江苏省苏州市2012-2013学年高一数学下学期期末调研测试试题(含解析)苏教版

2012～2013学年某某市高一期末调研测试
数 学2013．6
样本数据x 1，x 2，…x n 的方差2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中1
1n i i x x n ==∑．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知{}1,2A =，{}2,3,4B =，则A
B =▲．
2．一组数据6，7，7，8，7的方差2s =▲．
3．计算7π
cos
6
的值为▲．
4．计算2lg4lg5lg8+-的值为▲．
5．袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为▲．
6．执行右面的流程图，输出的S =▲．
7．方程lg220x x +-=的解在(1,)k k -内，则整数k 的值为▲．
8．已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,)C t ，若A ，B ，C 三点共线，则t =▲．
9．已知函数1
()41
x
f x a =+
-是奇函数，则a 的值为▲．
结束
开始 S ← 0 k ← 1 S ← S ＋k 输出S N Y
（第6题）
k ≤20
k ← k ＋1
Y
10．在约束条件410,4320,0,0
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ 下，目标函数2z x y =+的最大值为▲．
11．已知点E 在正△ABC 的边AB 上，AE = 2EB ，在边AC 上任意取一点P ，则“△AEP 的面积恰好小于△ABC 面积的一半”的概率为▲．
P
E
C
B A
（第11题）
12．公差不为零的等差数列{}n a 中，22221739a a a a +=+，记{}n a 的前n 项和为n S ，其中
8S 8=，则{}n a 的通项公式为n a = ▲．
13．某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数π3π
10sin(
)84
y x =++20（[6,20]x ∈）
，其中x （时）表示时间，y （︒C ）表示温度，设温度不低于20 ︒C 时某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，适宜进行室外活动的时间约为▲小时．
14．已知函数1|2|,13,
()3(),33x x f x x
f x --⎧⎪
=⎨>⎪⎩
≤≤，将集合{|(),01}A x f x t t ==<<（t 为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
设数列{a n }是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，已知它的前10项和为110，且a 1，a 2，
a 4 成等比数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若(1)n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和T n ．
解：（1）设数列{a n }的前n 项和为n S ，
∵S 10 = 110，∴1109
101102
a d ⨯+
=． 则19
112
a d +=．①……………… 2分
∵a 1，a 2，a 4 成等比数列，
∴2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+．∴21a d d =． ∵d ≠ 0，∴a 1 = d ．②……………… 5分
由①，②解得12,
2.a d =⎧⎨=⎩
，∴2n a n =． ……………… 7分
（2）∵(1)n n b n a =+=2(1)n n +，
∴
11111
()2(1)21
n b n n n n ==-++． ……………… 10分 ∴n T 111111(1)()()22231n n ⎡⎤
=-+-++-⎢⎥+⎣⎦
……… 12分 2(1)
n
n =
+． ……………… 14分
16．（本小题满分14分）
已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，其中c b >，若a = 4，1
cos 4
A =-，
D 为BC 边上一点，且0AD BC ⋅=，135
64
AB AD ⋅=
．求： （1）||AD ； （2）b ，c ．
解：（1）由0AD BC ⋅=，得AD BC ⊥．
记AD h =，由13564AB AD ⋅=，得135
||||cos 64
AB AD BAD ⋅∠=．………… 3分
∴2135
64
h =
，则h =||AD ． ………………… 5分
（2）∵1
cos 4
A =-，∴sin A =． ………………… 7分
由sin ah bc A =，得6bc =．①………………… 9分
∵2222cos a b c bc A =+-，∴2213b c +=．②………………… 11分 由①，②，解得b = 2，c = 3，或 b = 3，c = 2．
∵c b >，∴b = 2，c = 3． ………………… 14分 （直接由①，②得出b = 2，c = 3不扣分） 17．（本小题满分14分）
已知函数(1)
()2
a x f x x -=
-，a 为常数． （1）若()2f x >的解集为(2,3)，求a 的值；
（2）若()3f x x <-对任意(2,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值X 围． 解：（1）不等式(1)
()22
a x f x x -=
>-化为 (2)(4)
02
a x a x --->-． …………… 2分
即[(2)(4)](2)0a x a x ---⋅->． …………… 4分
∵()2f x >的解集为(2,3)，∴4
32
a a -=-． …………… 6分 解得1a =，经检验符合题意． …………… 8分 （2）∵()3f x x <-对任意(2,)x ∈+∞恒成立，
∴(1)(2)(3)a x x x -<--对任意(2,)x ∈+∞恒成立． …………… 10分 令1x t -=，则(1)(2)at t t <--对任意(1,)t ∈+∞恒成立．
∴2
3a t t
<+-对任意(1,)t ∈+∞恒成立． …………… 12分
∵2
3t t
+
-最小值为3，
∴3a <． …………… 14分 18．（本小题满分16分）
如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC ，其中一边利用现成的围墙
BC ，长度为1（百米），另外两边AB ，AC 使用某种新型材料，∠BAC = 120°，设AB = x ，AC = y ．
（1）求x ，y 满足的关系式（指出x 的取值X 围）；
（2）若无论如何设计此两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？
解：（1）在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=．
∴22o 2cos1201x y xy +-=，即221x y xy ++=． …………… 4分 又x > 0，y > 0，
∴x ，y 满足的关系式为221x y xy ++=（0 <x < 1）． …………… 5分 （2）设需准备此种新型材料的长度为a ，则必须要x +y ≤a 恒成立． ∵221x y xy ++=，∴2()1x y xy +-=． …………… 7分 ∵2)2x y xy +≤(
，∴22
()1()2
x y x y ++-≤． …………… 11分 则24()3x y +≤
，∴x y + …………… 14分
当且仅当x y ==（百米）时取“=”．
∴a x +y ≤a 恒成立．
19．（本小题满分16分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a n ≠ 0，11112n n n n n n n a S a S a a -+++-=，*n ∈N ．
（1）求证：12n n n S a -=； （2）设1
n
n n a b a +=
，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（1）证明：∵11112n n n n n n n a S a S a a -+++-=，a n ≠ 0，
∴1112n n n n n
S S
a a -++-=． ……………… 2分
A
B
C
则
21211S S a a -=，32322S S
a a -=，…，211
2n n n n n S S a a ----=（n ≥2，*n ∈N ）
． 以上各式相加，得211
122n n n S S
a a --=+++． ……………… 4分
∵
1
1
1S a =，∴1121n n n S a --=-．
∴12n n n S a -=（n ≥2，*n ∈N ）． …………… 7分 ∵n = 1时上式也成立，∴12n n n S a -=（*n ∈N ）． …………… 8分 （2）∵12n n n S a -=，
∴112n n n S a ++=．
两式相减，得11122n n n n n a a a -++=-．
即11(21)2n n n n a a -+-=． …………… 10分 则111
22n n n n a b a -+==-． …………… 12分
1223
1
n
n n a a a T a a a +=
+++ =21111
2(1)222n n --+
+++…………… 14分 =11
222n n --+． …………… 16分
20．（本小题满分16分）
已知函数2()||f x ax x a =--．
（1）当3a =时，求不等式()7f x >的解集；
（2）当0a >时，求函数()f x 在区间[3,)+∞上的值域． 解：（1）当3a =时，不等式()7f x >，即23|3|x x --> 7．
① 当x ≥3时，原不等式转化为：2340x x -->．………………… 1分
解得1x <-或4
3
x >．
结合条件，得x ≥3； ………………… 3分 ② 当3x <时，原不等式转化为：23100x x +->． ……………… 4分
解得2x <-或5
3
x >．
结合条件，得2x <-或5
33x <<． ………………… 6分
综上，所求不等式解集为5
{|2}3x x x <->或．………………… 7分
（2）当0 <a ≤3时，2()f x ax x a =-+211()24a x a a a
=-+-． ① 若
132a <，即1
36
a <≤时，
∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[103,)a -+∞；…………… 10分 ② 若
132a ≥，即106a <≤时，值域为1
[,)4a a
-+∞． …………… 13分 当3a >时，2
2(),
()(3).
ax x a x a f x ax x a x a ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥≤
∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[83,)a ++∞． 综上所述：
当106a <≤时，()f x 值域为1
[,)4a a -+∞；
当
1
36
a <≤时，()f x 值域为[103,)a -+∞； 当3a >时，()f x 值域为[)83,a ++∞． …………… 16分 （每类3分，没有综上所述不扣分）。