叠后点D 落在点F 处，AF 交BC 于点E ，有下列结论：①ABF CFB ≌；②AE CE =；③//BF AC ；④BE CE =，其中正确结论的是__________．
17．如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．
18．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一点，且12
DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若4AB =，6BC =，则EDF 的周长为__________．
19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．
20．如图，将Rt △ABC 沿着点B 到A 的方向平移到△DEF 的位置，BC ＝8，FO ＝2，平移距离为4，则四边形AOFD 的面积为__．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，AC ＝2，BC ＝22，AB ＝23，延长AC 到E ，使得CE ＝CD ，连接BE ．
（1）求证：∠ACB ＝90°；
（2）求线段BE 的长度．
22．已知：在Rt △ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．
求证：（1）四边形ADBC 是梯形；
（2）12
AD BC =． 23．综合与实践：
问题情境：
数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：
第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．
第二步：固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止．
问题解决：
（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，请写出线段AM 与CN 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．
（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．
探索发现：
（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．
24．如图，将长方形ABCD 边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，求DE 的长．
25．已知：如图，在ABCD 中，4,
6,AC BD CA AB ==⊥，求ABCD 的周长和
面积．
26．如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接DE 交AC 于点M ．
（1）如图1，若2,30,AB C AD BC =∠=︒⊥，求CD 的长；
（2）如图2，若45ADB ∠=︒，点N 为ME 上一点，12
MN BC =，求证：AN EN CD =+；
（3）如图3，若30C ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点，直线DE 与直线AC 交于点M ，当ADM △为等腰三角形时，请直接写出此时CDM ∠的度数．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出12
CM BD =，设CM x =，则2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．
【详解】 解：90ACB ∠=︒，M 是BD 的中点，
12
CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==
16AC =
162CD AC AD x ∴=-=-
在Rt BCD △中，根据勾股定理得
222BC CD BD +=
即()()22281622x x +-=
解得：5x =，
故选A ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．
【详解】
解：连接AC ，BD
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====
∴∠111206022
ABD ABC ︒=
∠=⨯=︒ ∵AB AD =
∴△ABD 是等边三角形， ∴ 4.BD =
由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，
又∵BD AC ⊥，
∴//EF BD
∴EF 为△ABD 的中位线， ∴122
EF BD =
= 故选：B ．
【点睛】 本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 3．A
解析：A
【分析】
由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形PECF 是矩形，得到EC PF =，再结合正
方形的性质，解得2PD EC =，由此判断A ；
过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，由角平分线的性质得到PN PE =，继而结合勾股定理证明AP EF =、证明四边形PEFM 是平行四边形，即可得到EF PM AP ==，设BE x =，结合勾股定理证明
222PM A M P A +=，即可判断B ；
根据等腰直角三角形的性质计算四边形PECF 的周长即可判断C ；
设BE x =，由勾股定理解得EF 的长，再结合04x ≤≤，解得EF 与BD AB 、的数量关系即可判断D ．
【详解】
解：A. ,PE BC PF CD ⊥⊥
90PEC PFC ∴∠=∠=︒
90C ∠=︒
∴四边形PECF 是矩形
EC PF ∴=
正方形ABCD 中
45PDF ∠=︒
22PD PF EC ∴==
故A 错误；
B.过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，
BD 平分ABC ∠，PN AB ⊥，PE BC ⊥
PN PE ∴=
222222,AP AN PN EF EC PE =+=+且,AN EC PN PE ==
AP EF ∴=
//,//PM EF PE CD
∴四边形PEFM 是平行四边形
EF PM AP ∴==
设BE x =，则,42PE FC MF x DM x ====-，4EC PF x ==-
22(4)AP EF PM x x ===+-
222216(42)AD MD AM x +==+-
222AP PM AM +=
AP PM ∴⊥
AP EF ∴⊥
故B 正确；
C. BPE 为等腰直角三角形
PE BE ∴=
4PE PF BE EC BC ∴+=+==
故四边形PECF 的周长为2()8PE PF +=， 故C 正确；
D.设BE x =
EF ∴=2222(4)28+16=2(2)4x x x x x +-=-⋅-+
04x ≤≤
42EF ∴≥
12
EF BD ∴≥ 4EF <
EF AB ∴<
12
BD EF AB ∴≤< 故D 正确，
故选：A ．
【点睛】
本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠CBD ，可得BE=DE ，可证AE=CE ，由“SAS”可证△ABE ≌△CDE ，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵把矩形纸片ABC'D 沿对角线折叠，
∴∠CBD=∠DBC'，CD=C'D=AB ，AD=BC=BC'，
∵AD ∥BC'，
∴∠EDB=∠DBC'，
∴∠EDB=∠EBD ，故选项C 正确；
∴BE=DE ，
∵AD=BC ，
∴AE=CE ，故选项A 正确；
在△ABE 和△CDE 中，
AB CD A C AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CDE （SAS ），故选项D 正确； 没有条件能够证明
12
AE BE =
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 5．A
解析：A
【分析】
画出图形，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∵E ，F ，G ，H 是菱形各边的中点，
∴EF ∥BD ，FG ∥AC ，
∴EF ⊥FG ，
同理：FG ⊥HG ，GH ⊥EH ，HE ⊥EF ，
∴四边形EFGH 是矩形．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
6．D
【分析】
根据菱形的判定方法判断即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAB=∠ACD，
∵∠OAB=∠OAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
7．C
解析：C
【分析】
分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
【详解】
解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．
8．C
【分析】
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BAC DCE ∠=∠，然后证明ACB DCE ∆≅∆，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【详解】
解：如图：
由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC CD =，90ACD ∠=︒；
90ACB DCE ACB BAC ，即BAC ECD ∠=∠，
在ABC ∆和CED ∆中，
90ABC CED ACB CDE
AC DC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACB CDE AAS ，
AB CE ∴=，BC DE =； 在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：2
222222
1310AC AB BC AB DE ， 即10b S ， 则b 的面积为10，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明ACB DCE ∆≅∆是解题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，
∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，
∵DA=DF ，DG=DG ，
∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，
∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=1
2
（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
10．A
解析：A
【分析】
由矩形的性质和已知条件求出，BC=10，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴
，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，
又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，
∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC的长是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据翻折的性质，可得当Q与D重合时，A1B最小，根据勾股定理，可得A1C，从而可得答案．
【详解】
解：由折叠可知：
当Q与D重合时，A1B最小，
A1D=AD=10，
由勾股定理，得：
A 1=8，
∴A 1B=10-8=2，
故选A ．
【点睛】
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键． 12．B
解析：B
【分析】
先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得
''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据
180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．
【详解】
由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，
由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，
又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，
∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，
∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，
又∵''30A EB ∠=︒，
∴75NEM ∠=︒．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】先判定△ADF ≌△ECF 即可得到AF=EF 依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得出AF ⊥DM ；再根据等腰三角形的性质即可得到DN=MN=3最后依据勾股定理即可得到AN 与NE 的长进而得出DE
解析：【分析】
先判定△ADF ≌△ECF ，即可得到AF=EF ，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF ⊥DM ；再根据等腰三角形的性质，即可得到DN=MN=3，最后依据勾股定理即可得到AN 与NE 的长，进而得出DE 的长．
【详解】
解：∵点F 为边DC 的中点，
∴DF=CF=1
2CD=
1
2
AB=5，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠ECF，
∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF=EF，
∵CD∥AB，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
又∵AF平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴∠ADN+∠DAN=90°，
∴AF⊥DM，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
又∵DC∥AB，
∴∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF=5，
同理可得，AM=AD=5，
又∵AN平分∠BAD，
∴DN=MN=3，
∴Rt△ADN中，AN=224
AD DN
-=，
∴AF=2AN=8，EF=8，
∴NE=AE-AN=12，
∴Rt△DEN中，DE=22317
DN EN
+=，
故答案为：317．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定AF⊥DM，利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
14．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键
解析：12．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD
∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB ===--，
故答案是：12．
【点睛】
考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．
15．【分析】过点M 作于N 则可得MN 是的中位线利用三角形中位线定理可得MN=AC=3BN=CN=BC=4设CF=x 则NF=4-x 由折叠的性质可得MF=CF 在中利用勾股定理即可求解【详解】解：过点M 作于N ∵
解析：
258
【分析】 过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12
BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点M 作MN BC ⊥于N ，
∵90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，
∴//MN AC ，
∵M 是AB 的中点，
∴MN 是Rt ABC △的中位线，
∴MN=12AC=3，BN=CN=12
BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，
∵将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，
∴MF=CF=x ，
在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，
∴()22234x x +-=，解得258
x =， ∴CF=258
． 故答案为：
258． 【点睛】
本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
16．①②③【分析】根据SSS 即可判定△ABF ≌△CFB 根据全等三角形的性质以及等式性质即可得到EC ＝EA 根据∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA 即可得出BF ∥AC 根据E 不一定是BC 的中点可得BE ＝CE
解析：①②③
【分析】
根据SSS 即可判定△ABF ≌△CFB ，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC ＝EA ，根据∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA ，即可得出BF ∥AC ．根据E 不一定是BC 的中点，可得BE ＝CE 不一定成立．
【详解】
解：由折叠可得，AD ＝AF ，DC ＝FC ，
又∵平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，
∴AF ＝BC ，AB ＝CF ，
在△ABF 和△CFB 中，
AB CF AF CB BF FB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△CFB （SSS ），故①正确；
∴∠EBF ＝∠EFB ，
∴BE ＝FE ，
∴BC -BE ＝FA -FE ，即EC ＝EA ，故②正确；
∴∠EAC ＝∠ECA ，
又∵∠AEC ＝∠BEF ，
∴∠EBF ＝∠EFB ＝∠EAC ＝∠ECA ，
∴BF ∥AC ，故③正确；
∵E 不一定是BC 的中点，
∴BE ＝CE 不一定成立，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注
意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17．5【分析】根据三角形中位线定理分别求出的长度根据勾股定理计算即可得到答案【详解】FG 分别是的中点∴∵分别是BEBC 的中点∴∵∠FGH=90°∴由勾股定理得故答案为：5【点睛】本题考查的是勾股定理三角
解析：5
【分析】
根据三角形中位线定理分别求出GF 、GH 的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】
F ，
G 分别是DE ，BE 的中点， ∴142
GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132
GH CE =
=， ∵∠FGH =90°，
∴由勾股定理得，
5FH ===，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18．【分析】由矩形ABCD 证明求解再证明证明再利用勾股定理求解从而可得答案【详解】解：矩形ABCD 故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用等腰三角形的判定与性质矩形的性质掌握以上知识是解题的关键
解析：【分析】
由矩形ABCD ，4AB =，6BC =，
12
DE AE =，证明6,AD BC == 90,A ADC ∠=∠=︒求解4AB AE ==，再证明45FED AEB ∠=∠=︒， 证明2DE DF ==， 再利用勾股定理求解,EF 从而可得答案．
【详解】 解： 矩形ABCD ，4AB =，6BC =
6,AD BC ∴== 90,A ADC ∠=∠=︒ 1
2
DE AE =，,AE DE AD += 42AE DE ∴==，，
4AB AE ∴==，
45,AEB ∴∠=︒
45,FED ∴∠=︒
90ADC ∠=︒，
90EDF ，
∴∠=︒ 45DEF DFE ∴∠=∠=︒，
2DE DF ∴==，
EF ∴===
224DEF C ∴=++=+
故答案为：4+
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形
解析：65
【分析】
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】
解：如图所示，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，
∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE ，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠D=∠B=65°．
故答案是：65．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键． 20．【分析】根据平移的性质判断AD ＝CF ＝BE ＝4AD ∥CF 再根据平行四边形的面积和三角形面积公式解答即可【详解】如图连接CF 由平移的性质知AD ＝CF ＝BE ＝4AD ∥CF ∴四边形ACFD 为平行四边形∴＝
解析：28
【分析】
根据平移的性质，判断AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，再根据平行四边形的面积和三角形面积
公式解答即可．
【详解】
如图，连接CF ．
由平移的性质知，AD ＝CF ＝BE ＝4，AD ∥CF ，
∴四边形ACFD 为平行四边形．
∴ACFD S ＝AD •BC ＝4×8＝32，
∵FO ＝2，
∴S △FOC ＝12OF •BE ＝1242
⨯⨯＝4， ∴AOFD S 四边形＝ACFD FOC S S -＝32-4＝28．
故答案为28．
【点睛】
本题考查图形的平移以及平行四边形的判定．根据题意得出AOFD S 四边形＝ACFD FOC S
S -是
解答本题的关键． 三、解答题
21．（1）见解析；（211
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理判定AC ⊥BC ；
（2）在直角△BCE 中，利用勾股定理来求BE 的长度．
【详解】
证明：（1）∵在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝3
∴AC 2＝4，BC 2＝8，AB 2＝12，
∴AC 2+BC 2＝AB 2． ∴∠ACB ＝90°；
（2）由（1）知，∠ACB ＝90°，则∠BCE ＝90°．
∵D 是AB 的中点，AB ＝3CE ＝CD ，
∴CE ＝CD ＝12
AB 3 ∴在直角△BCE 中，由勾股定理得：BE 22BC EC +22(22)(3)+11
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
22．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB，进而可以证明AD∥BC，可以证出四边形ADBC是梯形；
（2）延长DE交BC于F，证明△BDE≌△BFE，从而得出四边形ACFD是平行四边形，进而得出结论．
【详解】
证明：（1）如图，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠DBA=∠ABC，
∴∠ABC=DAB，
∴AD∥BC，
∵AC与BD不平行，
∴四边形ADBC是梯形，
（2）如图，延长DE交BC于F，
∵∠DBA=∠ABC，BE=BE，∠DEB=∠BEF=90°，
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD=AD，
∵∠BAC=∠BEF=90°，
∴DF∥AC，
∴四边形ACFD 是平行四边形，
∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12
AD BC =． 【点睛】
此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．
23．（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠
【分析】
（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌
△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．
（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．
（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．
【详解】
（1）关系：AM CN =
理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；
∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；
∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；
∴12∠=∠；
又AOS COT ∠=∠
∴(AAS)AOS COT ≌
△△ ∴AS CT =，OS OT =；
∴ES GT =；
又//EF GH ，
∴56∠=∠；
又12∠=∠；
∴(ASA)ESM GTN ≌
△△ ∴SM TN =，
则AS SM CT TN +=+
即AM CN =
（2）四边形MRNQ 为菱形．
证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．
由题可知：矩形ABCD ≌矩形EFGH
∴AD=EH ，AB ∥CD ，EF ∥HG
∴四边形QMRN 为平行四边形，
∵QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，
∴QK=EH ，QL=AD ，∠QKM=∠QLN=90°
∴QK=QL ，
又∵AB ∥CD ，EF ∥HG ，
∴∠KMQ=∠MQN ，∠MQN=∠LNQ ，
∴∠KMQ=∠LNQ ，
∴△QKM ≌△QLN （AAS ）
∴MQ=NQ
∴四边形MRNQ 为菱形．
（3）结论：∠MQN=∠AOE ．
理由：如图中，
∵∠QND=∠1+∠2，
∠AOE=∠1+∠3，
又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，
∴∠2=∠3，
∴∠QND═∠AOE，
∵AB∥CD，
∴∠MQN=∠QND，
∴∠MQN=∠AOE．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．10 3
【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵S△ABF=24，
∴1
2AB•BF＝24，即
1
2
×6×BF＝24．
解得：BF=8．
在Rt△ABF中由勾股定理得：22
AB BF
=10．
由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．
∴FC=10-8=2．
设DE=x，则EC=6-x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，x2=4+（6-x）2．
解得：x=10
3
，
∴DE=10
3
．
【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．
25．25221+，45 【分析】
依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积．
【详解】
解：如图所示，
4AC =，6BD =，
2AO ∴=，3BO =，
又CA AB ⊥， Rt AOB ∴∆中，2222325AB BO AO =-=-=，
Rt ABC 中，2222(5)421BC AB AC =+=+=，
ABCD ∴的周长2(521)25221=+=+，
ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．
26．（1）3；（2）见解析；（3）60︒或15︒或37.5︒
【分析】
（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AB=4，BD=
12AB=1，即可得出CD 的长；
（2）在BD 上截取DF=EN ，可证出AEN ADF △≌△，由全等三角形的性质得AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，可得出,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，则
AMN ABF △≌△，可得12
BF MN BC ==，即F 是BC 的中点，可得出AN=AF=FC=DF+CD=EN+CD ；
（3）由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，分三种情况：①AM=MD ，②AM=AD ，③AD=MD ，根据等腰三角形的性质求出AMD ∠的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】
解：（1）∵90BAC ∠=︒，2,30AB C =∠=︒，
∴BC=2AB=4，60B ∠=︒，
∵AD BC ⊥
∴90,30ADB BAD ∠=︒∠=︒，
∴BD=12
AB=1， ∴CD =BC-BD=4-1=3；
（2）证明：如图2，在BD 上截取DF=EN ，
∵把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，
∴AD=AE ，90EAD ∠=︒，45EDA AED ∠=∠=︒，
∵45ADB ∠=︒，
∴45ADF AEN ∠=∠=︒，
∴AEN ADF △≌△，
∴AN=AF ，,EAN DAF ANE AFD ∠=∠∠=∠，
∵90EAD ∠=︒，EAN DAF ∠=∠，
∴90NAF ∠=︒，
∵90BAC ∠=︒，ANE AFD ∠=∠，
∴,MAN BAF ANM AFB ∠=∠∠=∠，
∵AN=AF ，
∴AMN ABF △≌△，
∴12
BF MN BC ==
，即F 是BC 的中点， ∴AF=FC=DF+CD=EN+CD ，
∵AN=AF ，
∴AN EN CD =+；
（3）解：由题意可得AD=AE ，90EAD ∠=︒， ∴45EDA AED ∠=∠=︒，
分三种情况：
①AM=MD 时，
∵AM=MD ，
∴45EDA MAD ∠=∠=︒，
∴90AMD ∠=︒，
∵30C ∠=︒，
∴CDM AMD C ∠=∠-∠=60︒；
②AM=AD 时，
∵AM=AD ，
∴45EDA AMD ∠=∠=︒，
∵30C ∠=︒，
∴CDM AMD C ∠=∠-∠=15︒；
③AD=MD 时，
∵AD=MD ，
∴AMD MAD ∠=∠，
∴45EDA ∠=︒， ∴1804567.52AMD MAD ︒-︒∠=∠=
=︒， ∵30C ∠=︒，
∴CDM AMD C ∠=∠-∠=37.5︒．
∴当ADM △为等腰三角形时，CDM ∠的度数为60︒或15︒或37.5︒．
【点睛】
本题主要考查了几何变换综合题，需要熟练掌握旋转的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题．。