1-7无穷小比较全

例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x, 故
tan x x o(x)
定理2 .(等价无穷小替换定理)
设
且存在Leabharlann , 则lim 证: lim lim
lim
lim
lim
lim
例如, lim tan 2x lim 2x 2 x0 sin 5x x0 5x 5
x2
x 1
1cosab 2
x1
1 cos a b
2
x 1
2o. f 1 0 lim cosa bx cosa b x1 f 1 0 lim 1 sin x 1 x x1 2
f 1 0 lim 1 sin x 1
x x1 2
f 1 0 lim cosa bx cosa b x1
则 ~ , 且 lim lim ,
但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x sin x0 1 x 1
x
lim
x0
2x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x)为无穷大
则 lim (x) lim (x)
例2. 求
lim
x0
tan
x x3
2、lim e e ；
e
3、lim sinx sin x ；
x0
x
4、lim xa
tan
x x
tan a
a
；sec2
5 lim ln(1 2 x ) ln(1 3 ) 3ln 2
x
x
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
x0
sin 3x
解: 原式 lim tan 5x lim1 cos x x0 sin 3x x0 sin 3x
lim
5x
lim
1 2
x2
x0 3x x0 3x
50 5.
3
3
练习：求
内容小结
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 0
是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
若 lim C 0, 则称 是 的同阶无穷小;
若 limk C 0, 则称 是关于 的 k 阶无穷小;
若 lim 1, 则称 是 的等价无穷小, 记作 ~
或 ~
例如 , 当 x 0 时
x3 o( 6x2 ) ; sin x～ x ; tan x ～ x arcsin x～x
是 的 k 阶无穷小
2. 等价无穷小替换定理 Th 2
思考与练习 P59 题1 , 2
作业 P59 3 ; 4 (2) , (3) , (4) ; 5 (3)
练习题
一、填空题：
3
1、lim x0
tan 3x sin 2 x
=____2______.
2、lim arcsin x n =________. x0 (sin x)m
tan x ~ x,
arctan x ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
ax 1 ~ x ln a, ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x.
tan x sin x 1 x3 2
定理1. ～ 证: ～
o()
lim 1
lim(
1)
0,
即
lim
0
o(), 即 o()
第七节 无穷小的比较
第一章
引例 . x 0 时, 3 x , x2 , sin x 都是无穷小, 但
lim x2 0, x0 3x
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
sin
x
.
解: 原式
lim
x0
x
1 2
x2
x3
原式
lim
x0
x x3
x
练习 若 lim atgx b(1 cos x) 2, ？a ( )
x0 ln(1 - 2 x) c(1 - e- x2 )
-4
1
例3.
求
lim
x0
(1 x cos
2)3 x
1
1.
解:
例4. 求 lim tan 5x cos x 1.
即ccoossaa
b b
1 , 1
a 2k ,b 0满足要求(k 0,1,2,).
又如 ，
lim1
x0
cos x2
x
lim
x0
2
sin
2
x 2
4( 2x ) 2
1 2
故
时
是关于 x 的二阶无穷小, 且
1
cos
x～
1 2
x2
例1. 证明: 当
时,
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1)
～
常用等价无穷小: x 0 时,
sin x ~ x,
arcsin x ~ x, n 1 x 1 ~ x , n
注意 不能滥用等价无穷小代换.
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且 与 不等价,
四、设 f(x)=lim
2
n
x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
1o.
f
x
lim
n
x 2 n1
sin
2
x
cosa
x2n 1
bx
cosa bx x 1
1 sin x
0 m n 1 m n m n
3、lim ln(1 2x) =___2______.
x0
x
4、lim 1 x sin x 1 =________.
x0 x 2 arctan x
5、lim n
2
n
sin
x 2n
=__x______.
1
6、lim (1
ax) n
1
a
=_________.
x0
x
n
7、当 x 0 时， a x 3 a(a 0)
对于 x 是___3____阶无穷小 .
8、当 x 10 时，无穷小 1 cos x 与 mx n 等价，则
二、求m下列__各_2_极__限_,：n ___2____ .
1、lim tan x sin x ； 1
x0 sin3 x
2