数学物理方程第五章 傅里叶变换

1 k
1 k
0 2E0 ] 1 k [1 ( 2 n ) 2 ] 1
k 2n 1 k 2 n.
2012-8-1
阜师院数科院
b1
E0 2
,
和
bk 0

E (t )
E0


E0 2
sin t
2E0

1 (2n)
n 1
1
2
cos 2 n t .


f ( ) sin d .
(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。
f ( x ) A ( ), B ( )
为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 ( , ) 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄 里希利条件；(2) 在区间 ( , ) 上绝对可积（即
2 2
0
( ) tg
1
[ B ( ) / A ( )].
C ( )
为振幅谱
3. 奇、偶函数 偶函数
2012-8-1
( )
为相位谱
A ( ) cos xd ,
f (x) A ( )


0
奇函数
f (x) B ( )


B ( ) sin xd ,
f (x)
k
c

k
e
ikx
,
ck
1 2



f ( )e ( 1 ik e
ikx
d
0
1 2 ( 1 ik
e

0
ikx
d

0
1 2 1


e
ikx
d
k k
0
1 2
ikx
)

1 2
e
ikx
)

2 ik
{[ 1 ( 1) ] [( 1) 1]}
(5.2.1)
令： 则
k

k l
,
k k k 1
,
g ( x) a0
l

{a
k 1

k
cos k x b k sin k x } k .
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1 l ak l f ( ) cos k d , kl 1 l b ( ) sin k d f 阜师院数科院 . k l l
f (t )
频谱
幅度
2E0
E0 2
各个频率分量的幅度

2E0 3
2E0 15
2E0 35
0

2
4
6
频率
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变 化的性质，叫在时域中的表示的性质。 而频谱表示这种性质在频域中的表示。
因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
2012-8-1 阜师院数科院
2.奇函数和偶函数的傅里叶展开
( k 0 ),
l l
kx l kx l kx
(5.1.4)
dx 0 dx 0 ( k n ), ( k n ),
l l
cos sin
l l
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l
nx sin dx 0 . 阜师院数科院 l l
因此
1 l k ak f ( ) cos d , k l l l 1 l k b f ( ) sin d . l k l l
x
x
f ( x) x,
( 0 ,1)
偶延拓
奇延拓
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阜师院数科院
4. 复数形式的的傅里叶
i kx l i
x
l
i
x
l
i
kx l
,e
, , e
i k kx l
,1, e
, , e
,
kx l
f (x)
k
c

e
,
其中
ck
1 2l

l
l
f ( )[ e
E0 2
,
-10
-5
ak
1


/
0
E 0 sin t cos k tdt
E 0 2

/
[sin( 1 k ) t sin( 1 k ) tdt
0
a1
E 0 2

/
sin 2 tdt
E0 4
cos 2 t
/
n0
频域中的图示由你们给出
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阜师院数科院
3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开
f(x) 定义于 (0, l). 可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周 期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。
例
f ( x ), g ( x ) f ( x ), g ( x )
0
0,
0
ak
E 0 2 E0 2

/
[sin( 1 k ) t sin( 1 k ) tdt cos( 1 k ) t 1 k ( 1)
1 k
0
[
cos( 1 k ) t 1 k

]
/
0

E0 2
[
1 k

1 1 k

( 1)
f ( x ), (5 .1 .3 ) 1 { f ( x 0 ) f ( x 0 )}. 2 ( 在连续点 ( 在间断点 x) x)
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阜师院数科院
例 解
交流电压 周期为
2
E ( t ) E 0 sin t
经过半波整流后的傅立叶级数。
0 E (t ) E 0 sin t [
sin
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x
l
2 x l
kx
阜师院数科院 l
a. 2l 周期性
cos k ( x 2l ) l cos( kx l 2 lk l ) cos( kx l 2 k ) cos kx l
sin kx l
同样
b. 按三角函数族展开
f ( x) a0

l
l
f ( ) cos
k l
d .
例
f (x)
矩形波
1 f (x) 1 ( 2 m , ( 2 m 1) ) (( 2 m 1) , 2 m )
1
2
0

1
x
周期 2
阜师院数科院
奇函数
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f (x)

2

b k sin

f ( x ) dx
收敛），则f(x) 可表为
傅里叶积分，且 傅里叶积分值= [ f ( x 0 ) f ( x 0 )] / 2 。 2. 振幅谱和相位谱 又可写
f ( x)


C ( ) cos[ x ( )] d ,
C ( ) {[ A ( )] [ B ( )] },
0 2 i ( 2 n 1)
(k 2n) ( k 2 n 1).
f (x)
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2 i
n


1 2n 1
e
i ( 2 n 1) x
,
阜师院数科院
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
1. 傅里叶积分
周期函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过， 由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数 失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？
[
0
1

f ( ) sin k d ] sin xd .
故
f ( x)

1

A ( ) cos xd

0


B ( ) sin xd ,

(5.2.4) (5.2.5)
0
其中
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A ( )



1 f ( ) cos d , B ( ) 阜师院数科院
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通 过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。
三角函数族：
1, cos
x
l
, cos , sin
2 x l
, , cos , , sin
kx l
, ,
sin kx l
是奇函数，
cos
kx l
是偶函数。
故 奇函数 f(z) 有
f (x)
Байду номын сангаас


b k sin
kx l
,
其中
bk
1 l
k 1

l
l
f ( ) sin
k l
d .
偶函数 f(z) 有
f ( x) a0


a k cos
kx l
,
其中
ak
1
k 1
kl
有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当 为 x 。从方便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。 设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开
g ( x) a0


{ a k cos

l
kx l
b k sin
kx l
}.
k 1
其中
(5.1.5)
k
2 1
(k 0) (k 0)
此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。
狄里希利定理
函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致
若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个 第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且
若 lim l l
l
f ( )d 有限，则 lim a 0 lim
l
l
2l

1
l
l
f ( )d 0 .
(5.2.1)中的余弦部分的 极限为：
lim
l
l


{
1
k 1
kl


l
l
f ( ) cos k d cos k x } k {


{ a k cos
kx l
b k sin
kx l
}.
(5.1.3)
k 1
此为傅里叶级数展开 不同的函数形式由不同的组的 a k 和 b k 表示。 三角函数组具有正交性

l
l l
1 cos 1 sin cos sin cos
kx l kx l
dx 0 dx 0 , nx l nx l
l
lim
1
k 0

1
k 1
l
f ( ) cos k d cos k x } k

[
0

f ( ) cos d ] cos xd .
同理，正弦部分的极限 为：
lim
l
l




1 l

k 1

l
l
f ( ) sin k d sin k x k

[0,

,0 ]

]

1 0.8 0.6 0.4 0.2
E (t ) a 0
{a
k 1
k
cos k t b k sin k t }.
a0
5 10
1 2

[
0
/
0 dt

/
0
E 0 sin tdt ]

2

/
0
E 0 sin tdt
i
i kx kx e l cos l kx kx i e l sin l
e 2 e 2i
i
kx l
i
kx l
] d .
*
例 矩形波
1 f (x) 1
( 2 m , ( 2 m 1) ) (( 2 m 1) , 2 m )
kx l
,
k 1
bk


l
l
f ( ) sin
k l
0 d [ cos k ] 0 [ ( 1) ] 4 k k k 2

2
k 2n, . k 2n 1
k
f (x)


4 ( 2 n 1)
sin( 2 n 1) x .
第五章 傅里叶变换
5.1 傅里叶级数 • • 周期函数的傅里叶展开； 奇函数和偶函数的傅里叶展开；
利用三角级数的周期性来展开周期函数
2
周期
•
•
有限区间中的函数的的傅里叶展开；
复数形式的的傅里叶展开；。
1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足
f ( x 2l ) f ( x )
0
2



0
f ( ) cos d . 阜师院数科院
2



f ( ) sin d .
0
例
(1)
1
f (x)
定义矩形函数为
1 2
0
1 2
x
1, rectx 0,
(x (x
1 2 1 2
), ).
将矩形脉冲 f ( t ) h rect ( t / 2 T ) 展开作傅里叶积分。